1、第十三章 空间向量1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘2了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算3掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第 1 课时 空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广本节知识点是：1空间向量的
2、概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量(2) 向量相等：方向 且长度 (3) 向量加法法则： (4) 向量减法法则： (5) 数乘向量法则： 2线性运算律(1) 加法交换律：ab (2) 加法结合律：(ab)c (3) 数乘分配律： (ab) 3共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 基础过关知识网络考纲导读高考导航空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量 a、b( b 0)，ab 等价于存在实数 ，使 (3) 直线的向量参数方程：设直线 l
3、 过定点 A 且平行于非零向量 a，则对于空间中任意一点O，点 P 在 l 上等价于存在 ，使 Rt4共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量(2) 共面向量定理：两个向量 a、b 不共线，则向量 P 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对( )，使 P yx,共面向量定理的推论： 5空间向量基本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量(2) 空间向量基本定理：如果 a，b，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量 p，存在一个唯一的有序实数组 ，使 zyx,空间向量基本定理的推论：设 O，A ，B，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点 P，都存在唯一的有序实数组 ，使 ,6空间向
4、量的数量积(1) 空间向量的夹角： (2) 空间向量的长度或模： (3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量 a、b，则 ab 空间向量的数量积的常用结论：(a) cosa、b ； (b) a2 ；(c) a b (4) 空间向量的数量积的运算律：(a) 交换律 ab ； (b) 分配律 a(bc) 例 1已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 F 是侧面 CDD1C1 的中心，若，求 xy 的值.1yABxDF解：易求得 0,2变式训练 1. 在平行六面体 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若1DCBAa， b， c，则下列向量中与 相等的向量是 ( )1BA1DA1A a b
5、c B a bc 22C a bc D a bc112解：A例 2. 底面为正三角形的斜棱柱 ABCA 1B1C1 中，D 为 AC 的中点，求证：AB 1平面 C1BD.典型例题ABCDA1C1B1证明：记 则 ,1cAbCaAB cbCDbaADBcaB 21,21,1, 共面.1cD,DCB 1 平面 C1BD, AB1/平面 C1BD.变式训练 2：正方体 ABCDEFGH 中，M、N 分别是对角线 AC 和 BE 上的点，且AMEN(1) 求证：MN平面 FC； (2) 求证：MNAB； (3) 当 MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？解：(1) 设 .)1(, BFkCM
6、NkACEBN则(2) .0)1( ABFM(3) 设正方体的边长为 a, 21)2(kkN则也即 ，则AC1aNmin例 3. 已知四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD ， G、H 分别是ABC 和ACD 的重心求证：(1) ADBC； (2) GHBD证明：(1) ADBC 因为 AB CD ， ，而0BCD0CDAB0BDAC)()(BACD所以 ADBC(2) 设 E、F 各为 BC 和 CD 的中点欲证 GHBD，只需证 GHEF， (HG32) A32变式训练 3：已知平行六面体 ，E、F、G、H 分别为棱 的1DCBA ABCDA和11,中点求证：E、F、G、H 四点共面解：
7、 C1GH ，1FAE2所以 共面，即点 E、F、G、H 共面EGF,例 4. 如图，平行六面体 AC1 中，AE3EA 1，AFFD，AG ，过 E、F、G 的平面与B21对角线 AC1 交于点 P，求 AP:PC1 的值D F A GBB1C1D1 A1C EP解：设 1CmAFEGDBB23411 mAP又E、F、G、 P 四点共面， 1234m APPC 1316193m变式训练 4：已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点，P 为 OA 的中点，Q 为 OB 的中点，若 ABOC，求证 QP证明：法一： )(21OCBM)(21COAN)(21BPAQ
8、0)(412BOCNPM故 法二： ( )( )QPMQN )(21OCAB)21BA 041立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直，一般是利用 ab ab0 进行证明对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果小结归纳3利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角 )有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公
9、式 cos ba4异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线 l1、l 2， AB 为其公垂线段，C、D 分别为l1、l 2 上的任意一点， 为与 共线的向量，则 .nABAB|n5设平面 的一个法向量为 ，点 P 是平面 外一点，且 Po，则点 P 到平面 的距离是d .|nPo第 2 课时 空间向量的坐标运算设 a ，b),(321 ),(321b(1) ab (2) a (3) ab (4) ab ；a b (5) 设 ),(),(21zyxBzyxA则 ， BAAB 的中点 M 的坐标为 例 1. 若 (1,5,1)， ( 2,3,5)ab（1）若(k + )( 3 )，求实数 k 的值
10、；a（2）若(k + )( 3 )，求实数 k 的值；bb（3）若 取得最小值，求实数 k 的值a解：(1) ；31k(2) ； (3)06278k变式训练 1. 已知 为原点，向量 ，求O3,01,2,AOBCOABAC典型例题基础过关解：设 ，,1,2OCxyzBxyz ， ， ，A0OCABOAR ，即30,123,1xzy ,3,2.xzyz解此方程组，得 。7,00xy ， 。21,OC 371,ACO例 2. 如图，直三棱柱 ，底面 中，CACB1， ，棱 ，1BB90BCA21M、N 分别 A1B1、A 1A 是的中点(1) 求 BM 的长； (2) 求 的值； 1,cosC(3
11、) 求证： NBA解：以 C 为原点建立空间直角坐标系 .xyzO(1) 依题意得 B（0，1，0） ，M（1，0，1） .3)01()()01(22BM(2) 依题意得 A1（1，0，2） ， B（0，1，0） ，C（0，0，0） ，B 1（0，1，2）.5,6,3),()(11CBA.103,cos1A(3) 证明：依题意得 C1（0，0，2） ，N .)0,21(),21(),21( NCBAx yzB1C1A1CBAMNNCBANCBA11,02变式训练 2. 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面ABCD，AB ，BC1，PA2，E 为 PD 的中点3(1
12、) 在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离； (2) 求(1) 中的点 N 到平面 PAC 的距离解：(1) 建立空间直角坐标系 ABDP，则 A、B 、C、D、P、E 的坐标分别是 A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C( , 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设 N(x, 0, z)，则 ( x, , 33 21NE211z)，由于 NE平面 PAC， 0ACNEP即 02130),13(),21(2, xzzx，即点 N 的坐标为 ( , 0, 1)，16z 6从而 N 到 AB、AP
13、 的距离分别为 1， .3(2) 设 N 到平面 PAC 的距离为 d，则 d |NEA .123|)0,2163(|,| 例 3. 如图，在底面是棱形的四棱锥 中， ，点 EABCDP,60aACP aPDB2在 上，且 : 2:1PDE(1) 证明 平面 ；ABCD(2) 求以 AC 为棱， 与 为面的二面角 的大小；(3) 在棱 PC 上是否存在一点 F，使 平面 ？证明你的结论BAEC解：（1）证明略；（2）易解得 ；30（3）解 以 A 为坐标原点，直线 分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂直于平面 PAD 的直线PD, C DB A P EA BCPE D为 x 轴，建立空间直角坐
14、标系（如图） 由题设条件，相关各点的坐标为)0,213(),021,3(),0( aCaBA,EPaD所以 ， ，A)31,20(aA)0,213(aP),C),(，设点 F 是棱 上的点， ，其中 ，则B,213(aPCPCF),213(a10令 得)1(,2),1(3aaPF AEB21213)(13(3aa解得 ，即 时， 亦即，F 是 PC 的中点时，23,1,21CF23共面，又 平面 ，所以当 F 是 PC 的中点时， 平面 AECBF, BFAECBAEC例 4. 如图，多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，其中AB4，BC1，BE3，CF4.(1) 求
15、 和点 G 的坐标；(2) 求 GE 与平面 ABCD 所成的角；(3) 求点 C 到截面 AEFG 的距离解：(1) 由图可知：A(1，0， 0)，B(1，4，0)，E(1，4，3) ，F(0 ，4，4) )1,0(EF又 ，设 G(0，0，z) ，则( 1，0，z)EFAG(1，0，1) z 1 G(0，0，1)(2)平面 ABCD 的法向量 ).,(DG，设 GE 与平面 ABCD 成角为 ，则)2,41(GE 21|cosGED 21arin(3)设 面 AEFG， ( x0，y 0，z 0)0n ， ，而 (1，0，1) ， (0，4，3)nAG0EAGAEZADG EFCBxy )
16、,43,(43034 000zznzyxzyx 取 z04，则 (4，3，4)0n 416|),(0nCFdCF即点 C 到截面 AEFG 的距离为 变式训练 4. 如图四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PG平面 ABCD，垂足为 G，G 在 AD 上，且 PG4， ，BGGC， GBGC2，E 是 BC 的中点GDA31(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值；(2)求点 D 到平面 PBG 的距离；(3)若 F 点是棱 PC 上一点，且 DFGC，求 的FCP值解：(1)以 G 点为原点， 为 x 轴、y 轴、GCB、z 轴建立空间直角坐标系，则 B(2，0，
17、0) ，C (0，2，0)，P(0，0，4) ，故 E(1，1，0)， (1 ，1，0)， (0，2，4)。C，102|cos PCGE，GE 与 PC 所成的余弦值为 10(2)平面 PBG 的单位法向量 n(0，1，0) ，)23(43，BAD点 D 到平面 PBG 的距离为 n | .GD|(3)设 F(0，y， z)，则 。)23()023()0( zyzyF， ， ，GC即 ，032)0()23( yzy， , 又 ，即(0， ，z4) (0，2，4)， z=1，PFPA GB CDFE故 F(0， ，1) ， ， 。23 )120()320(， FCPF352PFC对于以下几类立体
18、几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题； (5) 探索性问题运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程 空间向量章节测试题1在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB=2，A A1=1，则点 A 到平面 A1BC 的距离为（ ）A B C D4323
19、4332在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB= BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为2A.60 B. 90 C.105 D. 753正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AA1 与 CC1 的中点，则直线 ED 与 D1F 所成角的大小是 （ ）A B。 C。 D。1532324 设 E，F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点，在正方体的 12 条面对角线中，与截面A1ECF 成 60角的对角线的数目是 （ ）A0 B2 C4 D65棱长都为 2 的直平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，BAD=60，则对角线 A1C 与侧面DCC1D1 所成角的正弦值为 （ ）A B C D243836 在棱长为 2 的正方体 中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 、1DAC 1CAD 的中点，那么异面直线 OE 和 所成的角的余弦值等于 （ ）FA B C D510325517 棱长为 a 的正四面体中，高为 H，斜高为 h，相对棱间的距离为 d，则 a、H 、h、d 的大小关系正确的是 （ ）AaH hd B adhH CahdH DahHd8将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使平面 ABD平面 CBD，E 是 CD 中点，则的大小为 （ ）EDA. B. C. D.45306090小结归纳
