1、z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解 设这两个月的平均增长率是 x.，则根据题意，得200(120%)(1+ x)2193.6 ，即(1+ x)21.21，解这个方程，得 x10.1， x22.1（舍去）.答 这两个月的平均增长率是10%.说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2 n 求解，其中 m n.对于负的增长率
2、问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m(1 x)2 n 即可求解，其中 m n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（35010 a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得( a21)(35010 a)400，整理，得 a256 a+7750，解这个方程，得 a125， a231.因为21(1+20%) 25.2，所以 a2=31不合题意，舍去.所以35010 a35010 25100（件）.答 需要进货100件，每件商品应定价25
3、元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行” ，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解 设第一次存款时的年利率为 x.则根据题意，得1000(1+ x)500(1+0.9 x)530.整理，得90 x2+145x30.解这个方程，得 x10.02042.04% ， x21.63.由于存款利率不能为负数，所
4、以将x21.63 舍去 .答 第一次存款的年利率约是2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为 xm，那么渠底宽为 (x+0.1)m，上口宽为( x+0.1+1.4)m.则根据题意，得 (x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8 ，整理，得 x2+0.8x1.8 0.解这个方程，得 x
5、11.8 （舍去） ， x21.所以 x+1.4+0.11+1.4+0.12.5.答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x3.则根据题意，得 x210( x3)+ x，即 x2-11x+300，解这个方程，得 x5或 x6.当 x5时，周瑜的年龄 25岁
6、，非而立之年，不合题意，舍去；当 x6时，周瑜年龄为 36岁，完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2 分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979， 1980， 1984，1985.经核实，有一位同学统计无误. 试计算这次比赛共有多少个选手参加.解 设共有 n 个选手参加比赛，每个选手都要与( n1) 个选手比赛一局，共计 n(n1) 局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为 n(n1)局.由于每局共计2 分，所以全部选手得
7、分总共为 n(n1)分. 显然( n1)与 n 为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6 ，故总分不可能是1979， 1984， 1985，因此总分只能是1980，于是由 n(n1)1980 ，得n2 n 1980 0，解得 n145， n244（舍去）.答 参加比赛的选手共有45人.说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1 对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风
8、景区旅游？解 设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 .因为1000252500027000，所以员工人数一定超过 25人 .则根据题意，得100020( x25) x27000.整理，得 x275 x+13500，解这个方程，得 x145， x230.当 x45时，100020( x 25)600700，故舍去 x1；当 x2 30时， 100020( x 25)900700，符合题意 .答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建
9、成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解 都能.（1）设小路宽为 x，则18 x+16x x2 1815，即 x234 x+1800 ，解这个方程，得 x ，即 x6.6.（2）设扇形半径为 r，则3.14 r2 1815，即 r257.32，所以 r7.6.说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不
10、变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题例9 如图 4所示，在 ABC 中，C90?/SPAN， AC6cm ， BC8cm，点 P从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以1cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以2cm/s 的速度移动.（1）如果 P、 Q 同时出发，几秒钟后，可使 PCQ 的面积为8 平方厘米？（2）点 P、 Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 PCQ 的面积等于 ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由 .解 因为 C90?/SPAN ，所以 AB 10（cm）.（1）设 xs 后，可使 PCQ 的面积为
11、8cm 2，所以 AP xcm， PC(6 x)cm， CQ2 xcm.则根据题意，得 (6 x)2x8.整理，得 x26 x+80，解这个方程，得x12 ， x24.所以 P、 Q 同时出发，2s 或4s 后可使 PCQ 的面积为8cm 2.（2）设点 P 出发 x 秒后， PCQ 的面积等于 ABC 面积的一半 .则根据题意，得 (6 x)2x 68.整理，得 x26 x+120.由于此方程没有实数根，所以不存在使 PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻.说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程速度时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜
12、靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 8（m）.（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动 xm.则根据勾股定理，列方程7 2+(6+x)210 2，整理，得 x2+12x150 ，解这个方程，得 x11.14， x213.14（舍去） ，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动 xm.则根据勾股定理
13、，列方程(8 x)2+(6+1)2100.整理，得 x216 x+130.解这个方程，得 x10.86， x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.（3）设梯子顶端向下滑动 xm 时，底端向外也滑动 xm.则根据勾股定理，列方程 (8 x)2+(6+x)210 2，整理，得 2x24 x0 ，解这个方程，得 x10（舍去） ， x22.所以梯子顶端向下滑动2m 时，底端向外也滑动2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11 如图5所示，我海军基地位于 A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标
14、 B，在 B 的正东方向200海里处有一重要目标 C，小岛 D 恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）解（1） F 位于 D 的正南方向，则 DF BC.因为 AB BC， D 为 AC 的中点，所以DF AB100 海里，所以，小岛
15、D 与小岛 F 相距100 海里.（2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE x 海里， AB+BE2 x 海里，EF AB+BC (AB+BE) CF(3002 x)海里.在 Rt DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2100 2+(3002 x)2，整理，得3x21200 x+1000000.解这个方程，得 x1200 118.4， x2200+ （不合题意，舍去）.所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例12 如图6所示，正方形 A
16、BCD 的边长为12，划分成1212个小正方形格，将边长为 n（ n 为整数，且2 n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张 nn 的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的 nn 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为( n 1)(n1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD 的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长 n 的取值不同， 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长 n 2 3 4 5 6使用的纸片张数（2）设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为 S1，未被盖住的
17、面积为 S2.当 n2 时，求 S1 S2的值；是否存在使得 S1 S2的 n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.解（1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.（2） S1 n2+(12 n)n2( n1) 2 n2+25n12.当 n2 时， S12 2+2521234， S212 1234110.所以 S1 S234 11017 55.若 S1 S2，则有 n2+25n12 122，即 n225 n+840，解这个方程，得 n14 ， n221 （舍去）.所以当 n4 时， S1 S2.所以这样的 n 值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中
18、的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为 xcm，则另一段为（20 x）cm.则根据题意，得 + 17，解得 x116， x24 ，当 x16时，20 x4，当 x4时，20 x16，答 这段铁丝
19、剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.（2）不能 .理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 ycm，则另一段为（20 y）cm.则由题意得 + 12，整理，得 y220 y+1040，移项并配方，得( y10)24 0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的 b2 4ac 来判定. 若b2 4ac0，方程有两个实数根，若 b24 ac0，方程没有实数根，本题中的b2 4ac160 即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7，在等腰梯形 ABCD 中， AB DC5， AD4， BC10.点 E 在下底边BC 上，点 F 在腰 AB 上.（1）若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设 BE 长为 x，试用含 x 的代数式表示 BEF的面积；（2）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 12的两部分？若存在，求此时 BE 的长；若不存在，请说明理由.
