1、第 1 页（共 19 页）2017 高考一轮复习 不等式和均值不等式一选择题（共 14 小题）1 （2010上海） （上海春卷 16）已知 a1，a 2（0，1） ，记 M=a1a2，N=a 1+a21，则 M 与 N的大小关系是（ ）AMN BMN CM=N D不确定2 （2016 春乐清市校级月考）设 a，b 是实数，则“a b1”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件3 （2013天津）设 a，bR，则 “（a b）a 20”是“ab”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （2012湖南）设 ab
2、1，C 0，给出下列三个结论： ；acb c；logb（ac）log a（bc ） 其中所有的正确结论的序号（ ）A B C D5 （2014山东）已知实数 x，y 满足 axa y（0a1） ，则下列关系式恒成立的是（ ）Ax 3y 3 BsinxsinyCln（x 2+1）ln（y 2+1） D 6 （2013陕西）设 x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，y，有（ ）Ax =x B2x=2 x Cx+yx+y Dxyxy7 （2013 秋丰城市校级期末）下列函数中最小值为 4 的是（ ）Ay=x+ By=Cy=e x+4ex Dy=sinx + ， （0x）8 （2013山东）
3、设正实数 x，y，z 满足 x23xy+4y2z=0，则当 取得最小值时，x+2y z 的最大值为（ ）A0 B C2 D第 2 页（共 19 页）9若实数 a，b 满足 ab4ab+1=0（a1） ，则（a +1） （b+2）的最小值为（ ）A24 B25 C27 D3010 （2006 秋 增城市期末）已知 0x1，则 x（3 3x）取得最大值时时 x 的值为（ ）A B C D11 （2014 秋 周口期末）设 x，yR，a1，b1，若 ax=by=2.2a+b=8，则 的最大值为（ ）A2 B3 C4 Dlog 2312 （2012河南一模）函数 y=logax+1（a0 且 a1）的
4、图象恒过定点 A，若点 A 在直线+ 4=0（m 0，n0）上，则 m+n 的最小值为（ ）A2+ B2 C1 D413 （2015陕西）设 f（x）=lnx，0ab，若 p=f（ ） ，q=f（ ） ，r= （f（a ）+f（b） ） ，则下列关系式中正确的是（ ）Aq=rp Bp=rq Cq=rp Dp=r q14 （2014湖北校级模拟）某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（AB AD）的周长为 4 米，沿 AC 折叠使 B 到 B位置，AB交 DC 于 P研究发现当 ADP 的面积最大时最节能，则最节能时 ADP 的面积为（ ）A2 2 B3 2 C2 D2二填
5、空题（共 5 小题）15 （2013安徽）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段CC1 上的动点，过点 A，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） 当 0CQ 时，S 为四边形当 CQ= 时，S 为等腰梯形当 CQ= 时，S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R=当 CQ1 时，S 为六边形当 CQ=1 时，S 的面积为 第 3 页（共 19 页）16 （2015 秋 中山市校级期中）已知 x3，则 +x 的最小值为 17已知 x1，则函数 y= 的最小值是 18 （2014荆州一模）已知
6、x0，y0，且 x+2y=xy，则 log4（x+2y）的最小值是 19若 a，b，x，yR，且 a2+b2=3，x 2+y2=1，则 ax+by 的最大值为 三解答题（共 7 小题）20 （2009广州一模）如图，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于 A、B 的任意一点，A 1A=AB=2（1）求证：BC平面 A1AC；（2）求三棱锥 A1ABC 的体积的最大值21设 a0，b0，且 ab，试比较 aabb 与 abba 的大小22设 f（x）是不含常数项的二次函数，且 1f （ 1）2.2f （1）4 求 f（2）的取值范围23已知 ， 满足 ，试求 +
7、3的取值范围24 （2013 秋 商丘期中） （1）已知 a，b，c 为任意实数，求证：a 2+b2+c2ab+bc+ca；（2）设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，求证：ab+bc+ca 25 （2015丹东二模）已知 a，b 为正实数，（1）若 a+b=2，求 的最小值；第 4 页（共 19 页）（2）求证：a 2b2+a2+b2ab （ a+b+1） 26 （2016 春 和平区期末）已知 x0，y0，且 2x+8yxy=0，求：（1）xy 的最小值；（2）x+y 的最小值第 5 页（共 19 页）2017 高考一轮复习 不等式和均值不等式参考答案与试题解析一选择题（共 14
8、小题）1 （2010上海） （上海春卷 16）已知 a1，a 2（0，1） ，记 M=a1a2，N=a 1+a21，则 M 与 N的大小关系是（ ）AMN BMN CM=N D不确定【分析】根据题意，利用作差法进行求解【解答】解：由 MN=a1a2a1a2+1=（a 11） （a 21）0，故 MN，故选 B【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题2 （2016 春乐清市校级月考）设 a，b 是实数，则“a b1”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【分析】画出 f（x）=x+ 图象，根据函数的单调性，结合充分那样条件的定义可
9、判断【解答】解：f（a）=a+ ，f（b）=b + ，f（x）=x+ 图象如下图根据函数的单调性可判断：若“ab1”则“ ”成立，反之若“ ”则“a b1”不一定成立根据充分必要条件的定义可判断：“ab1”是“ ”的充分不必要条件，故选：A第 6 页（共 19 页）【点评】本题考查了对钩函数的单调性，必要充分条件的定义可判断，属于中档题3 （2013天津）设 a，bR，则 “（a b）a 20”是“ab”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】通过举反例可得“ab”不能推出“（ab）a 20”，由 “（ab）a 20”能推出“ ab”，从而得出结
10、论【解答】解：由“ab”如果 a=0，则（ab）a 2=0，不能推出“（ab）a 20”，故必要性不成立由“（ ab）a 20 2”可得 a20，所以 ab，故充分性成立综上可得“（a b）a 20”是 ab 的充分也不必要条件，故选 A【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题4 （2012湖南）设 ab1，C 0，给出下列三个结论： ；acb c；第 7 页（共 19 页）logb（ac）log a（bc ） 其中所有的正确结论的序号（ ）A B C D【分析】利用作差比较法可判定的真假，利用幂函
11、数 y=xc 的性质可判定的真假，利用对数函数的性质可知的真假【解答】解： = ，ab1，c0 = 0，故 正确；考查幂函数 y=xc，c0y=x c 在（0，+）上是减函数，而 ab0，则 acb c 正确；当 ab1 时，有 logb（a c）log b（bc）log a（bc） ；正确故选 D【点评】本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题5 （2014山东）已知实数 x，y 满足 axa y（0a1） ，则下列关系式恒成立的是（ ）Ax 3y 3 BsinxsinyCln（x 2+1）ln（y 2+1） D 【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单
12、调性的性质是解决本题的关键【解答】解：实数 x，y 满足 axa y（0a 1） ，x y，A当 xy 时，x 3y 3，恒成立，B当 x=，y= 时，满足 xy，但 sinxsiny 不成立C若 ln（x 2+1）ln（y 2+1） ，则等价为 x2y 2 成立，当 x=1，y=1 时，满足 xy，但x2y 2 不成立D若 ，则等价为 x2+1y 2+1，即 x2y 2，当 x=1，y=1 时，满足 xy，但x2y 2 不成立故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键6 （2013陕西）设 x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，y
13、，有（ ）Ax =x B2x=2 x Cx+yx+y Dxyxy【分析】本题考查的是取整函数问题在解答时要先充分理解x的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用【解答】解：对 A，设 x=1.8，则x=1，x=2，所以 A 选项为假第 8 页（共 19 页）对 B，设 x=1.4，2x= 2.8=3，2x=4，所以 B 选项为假对 C，设 x=y=1.8，对 A，x+y=3.6=3，x+y=2 ，所以 C 选项为假故 D 选项为真故选 D【点评】本题考查了取整函数的性质，是一道竞赛的题目，难度不大7 （2013 秋丰城市校级期末）下列函数中最小值为 4 的是（ ）Ay
14、=x+ By=Cy=e x+4ex Dy=sinx + ， （0x）【分析】A当 x0 时，利用基本不等式的性质， y= 4，可知无最小值；B变形为 ，利用基本不等式的性质可知：最小值大于 4；C利用基本不等式的性质即可判断出满足条件；D利用基本不等式的性质可知：最小值大于 4【解答】解：A当 x0 时， =4，当且仅当x=2 时取等号因此此时 A 无最小值；B. = =4，当且仅当x2+2=1 时取等号，但是此时 x 的值不存在，故不能取等号，即 y4，因此 B 的最小值不是 4；C. =4，当且仅当 ，解得 ex=2，即 x=ln4 时取等号，即 y的最小值为 4，因此 C 满足条件；D当
15、 0x 时，sinx0， =4，当且仅当，即 sinx=2 时取等号，但是 sinx 不可能取等号，故 y4，因此不满足条件综上可知：只有 C 满足条件故选 C【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键，特别注意“=” 是否取到8 （2013山东）设正实数 x，y，z 满足 x23xy+4y2z=0，则当 取得最小值时，x+2y z 的最大值为（ ）第 9 页（共 19 页）A0 B C2 D【分析】将 z=x23xy+4y2 代入 ，利用基本不等式化简即可求得 x+2yz 的最大值【解答】解：x 23xy+4y2z=0，z=x 23xy+4y2，又 x，y，z 为正实数， = + 32 3
16、=1（当且仅当 x=2y 时取“=”） ，即 x=2y（y0） ，x+2yz=2y +2y（x 23xy+4y2）=4y2y2=2（y1） 2+22x+2yz 的最大值为 2故选：C【点评】本题考查基本不等式，将 z=x23xy+4y2 代入 ，求得 取得最小值时 x=2y 是关键，考查配方法求最值，属于中档题9若实数 a，b 满足 ab4ab+1=0（a1） ，则（a +1） （b+2）的最小值为（ ）A24 B25 C27 D30【分析】先根据 ab4ab+1=0 求得 a 和 b 的关系式，进而代入到（ a+1） （b+2）利用均值不等式求得答案【解答】解：ab4a b+10b= =4+
17、 ，（a+1） （b+2）=6a + +6=6a+ +9=6（a1）+ +1527（当且仅当 a1= 即 a=2 时等号成立） ，即（a+1） （b+2）的最小值为 27故选：C第 10 页（共 19 页）【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用解题的关键是配出均值不等式的形式10 （2006 秋 增城市期末）已知 0x1，则 x（3 3x）取得最大值时时 x 的值为（ ）A B C D【分析】法一：设 y=x（3 3x）=3 ，利用二次函数的性质可求函数的最大值法二：由 0x1 可得 1x 0，从而利用基本不等式可求 x（3 3x）=3x（1x）的最大值及取得最大值的 x【解答】解
18、：法一：设 y=x（33x）则 y=3（ x2x）= 30x1当 x= 时，函数取得最大值故选 C法二：0x11x 0x（33x）=3x（1x）当且仅当 x=1x 即 x= 时取得最大值故选 C【点评】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，一般的处理方法是对二次函数进行配方，结合函数在区间上的单调性判断取得最值的条件11 （2014 秋 周口期末）设 x，yR，a1，b1，若 ax=by=2.2a+b=8，则 的最大值为（ ）A2 B3 C4 Dlog 23【分析】由 ax=by=2，求出 x，y，进而可表示 ，再利用基本不等式，即可求 的最大值【解答】解：a x=by=2，x=log a2，y=log b2 ， =log2a+log2b=log2ab，
