1、 高一数学竞赛试题 第 1 页 共 15 页高一数学竞赛试题及答案时间： 2016/3/18注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分 150分,考试时间 120分钟. 1.（本小题满分 15分） 设集合 ，2 2230,150,AxBxaxaR（1）若 求 的值； Ba（2）若 ,求 的取值范围； （3）若 ,求 的取值范围.URAC2.（本小题满分 15分）设 ,)(|,)(|xfxNxfM（1）求证： ;N（2） 为单调函数时，是否有 ？请说明理由.)(xf高一数学竞赛试题 第 2 页 共 15 页3 （本小题满分 15分）已知函数 444 )cos(in)c
2、os(sin2) xmxxf 在 2,0有最大值 5，求实数 m的值高一数学竞赛试题 第 3 页 共 15 页4 （本小题满分 15分）已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2x )f (2x )，f (7x )f (7x)且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0，(1)试判断函数 yf (x)的奇偶性；(2)试求方程 f(x)0 在闭区间 2 011,2 011上根的个数，并证明你的结论高一数学竞赛试题 第 4 页 共 15 页5 （本小题满分 15分）已知二次函数 ，设方程 的两个实数根为)0,(1)(2aRbxaxf xf)(和 . 1x2（1）如果 ，设函数 的对称轴为 ，求证： ；
3、421x)(xf0x10（2）如果 ， ，求 的取值范围.1b高一数学竞赛试题 第 5 页 共 15 页6 （本小题满分 15分）如图，直三棱柱 中， ， 是棱 的中点，1CBA12AD1。BDC1（1） 证明： ；1（2） 求二面角 的大小。1CAABCD11BC高一数学竞赛试题 第 6 页 共 15 页7 （本小题满分 15分）在平面直角坐标系 xOy中，设二次函数f(x) x22 x b(x R)的图象与两坐标轴有三个交点经过三点的圆记为 C.(1)求实数 b的取值范围；(2)求圆 C的方程；(3)问圆 C是否经过定点(其坐标与 b无关)？请证明你的结论高一数学竞赛试题 第 7 页 共
4、15 页8 （本小题满分 20分） 设 f（x）是定义在 R上的偶函数，其图象关于直线 x=1对称，对任意 x1,x20， 都有 且 f（1）=a0).()(2121xf（） );4,(f求（）证明 是周期函数；x（）记 求),21(nfan).(limna高一数学竞赛试题 第 8 页 共 15 页9 （本小题满分 20分）设 )(xf是 R 上的奇函数，且当 0x时，)10lg()2axxf， .（1 ）若 5f，求 (f的解析式；（2 ）若 ，不等式 0)14()2kfkxx 恒成立，求实数 k的取值范围；（3 ）若 )(xf的值域为 R，求 a的取值范围.高一数学竞赛试题 第 9 页 共
5、 15 页高一数学竞赛试题参考答案1、解： 2,A（1） BB2即， ，解得0)5()12 a（ 13a或 当 时， 3a24|2x 当 时， ,|B综上 ,1（2） A B 当 时，则该一元二次方程无解，即0 时，即 ，所以只需B1且将 1代入方程中得 ;将 2代入方程中得3a 13a或所以 3和、高一数学竞赛试题 第 10 页 共 15 页综上， 的取值范围为a ,31,1,31,3，2、3、解： 4222 )cos(incosin4)cos(sin) xmxxxf 4)( 令 2,1)4si(2csi xxt ，则 1on2t，从而 12)()(44tmttf令 ,tu，由题意知 1)(
6、2umug在 ,有最大值 5.当 01m时， 2)(在 时有最大值 5，故 符合条件； 当 时， 2)(max，矛盾！当 时， 51)(ug，矛盾！综上所述，所求的实数 证 明 ： （ 1） 若 M， 显 然 有 ;N 若 ， 则 存 在 0x， 满 足 0fx， 所 以 0ff， 故 ， 所 以 ;MN （ 2） .N用 反 证 法 证 明 假 设 M， 由 于 ， 必 存 在 1,xN 但 1x， 因 此 1fx， 若 1f， 由 于 为 单 调 增 函 数 ， 所 以 xf， 即 1xf， 矛 盾 ； 若 1f， 由 于 为 单 调 增 函 数 ， 所 以 1xf， 即 1xf， 矛 盾 。 综 合 、 可 知 ， 因 此 1,M与 假 设 矛 盾 ， 所 以 假 设 不 能 成 立 ， 即 .N
