1、第 1 页 共 8 页八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短（全等三角形）拔高练习试卷简介 :本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共 7 个小题，每小题 10 分；第二题解答题， 2 个小题，每小题 15 分。学习建议 :本讲内容是三角形全等的判定 辅助线添加之截长补短，其中通过截长补短来添加辅助线是重点，也是难点。希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线， 进而构造出全等的三角形。一、解答题(共 1 道，每道 20 分)1.如图，已知点 C 是MAN 的平分线上一点，CEAB 于 E，B、D 分别在 AM、AN 上，且AE= （AD+AB）.问： 1 和 2 有何关系？答案：解：1+
2、2=180证明：过点 C 作 CFAN 于点 F，由于 AC 平分NAM，所以 CF=CE，则在 RtACF 和 RtACE中ACFACE（ HL） ，AF=AE，由于 2AE=AD+AB，所以 AB-AE=AF-ADDF=BE，在 CFD 和CEB 中 所以CFD CEB（SAS） ，2=FDC，又1+ FDC=180，1+ 2=180。解题思路：见到角平分线就要想到作垂直，找到全等关系是解决此类问题的关键易错点：找到三角形全等的所有条件试题难度：四颗星 知识点：三角形 第 2 页 共 8 页二、证明题(共 8 道，每道 10 分)1.如图，已知ABC 中， A 90，AB AC ，BE 平
3、分ABC，CE BD 于 E，求证：CE= BD.答案：延长 CE 交 BA 的延长线于点 H，由 BE 平分 ABC，BE CE，得 CE=EH= CH。又 1+ H=90,， 2+ H=901= 2在ACH 和ABD 中HAC= DAB=90AC=AB1= 2ACHABD（ASA）CH=BDCE= CH= BD解题思路：根据题意，要证明 CE= BD，延长 CE 与 BA，由题意的垂直平分线可得 CE 的两倍长 CH，只需证明 CH=BD 即可，很显然有全等可以证明出结论易错点：不能正确利用题中已知条件 BF 平分 ABC，CEBD 于 E，做出辅助线，进而解答。试题难度：三颗星 知识点：
4、全等三角形的判定与性质 2. 如图，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上任意一点，AF 平分DAE求证：AEBEDF第 3 页 共 8 页答案：证明：延长 CB 到 M 使 BM=DF，连结 AM .在ADF 和ABM 中ADFABM（SAS）1=3，M=4，由于 ABDC，AF 平分EAD，所以BAF=4，1=2，2= 3，从而MAE= BAF=4=M， AE=ME=BM+BE=DF+BE，AE-BE=DF .解题思路：本问题的关键是将 DF 转移到与 AE，BE 都有关的位置，运用等量代换解题。首先补短，将 DF 移到 BE 处，来证明 AE=BM+BE .而解决 AE=BM+BE
5、 问题的关键是角度的转换。BAF=4 是关键。易错点：将 DF 进行合理的转化试题难度：四颗星 知识点：等腰三角形的性质 3.如图，已知四边形 ABCD 中，ADBC，若DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E，连结 BE，且 BE恰好平分ABC，判断 AB 的长与 ADBC 的大小关系并证明 .第 4 页 共 8 页答案：在 BA 上截取 BF=BC，BE 恰好平分 ABC CBE= FBE又 BC=BF，BE=BEBCEBFE C= BFE又 ADBC C+ D=180而 BFE+ AFE=180 AFE= D又 AE=AE， EAF= EAD AEFAED AF=AD AD+BC=AF+
6、BF=AB解题思路：要证明两条线段和等于一条线段，最常想到的是截长补短法. 截长：在 BA 上截取 BF=BC 或者在 AB 上截取 AF=AD； 补短：延长 BC 至 G，使 BG=BA易错点：不会利用截长补短方法解题试题难度：四颗星 知识点：全等三角形的判定与性质 4.如图，在ABC 中，ABAC ， 1= 2，P 为 AD 上任意一点.求证：AB-ACPB-PC.答案：证明：在 AB 上截 AE=AC，连接 PE在EAP 和 CAP 中第 5 页 共 8 页AE=AC1= 2AP=APEAPCAP(SAS)CP=EP在BEP 中 PB-PEBE，PE=PC，BE=AB-AE=AB-ACP
7、B-PCPB-PC。 解题思路：利用截长的方法易错点：不能正确作出辅助线，把零散的线段转化到一个三角形中。试题难度：三颗星 知识点：三角形三边关系 5.如图所示：在ABC 中， 1= 2， B=2C，求证：AC=AB+BD 答案：在边 AC 上截取 AE=AB，连接 DE.在ABD 与AED 中ABDAED（SAS） BD=DE，B= AED B=2C AED=2C 又AED= C+CDE C=CDE， CE=DE，BD=CE AC=AE+EC=AB+BD解题思路：可以用截长法也可以用补短来解易错点：遇到线段和等于另一线段时，没有联想到运用截长补短法证明试题难度：四颗星 知识点：三角形 6.如
8、图，ABC 中， ABC=60，AD、CE 分别平分BAC ，ACB，判断 AC 的长与 AE+CD 的大小关系并证明.第 6 页 共 8 页答案：判断：AC=AE+CD证明：令 AD 与 CE 的交点为 G，在 AC 上截取 AF=AE，在AEG 和AFG 中AEGAFG（SAS） ， AGE=AGF； ABC=60，BAC+ BCA=120，又AD、CE 分别为 BAC 和BCA 的角平分线，所以 2+3=60，从而AGE=60；于是AGF=AGE=60，CGD= AGE=60，从而CGF=60 ；在CGF 和CGD 中CGFCGD，CD=CF，从而 AC=AF+CF=AE+CD。解题思路
9、：看到两段不相干的线段与另一条线段的关系的题目一定要想到分解较长线段，分别证明相等。易错点：未将全部条件找全就使两个三角形全等试题难度：四颗星 知识点：三角形 7.如图，Rt ABC 中，ACB=90，CD AB 于 D，AF 平分CAB 交 CD 于 E，交 CB 于 F，且EGAB 交 CB 于 G，判断 CF 与 GB 的大小关系并证明。第 7 页 共 8 页答案：判断：CF=GB证明：过点 F 作 FHAB 于点 H，由于 AF 平分 CAB，则在ACF 与 AHF 中ACFAHF，则 CF=FH，而 FHAB，CDAB，FHCD，从而4=5，3=4， CF=CE，从而 CE=FH，又
10、 EGAB，所以6=B CEG=CDB=90；则CEGFHB，CG=FB，故 CF=BG解题思路：找到全等关系是证明的关键易错点：想到将线段转移，想不到全等。试题难度：四颗星 知识点：三角形 8.ABC 中，BAC=60，C=40 ，AP 平分 BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ第 8 页 共 8 页答案：延长 AB 到 E 使 BE=BP，连接 EP，则 AE=AB+BE=AB+BP， ABC=180-BAC-C=800.由 BQ 平分ABC，AP 平分BAC，则 BAP=PAC=30， ABQ=CBQ=40.又因为C=400 ，我们得到 CQ=BQ，BQ+AQ=CQ+AQ=AC。BE=BP， ABP=80E= 80=40=C在APE 和 APC 中E=CBAP=CAP=30AP=APAPEAPC（AAS）AE=AP 即 AB+BP=BQ+AQ解题思路：见答案详解易错点：正确作出辅助线，根据等量代换，把没有联系的线段转化为符合题目要求的线段。试题难度：三颗星 知识点：全等三角形的判定与性质
