1、高等教育出版社，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案第一章1.2写出约束在铅直平面内的光滑摆线 上运动的质点的微分=(-sin)=(1cos)方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关.解： 设 s 为质点沿摆线运动时的路程，取 =0 时，s=0 =(-sin)=(1cos) =()2+()2 = (cos)2+(sin)2 =2sin2 X Y sin cos S= = 4 a (1 )02sin2 cos2=2cos22+2sin2=cos2 2+2sin2设 为质点所在摆线位置处切线方向与 x 轴的夹角，取逆时针为正， 即切线斜率 tan= tan=cos 1sin
2、 sin cos2受力分析得：=sin=cos2则 ，此即为质点的运动微分方程。 2sin2+cos2 2=cos2=4(4) (4)+4(4)=04 一周期性变化的函数，周期 =24 该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为 .24 1.3证明：设一质量为 m 的小球做任一角度 的单摆运动0运动微分方程为 Fr)2(sing给 式两边同时乘以 d dri对上式两边关于 积分得 cgos21利用初始条件 时 故 00c由 可解得 0cos2-lg上式可化为 dtl 0cos-两边同时积分可得 dglglt 02020 sin1si0cos12进一步化简可得 dlt0022insi1
3、由于上面算的过程只占整个周期的 1/4 故0202sini4Tglt由 siin/2s0两边分别对 微分可得ddcos2incos020ins12co故 dd20sin1coi由于 故对应的0故 dgldglT 20 20002 cos2inin1/si4sini故 其中202si14Kl si02通过进一步计算可得 gl2T )26421(531()423()( 2 nK1.5xyzp 点解：如图，在半径是 R 的时候，由万有引力公式，对表面的一点的万有引力为, =2M 为地球的质量；可知，地球表面的重力加速度 g , x 为取地心到无限远的广义坐标，22=联立， 可得：,M 为地球的质量；
4、=2当半径增加 ,R2=R+ ,此时总质量不变，仍为 M, 此时表面的重力加速度 可求：22=2=22Bmgeety由得：=22= (+)2则，半径变化后的 g 的变化为=2 (+)2对式进行通分、整理后得：=2 2+2(+)2对式整理，略去二阶量，同时 远小于 R，得=2 2 =2则当半径改变 时，表面的重力加速度的变化为：。=2 2 =21.6解：由题意可建立如图所示的平面极坐标系则由牛顿第二定律可知，质点的运动方程为sin)2(comgrmF其中， VtLrVr,0 X1.8设质点在平面内运动的加速度的切向分量和法向分量都是常数，证明质点的轨道为对数螺线。解：设，质点的加速度的切向分量大
5、小为 ，法向分量大小为 。(其中 、 为常数)则有 = 2= = 其中 为曲率半径。由 式得 v=+0 =122+0+0 其中是 初始位置， 是初始速度大小。0 0把 式代入 式得 =2=(+0)2 由 式=2= +0 对 式积分则得=0 +0+0=(+0)+0 其中 是初始角大小。我们把 式转化为时间关于角的函数0 =(-0)-0 将 式代入 式，于是得质点的轨道方程 =122(-0)022+0 当我们取一定的初始条件 时，令 。方程可以简化为0=0,0=022 =2,=12= 11即质点的轨迹为对数螺线。1.9解：（1）从A点到原长位置，此时间内为自由落体运动。 根据能量守恒： , 所以在
6、原长位置时：21mVgl 112glV因为加速度为g，所以，到达原长的时间为: t210（2）从原长位置到最低点D处，以原长位置为坐标原点，向下为正方向，建立坐标轴Z。 mgklz2化简得： zl2解微分方程得： 221sincosltgCtlgz因为t 2=0时，z=0, 11V所以, tlgltlglzltgltlglz 2122212 cossin,sincos 当 时，0z 212212 )(,)ta( llzlglt时（3）所以总时间为 )tan(221211 lgltt A,D间总距离为 )2(12121 lllzs1-11解：（1）质点运动分为三个阶段。第一阶段为圆周运动，从释放
7、质点到绳子张力为零；第二阶段为斜抛运动，重新下降到与圆周相交位置时有一绷绳过程，质点机械能转化为绳子内能；第三阶段为在最低点附近的摆荡运动。总体来看质点能量不守恒。（2）第一阶段，由能量守恒可得，21)cos(mvgr又，由绳子张力为零可知，r2s第二阶段，设上升高度为 h，则，gvh2)sin(联立、 、 可解得 h= ， ；r27332coslrrh54237cos因此质点上升最高处为 点上方 处。 l54设斜抛到达最高点时水平位移为 s，则，s= = ;)sin(cot)s(gvvr2754llsr54in因此质点上升到最高点时在过圆心竖直轴线左边 处。l1-12解: 由自然坐标系=即=
8、2=2= (1+2)321+21= 1+2Ln |= 11+()2= 2+2=2 =21.13.解：（1）以竖直向下为正方向，系统所受合力 ,故系统动量不守恒；=+=对 O 点， 合力矩为零， 过矩心，故力矩也为零，所以系统角动量守恒；+ 而对系统来说，唯一做功的是重力（保守力） ，因此，系统能量守恒。（2）建立柱面坐标系，由动量定理得： （ +） +=同时有 +=得到： (+22)=()2=0(3)对于小球 A，设其在水平平台最远距离 o 为 r 由动能定理得：1202122=（ ）由角动量守恒得： 0=而 =得到 r=3a而由初始时刻 ，故小球在 a 到 3a 间运动。021.14解：（1）分析系统的受力可知：重力竖直向下，支持力垂直于斜面向上，所受的合外力不为零，故系统动量不守恒；由物体的受力情况可以判断系统的合外力矩不为零，故角动量也不守恒；
