1、第 1 页 共 13 页一元二次方程总复习考 点 1：一元二次方程的概念一 元 二 次 方 程 ： 只 含 有 一 个 未 知 数 ， 未 知 数 的 最 高 次 数 是 2， 且 系 数 不 为 0， 这 样 的 方 程叫一元二次方 程 一 般 形 式 ： ax2 bx+c=0(a0） 。 注 意 ： 判 断 某 方 程 是 否 为 一 元 二 次 方程时，应首先将方程化为一般形式。考 点 2：一元二次方程的解法1.直 接 开 平 方 法 ： 对 形 如 (x+a） 2=b（ b0） 的 方 程 两 边 直 接 开 平 方 而 转 化 为 两 个 一 元 一 次 方程的方法。x+a= b x
2、1 =-a+ b x2 =-a- b2.配 方 法 ： 用 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 ： ax2 bx+c=0(k0） 的 一 般 步 骤 是 ： 化 为 一 般 形 式 ； 移 项 ， 将 常 数 项 移 到 方 程 的 右 边 ； 化 二 次 项 系 数 为 1， 即 方 程 两 边 同 除 以 二 次 项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a） 2=b 的 形 式 ； 如 果 b0 就 可 以 用 两 边 开 平 方 来 求 出 方 程 的 解 ； 如 果 b0， 则 原 方 程 无 解 3.公 式 法 ： 公 式 法 是 用 求 根 公 式
3、 求 出 一 元 二 次 方 程 的 解 的 方 法 它 是 通 过 配 方 推 导 出 来 的 一元二次方程的求根公式是 x b b 2 4ac (b24ac0)。步骤：把方程转化为一般形2a式；确定 a，b，c 的值； 求出 b2 4ac 的值，当 b24ac0 时代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理论根据：若 ab=0， 则 a=0 或 b=0。 步 骤 是 ： 将 方 程 右 边 化 为 0；将方程左边分解为两个一 次 因 式 的 乘 积 ； 令 每 个 因 式 等 于 0， 得 到 两 个 一 元 一 次 方 程 ， 解 这 两 个
4、 一 元 一 次 方 程 ， 它们的解就是原一元二次方程的解 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。第 2 页 共 13 页5一元二次方程的注意事项： 在 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 中 要 注 意 ， 强 调 a0 因 当 a=0 时 ， 不 含 有 二 次 项 ， 即 不 是 一元二次方程 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定 a，b，c 的值； 若 b24ac0，则方程无解 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x4) 2 =3（x4）中，不能随便约去 x 4。 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别
5、要求外）但又必须熟练掌握，解一 元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法6一元二次方程解的情况b 24ac0 方程有两个不相等的实数根； b2 4ac=0 方程有两个相等的实数根；b 24ac0 方程没有实数根。 解 题 小 诀 窍 ： 当 题 目 中 含 有 “两 不 等 实 数 根 ”“两 相 等实 数 根 ”“没 有 实 数 根 ”时 ， 往 往 首 先考虑用 b2 4ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考 点 3：根与系数的关系:韦达定理对于方程 ax2 bx+c=0(a0） 来 说 ， x + x = b ， x x = c 。1 2 a 1 2 a利用韦达定
6、理可以求一些代数式的值（式子变形），如 x2 x2 (x x )2 2x x1 2 1 2 1 2解 题 小 诀 窍 ： 当 一 元 二 次 方 程 的 题 目 中 给 出 一 个 根 让 你 求 另 外 一 个 根 或 未 知 系 数 时 ， 可 以 用韦达定理。 二、经典考题剖析：第 3 页 共 13 页12【考题 11】下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ）1Aax bx+c=0 B. kx5k+6=0 C.3x2x+x =0 D.( k 3) x2x+1=0【考题 12】解方程：x2x3=0【考题 13】已知方程 5x2+kx 10=0 一个根是5，求它的另一个根及 k 的值 三
7、、针对性训练：1、下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ）A.3(x 1)2 2(x 1) B. 1 1 2 0x2 yC. ax2 bx c 0D. x2 2x x2 12、 若 2x+3 与 2x-4 互为相反数，则 x 的 值 为 3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A.x2-2x-99=0 化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0 化为(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0 化 为 (t 7 )2 814 16D.3y2-4y-2=0 化 为 ( y 2)2 103 94、 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 (m 1)x2 x m2 2m 3 0 的 一
8、 个 根 为 x=0， 则 m 的 值 为 （ ）Am=3 或 m=1 Bm= 3 或 m= 1 Cm=1 Dm=35、 (2009 济南) 若 x1 ， x2 是方程 x5x+6=0 的两个根，则 x1 +x2 的值是（ ） A .1 B.5 C. 5 D.66、 (2009 眉山) 若 x1 ， x2 是方程 x3x1=0 的两个根，则 1 1 的值为（ ）1A.3 B.3 C.31D.3x1 x27、 (2009 潍坊) 若 x1 ， x2 是方程 x6x+k 1=0 的 两 个 根 ， 且 x2 x2 24 ， 则 k 值 为（ ）A.8 B. 7 C.6 D.5第 4 页 共 13
9、页8、 (2009 成都)若方程 kx 2 2x1=0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 （ ） A.k1 B. k1 且 k0 C. k1 D. k1 且 k09、已知一元二次方程 x 2 +2x8=0 的一根是 2，则另一个根是 .10、 若 关 于 x 的方程 x 2 +（2k+1）x+2 k 2 =0 有实数根，则 k 的取值范围是 11、解方程： (1) 2(2x 3)2 32 ; (2)3y（y-1）=2（y-1）(3) 3(4x 9)(2x3)=0; (4) x6x+8=012、 (2009 鄂州)关于 x 的方程 kx 2 +(k+2)
10、x+ k =0 有两个不相等的实数根，4(1)求 k 的取值范围；(2)是 否 存 在 实 数 k 使 方 程 的 两 个 实 数 根 的 倒 数 和 等 于 0？ 若 存 在 求 出 k 的 值 ； 不 存 在 说 明理由。考点：一元二次方程的应用一、考点讲解： 1构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下： 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有 关 增 长 率 的 应 用 ： 此 类 问 题 是 在 某 个 数 据 的 基 础 上 连 续 增 长 （ 降 低 ） 两 次 得 到 新 数 据 ， 常 见 的 等 量 关 系 是 a(1x） 2=b， 其 中 a 表 示 增
11、 长 （ 降 低 ） 前 的 数 据 ， x 表 示 增 长 率 （ 降第 5 页 共 13 页低率）， b 表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过 1。 经 济 利 润 问 题 ： 总 利 润 =（ 单 件 销 售 额 单 件 成 本 ） 销 售 数 量 ； 或 者 ， 总 利 润 =总 销 售 额总成本。 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中 变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流 畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍
12、，以保证结论的准确性二、经典考题剖析：【 考 题 1】 （ 2009、 深 圳 南 山 区 ） 课 外 植 物 小 组 准 备 利 用 学 校 仓 库 旁 的 一 块 空 地 ， 开 辟 一 个面积为 130 平 方 米 的 花 圃 （ 如 图 1 2 1） ， 打 算 一 面 利 用 长 为 15 米 的 仓 库 墙 面 ，三面利用长为 33 米的旧围栏，求花圃的长和宽 解：设与墙相接的两边长都为 x 米，则另一边长为 33 2x米 ，依题意得 x 33 2x130 ，2x2 33x 130 0 x 10 x 131 2 2又 当 x1 10 时 ， 33 2x1313当 x2 时 ， 33
13、 2x20 15213 x 不合题意，舍去 x 102答：花圃的长为 13 米，宽为 10 米 【 考 题 2】 （ 2009、 襄 樊 ） 为 了 改 善 居 民 住 房 条 件 ， 我 市 计 划 用 未 来 两 年 的 时 间 ， 将 城 镇 居 民 的 住 房 面 积 由 现 在 的 人 均 约 为 10 平 方 米 提 高 到 12.1 平 方 米 ， 若 每 年 的 增 长 率 相 同 ， 则年增长率为（）第 6 页 共 13 页A.9 B.10 C. 11 D.12 解：设年增长率为 x，根据题意得 10(1+x) 2 =12.1，解 得 x1=0.1， x2 =2.1 因为增长
14、率不为负，所以 x=0.1。故选 D。【 考 题 3】 （ 2009、 海 口 ） 某 水 果 批 发 商 场 经 销 一 种 高 档 水 果 如 果 每 千 克 盈 利 10 元 ， 每 天可售出 500 千 克 ， 经 市 场 调 查 发 现 ， 在 进 货 价 不 变 的 情 况 下 ， 若 每 千 克 涨 价 1 元 ， 日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利 6000 元，同时又要使顾客得到实惠， 那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价 x 元，依题意，得 (5002 0 x)（10+x ）=6000整理，得 x 2 15x50=0 解这个方程，x 1 =5，x
15、2 =10 要使顾客得到实惠，应取 x=5 答：每千克应涨价 5 元点 拨 ： 此 类 经 济 问 题 在 设 未 知 数 时 ， 一 般 设 涨 价 或 降 价 为 未 知 数 ； 应 根 据 “要 使 顾 客 得到实惠”来取舍根的情况【 考 题 4】 如 图 ， 在 ABC 中 ， B=90， AB=5， BC=7， 点 P 从 A 点 开 始 沿 AB 边 向 点 B 点 以 1cm/s 的 速 度 移 动 ， 点 Q 从 B 点 开 始 沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果点 P、 Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于 4？第 7 页
16、 共 13 页（2）如果点 P、 Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟， PQ 的长度等于 5？解：（1）设经过 x 秒钟，PBQ 的面积等于 4， 则由题意得 AP=x，BP=5x，BQ=2x,1 1由 BPBQ=4，得2 2（5x）2x=4，解得，x 1 =1，x 2 =4当 x=4 时，BQ=2x=87=BC ，不符合题意。故 x=12（2）由 BP2+BQ2 2=5 得（ 5x）2+（ 2x）2=5 ,解 得 x1=0（不合题意），x2=2所 以 2 秒 后 ， PQ 的长度等于 5。 三、针对性训练：1 小 明 的 妈 妈 上 周 三 在 自 选 商 场 花 10 元 钱 买
17、 了 几 瓶 酸 奶 ， 周 六 再 去 买 时 ， 正 好 遇 上 商 场 搞 酬 宾 活 动 ， 同 样 的 酸 奶 ， 每 瓶 比 周 三 便 宜 0 5 元 ， 结 果 小 明 的 妈 妈 只 比 上 次 多 花 2 元钱，却比上次多买了 2 瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2 合 肥 百 货 大 搂 服 装 柜 在 销 售 中 发 现 ： “宝 乐 ”牌 童 装 平 均 每 天 可 售 出 20 件 ， 每 件 盈 利40 元 。 为 了 迎 接 “十 一 ”国 庆 节 ， 商 场 决 定 采 取 适 当 的 降 价 措 施 ， 扩 大 销 售 量 ， 增 加盈利，尽快减少库存。经市场调
18、查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售 出 8 件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少？3 在 宽 为 20 米 、 长 为 32 米 的 矩 形 地 面 上 ， 修 筑 同 样 宽 的 两 条 互 相 垂 直 的 道 路 ， 余 下 部 分 作为耕地，要使耕地面积为 540 米 2，道路的宽应为多少？20m32m第 8 页 共 13 页4 小 红 的 妈 妈 前 年 存 了 5000 元一年期的定期储蓄，到期后自动转存 .今年到期扣除利息税（利息税为利息的 20%），共取得 5145 元.求这种储蓄的年利率.（精确到 0.1%） 5 如图
19、12-3， ABC 中 ， B=90， 点 P 从 A 点开始沿 AB 向 点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边 向 C 点 以 2cm/s 的速度移动。（1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经几秒钟，使ABQ 的面积等于 8cm?(2)如果 P、 Q 分 别 从 A、 B 同 时 出 发 ， 并 且 P 到 B 后 又 继 续 在 BC 边 上 前 进 ， Q 以 C 后 又 继续在 AC 边上前进，经几秒钟，使PCQ 的面积等于 12.6 cm。1解：依题意，得：2 （ 6-x） 2x=8解这个方程得：x1=2，x2=4即经过 2s，点 P 到距离
20、 B 点 4cm 处，点 Q 到距离 B 点 4cm 处；经过 4s，点 P 到距离 B 点 2cm 处，点 Q 到距离 B 点 8cm 处。故本小题有两解。（ 2） 设 经 过 x 秒 ， 点 P 移动到 BC 上 ， 且 有 CP=（ 14-x） cm,点 Q 移动到 CA 上 ， 且 命 名 CQ=（ 2x-8） cm， 过 Q 作 QD CB 于 D。CQDCAB，QD AB 6(2x 8) 2x 8， 即 QD=AC1。106(2x 8)依题意，得：2（14-x）10 =12.6，解这个方程得：x1=7，x2=11经 过 7s， 点 P 在 BC 距 离 C 点 7cm 处 ， 点
21、Q 在 CA 上 距 离 C 点 6cm 处 ， 使 SPCQ=12.6cm2 经过 11s， 点 P 在 BC 距 离 C 点 3cm 处 ， 点 Q 在 CA 上 距 离 C 点 14cm 处 ， 14 0,点Q 已超出 CA 范围，此解不存在。故本题只有一解。中考真题第 9 页 共 13 页1 221.钟 老 师 出 示 了 小 黑 板 上 的 题 目 (如 图 1 2 2） 后 ， 小 敏 回 答 ： “方 程 有 一 根 为 1”， 小 聪回答：“方程有一根为 2”则你认为（ ） A只有小敏回答正确 B只有小聪回答正确 C两人回答都正确 D两人回答都不正确2.解一元二次方程 x 2
22、x12=0，结果正确的是（ ）A x 1 =4， x 2 =3 B x 1 =4， x 2 = 3 C x 1 = 4， x 2 = 3 D x 1 =4，x 2 =33.方 程 x(x 3) (x 3) 解是（ ）A x 1 =1 B x 1 =0， x 2 = 3 C x 1 =1， x 2 =3 D x 1 =1， x 2 = 34.若 t 是 一 元 二 次 方 程 ax 2 bx+c=0(a0） 的 根 ， 则 判 别 式 = b 2 4ac 和 完 全 平 方 式 M=(2at+b) 2 的关系是（ ）A =M B M C M D 大 小 关 系 不 能 确 定5.方 程 x2 (
23、x 1) 0 的根是（ ）A0 B 1 C0，1 D0，16.已知一元二次方程 x 2 2x7=0 的两个根为 x ， x ， 则 x 1 + x 2 的值为（ ）A2 B 2 C7 D77.已 知 x 1 、 x 2 是方程 x 1 3x 1 0 的两个实数根，则x11 的值是( )x21A、3 B、3 C、3D、 18.用 换 元 法 解 方 程 (x 2 x) 2 (x 2 x) 6 时 ， 如 果 设 x 2 x y， 那 么 原 方 程 可 变 形 为 （ ）第 10 页 共 13 页1 22A、y 2 y60 B、y 2 y6 0 C、y 2 y6 0 D、y 2 y6 0 9.方
24、 程 x 2 5x=0 的根是（）A0 B0，5 C5，5 D5 10.若 关 于 x 的方程 x 2 2x k=0 有实数根，则（ ）Ak1，B k1 Ck1 Dk 111.如果一元二次方程 x 2 4x20 的两个根是 x ， x ，那么 x 1 x 2 等于（ ）A. 4 B. 4 C. 2 D. 212.用换元法解方程(x 2 x) x 2 x 6 时，设 x 2 x y，那么原方程可化为（ ）A. y 2 y60 B. y 2 y60 C. y 2 y60 D. y 2 y6 013.设 x 1 ， x 2 是方程 2x +3x-2=0 的两个根，则 x 1 x 2 的值是 ( )2
25、 2A-3 B3 C D3 314.方 程 x 3 -x=0 的解是（ ）A0，1 B1 ，-1 C0 ，-1 D0 ，1，1( x )2 5x 4 0 时 ， 若 设 x =y,则 原 方 程15.用换元法解方程 x 1 x 1 x+1 _ _16.两 个 数 的 和 为 6，差（注意不是积）为 8，以这两个数为根的一元二次方程是 17.方 程 x 2 x=0 的 解 是 18.等 腰 ABC 中 ， BC=8， AB、 BC 的 长 是 方 程 x 2 10x+m= 0 的 两 根 ， 则 m 的 值 是 .19. 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2 +2x+1=0 的 两 个 根 同 号 ， 则 a 的 取 值 范 围 是_.20.解 方 程 2x2 -9x+5=x-321.解方程： x 3 2x 2 3x 0.
