1、一元二次方程的应用1某地区 2014 年投入教育经费 2500 万元，2016 年投入教育经费 3025 万元（1）求 2014 年至 2016 年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2017 年该地区将投入教育经费多少万元2白溪镇 2012 年有绿地面积 57.5 公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014 年达到 82.8公顷（1）求该镇 2012 至 2014 年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷？3某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映：每降价 1 元，
2、每星期可多卖出 20 件已知商品的进价为每件 40 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 6080 元的利润，应将销售单价定位多少元？4水果店张阿姨以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天可售出 100 斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤，为保证每天至少售出 260 斤，张阿姨决定降价销售（1）若将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是 斤（用含 x 的代数式表示） ；（2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？5某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利
3、40 元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件；（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？6某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x40） ，请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把化简后的结果填写在表格中：
4、销售单价（元） x销售量 y（件） 销售玩具获得利润 w（元） （2）在（1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少元7利用一面墙（墙的长度不限） ，另三边用 58m 长的篱笆围成一个面积为 200m2 的矩形场地，求矩形的长和宽8 ）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80m2？9如图，某农场有一块长 40m，宽 32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条
5、等宽的小路，要使种植面积为 1140m2，求小路的宽10某小区在绿化工程中有一块长为 18m、宽为 6m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为 60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示） ，求人行通道的宽度11李明准备进行如下操作实验，把一根长 40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由参考答案与试题解析1某地区 2014 年投入教育经费 2500 万元，2016 年
6、投入教育经费 3025 万元（1）求 2014 年至 2016 年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2017 年该地区将投入教育经费多少万元【考点】一元二次方程的应用增长率问题菁优网版权所有【解答】解：设增长率为 x，根据题意 2015 年为 2500（1+x）万元，2016 年为2500（1+x） 2 万元则 2500（1+x） 2=3025，解得 x=0.1=10%，或 x=2.1（不合题意舍去） 答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10%（2）3025（1+10%）=3327.5（万元） 故根据（1）所得的年平均增长率，预计 2017 年该地区
7、将投入教育经费 3327.5 万元2白溪镇 2012 年有绿地面积 57.5 公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014 年达到 82.8公顷（1）求该镇 2012 至 2014 年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷？【考点】一元二次方程的应用增长率问题菁优网版权所有【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为 x，根据意，得 57.5（1+x） 2=82.8 解得：x 1=0.2，x 2=2.2（不合题意，舍去）答：增长率为 20%； （2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36 公顷，答：2015 年该镇绿地面积不能达到
8、100 公顷【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键3某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件已知商品的进价为每件 40 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 6080 元的利润，应将销售单价定位多少元？【考点】一元二次方程的应用销售问题菁优网版权所有【解答】解：降价 x 元，则售价为（60x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得， （60x 40） （300+20x）=6080，解得 x1=1，x 2=4，又顾
9、客得实惠，故取 x=4，即定价为 56 元，答：应将销售单价定位 56 元【点评】本题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解4水果店张阿姨以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天可售出 100 斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤，为保证每天至少售出 260 斤，张阿姨决定降价销售（1）若将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是 100+200x 斤（用含 x 的代数式表示） ；（2）销售这种水果要想每天盈利 3
10、00 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【考点】一元二次方程的应用销售问题菁优网版权所有【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是100+ 20=100+200x（斤） ；（2）根据题意得：（42 x） （ 100+200x）=300，解得：x= 或 x=1，当 x= 时，销售量是 100+200 =200260；当 x=1 时，销售量是 100+200=300（斤） 每天至少售出 260 斤，x=1答：张阿姨需将每斤的售价降低 1 元【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系
11、列方程求解5某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件；（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【考点】一元二次方程的应用销售问题菁优网版权所有【解答】解：（1）设每件衬衫应降价 x 元，根据题意得（40x） （20+2x）=1200，整理得 2x260x+400=0解得 x1=20，x 2=10因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬
12、衫应降 20 元答：每件衬衫应降价 20 元（2）设商场平均每天赢利 y 元，则y=（20+2x） （40x）=2x2+60x+800=2（x 230x400）= 2（x15） 2625=2（x15） 2+1250当 x=15 时，y 取最大值，最大值为 1250答：每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为 1250 元【点评】 （1）当降价 20 元和 10 元时，每天都赢利 1200 元，但降价 10 元不满足“尽量减少库存” ，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式6某商场经营某种品牌的玩具，
13、购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x40） ，请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把化简后的结果填写在表格中：销售单价（元） x销售量 y（件） 100010x 销售玩具获得利润 w（元） 10x 2+1300x30000 （2）在（1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少元【考点】一元二次方程的应用销售问题菁优网版权所有【解答】解：（1）销售单价（
14、元） x销售量 y（件） 100010x销售玩具获得利润 w（元） 10x2+1300x30000（2）10x 2+1300x30000=10000，解之得：x 1=50 x2=80，答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出 W 与 x 的函数关系7利用一面墙（墙的长度不限） ，另三边用 58m 长的篱笆围成一个面积为 200m2 的矩形场地，求矩形的长和宽【考点】一元二次方程的应用几何图形问题菁优网版权所有【解答】解：设垂直于墙的一边为 x 米，得：x（582x ）=200 解得：x 1=25，x
15、 2=4另一边为 8 米或 50 米答：当矩形长为 25 米时，宽为 8 米；当矩形长为 50 米时，宽为 4 米【点评】本题考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解8如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80m2？【考点】一元二次方程的应用几何图形问题菁优网版权所有【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm 可以得出平行于墙的一边的长为（252x+1 ）m
16、 ，由题意得x（252x+1 ）=80，化简，得 x213x+40=0，解得：x 1=5，x 2=8，当 x=5 时，262x=1612（舍去） ，当 x=8 时，262x=1012，答：所围矩形猪舍的长为 10m、宽为 8m【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键9如图，某农场有一块长 40m，宽 32m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为 1140m2，求小路的宽【考点】一元二次方程的应用几何图形问题菁优网版权所有【解答】解：设小路的宽为 xm，依
17、题意有（40x） （32 x） =1140，整理，得 x272x+140=0解得 x1=2，x 2=70（不合题意，舍去） 答：小路的宽应是 2m【点评】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式另外求出 4 块种植地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键10 ）某小区在绿化工程中有一块长为 18m、宽为 6m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为 60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示） ，求人行通道的宽度【考点】一元二次方程的应用几何图形问题菁优网版权所有【解答】解：设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，（183x ） （6 2
18、x）=60 ，化简整理得， （x1） （x 8）=0解得 x1=1，x 2=8（不合题意，舍去） 答：人行通道的宽度是 1m【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为 60 米 2 得出等式是解题关键11李明准备进行如下操作实验，把一根长 40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由【考点】一元二次方程的应用几何图形问题菁优网版权所有【解答】解：（1）设剪成的较短的这段为 xcm，较长的这
19、段就为（40x）cm，由题意，得（ ） 2+（ ） 2=58，解得：x 1=12，x 2=28，当 x=12 时，较长的为 4012=28cm，当 x=28 时，较长的为 4028=1228（舍去） 答：李明应该把铁丝剪成 12cm 和 28cm 的两段；（2）李明的说法正确理由如下：设剪成的较短的这段为 mcm，较长的这段就为（40m）cm，由题意，得（ ） 2+（ ） 2=48，变形为：m 240m+416=0，=（40） 24416=640，原方程无实数根，李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键
