1、 第 1 页 共 5 页第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1） 标准方程 22rbyax，圆心 ba,，半径为 r；点 与圆 的位置关系：0(,)My()()当 ，点在圆外220r当 = ，点在圆上0()()xayb当 ，点在圆内220r（2） 一般方程 0FEyDxy当 42FED时，方程表示圆，此时圆心为 2,ED，半径为 FEDr4212当 0时，表示一个点； 当 2时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，
2、r ；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线 0:CByAxl，圆 22:rbyax，圆心 baC,到 l 的距离为2bad，则有 相 离与lrd； 相 切与ld； 相 交与rd（2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0， y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-
3、a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 2121:rbyaxC， 222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 r时，两圆内含； 当 0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或
4、者连圆心与弦中点第 2 页 共 5 页第四章 圆与方程 一、选择题1若圆 C 的圆心坐标为(2， 3)，且圆 C 经过点 M(5，7)，则圆 C 的半径为( )A B5 C25 D5 102过点 A(1，1)，B(1，1)且圆心在直线 xy 20 上的圆的方程是( )A(x3) 2(y1) 24 B(x 3) 2(y1) 24C(x 1)2( y1) 24 D(x1) 2(y1) 243以点(3，4)为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是( )A(x3) 2(y4) 216 B(x 3) 2(y4) 216 C(x 3)2( y4) 29 D(x3) 2(y4) 219 4若直线 xy m0 与
5、圆 x2y 2m 相切，则 m 为( )A0 或 2 B2 C D无解5圆(x1) 2(y 2) 220 在 x 轴上截得的弦长是( )A8 B6 C6 D4236两个圆 C1：x 2y 22x2y20 与 C2：x 2y 24x2y10 的位置关系为( )A内切 B相交 C外切 D相离7圆 x2y 22x 50 与圆 x2y 22x4y 40 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线的方程是( )Axy10 B2xy10 Cx 2y10 Dx y108圆 x2y 22x 0 和圆 x2y 24y0 的公切线有且仅有 ( )A4 条 B3 条 C2 条 D1 条9在空间直角坐标系中，已知点
6、 M(a，b，c)，有下列叙述：点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a，b，c )；点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a，b，c)；点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a，b，c )；点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(a，b，c)其中正确的叙述的个数是( )A3 B2 C1 D010空间直角坐标系中，点 A(3，4，0)与点 B(2，1，6)的距离是( )A2 B2 C9 D41 86二、填空题11圆 x2y 22x 2y10 上的动点 Q 到直线 3x4y80 距离的最小值为 12圆心在直线 yx 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 13以点 C
7、(2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 14两圆 x2y 21 和(x 4) 2(ya) 225 相切，试确定常数 a 的值 15圆心为 C(3，5)，并且与直线 x7y20 相切的圆的方程为 16设圆 x2y 24x 50 的弦 AB 的中点为 P(3，1)，则直线 AB 的方程是 第 3 页 共 5 页三、解答题17求圆心在原点，且圆周被直线 3x4y150 分成 12 两部分的圆的方程18求过原点，在 x 轴，y 轴上截距分别为 a，b 的圆的方程(ab0)19求经过 A(4，2)， B(1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程20求经过点(8，3)，并且和直线
8、 x6 与 x10 都相切的圆的方程第 4 页 共 5 页第四章 圆与方程 参考答案一、选择题1B 圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径， 522735)(2C 解析一：由圆心在直线 xy20 上可以得到 A，C 满足条件，再把 A 点坐标(1，1)代入圆方程A 不满足条件选 C解析二：设圆心 C 的坐标为( a，b)，半径为 r，因为圆心 C 在直线 xy 20 上，b2a由|CA|CB|，得(a1) 2(b1) 2(a1) 2(b1) 2，解得 a1，b1因此圆的方程为(x 1)2(y1) 243B 解析：与 x 轴相切，r4又圆心(3，4)，圆方程为(x3) 2(y4) 2164B 解
9、析：xy m0 与 x2y 2m 相切，(0，0)到直线距离等于 ，m 2m5A 解析：令 y0， (x1) 216 x14，x 15，x 23弦长|5(3)|86B 解析：由两个圆的方程 C1：(x1) 2(y1) 24，C 2：(x2) 2(y 1) 24 可求得圆心距d (0，4)，r 1r 22，且 r 1r 2dr 1r 2 故两圆相交，选 B137A 解析：对已知圆的方程 x2y 22x50，x 2y 22x4y40，经配方，得(x1) 2y 26，(x1) 2(y2) 29圆心分别为 C1(1，0)，C 2(1，2)直线 C1C2 的方程为 xy108C 解析：将两圆方程分别配方
10、得(x 1) 2y 21 和 x2(y2) 24，两圆圆心分别为 O1(1，0)，O2(0，2)，r 11，r 22，|O 1O2| ，又 1r 2r 1 r 1r 23，故两圆相交，所以55有两条公切线，应选 C9C 解：错，对选 C10D 解析：利用空间两点间的距离公式二、填空题112解析：圆心到直线的距离 d 3，动点 Q 到直线距离的最小值为 dr31258412(x1) 2(y 1) 21解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1故所求圆的方程为：(x1) 2(y1) 2113(x2) 2(y 3) 24解析：因为圆心为(2，3)，且圆与 y 轴相切，所以圆的半径为 2故所求
11、圆的方程为(x2) 2(y 3) 24140 或2 解析：当两圆相外切时，由|O 1O2|r 1r 2 知 6，即 a2 5 245当两圆相内切时，由|O 1O2|r 1r 2(r1r 2)知 4，即 a0a 的值为 0 或2 15(x3) 2(y 5) 232解析：圆的半径即为圆心到直线 x7y20 的距离；16xy40解析：圆 x2y 24x50 的圆心为 C(2，0)，P(3，1)为弦 AB 的中点，所以直线 AB与直线 CP 垂直，即 kABkCP1，解得 kAB1，又直线 AB 过 P(3，1)，则直线方程为 xy40三、解答题17x 2y 236解析：设直线与圆交于 A，B 两点，
12、则AOB120，设所求圆方程为：x 2y 2r 2，则圆心到直线距离为 ，所2r OxyABr524-45第 17 题第 题第 5 页 共 5 页以 r6，所求圆方程为 x2y 23618x 2y 2ax by0解析：圆过原点， 设圆方程为 x2y 2DxEy0圆过(a，0)和(0，b)，a2 Da0， b2bE0又 a 0，b0， Da，Eb故所求圆方程为 x2y 2axby 019x 2y 22x 120解析：设所求圆的方程为 x2y 2DxEy F0A， B 两点在圆上，代入方程整理得：D3EF 10 4D2EF 20 设纵截距为 b1，b 2，横截距为 a1，a 2在圆的方程中，令 x0 得 y2EyF0，b 1b 2E；令 y0 得 x2DxF 0，a 1a 2D 由已知有DE2联立方程组得 D2，E0，F12所以圆的方程为 x2y 22x 12020解：设所求圆的方程为(xa) 2(yb) 2r 2根据题意：r 2，圆心的横坐标 a628，610所以圆的方程可化为：(x8) 2(yb) 24又因为圆过(8，3)点，所以(88) 2(3b) 24，解得 b5 或 b1，所求圆的方程为(x8) 2(y5) 24 或(x 8) 2(y1) 24
