1、经典难题 第 1 页 共 38 页经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF （初二）AFGCEBODAPCDB第 1 题图 第 2 题图2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA15 0求证：PBC 是正三角形 （初二）3、如图，已知四边形 ABCD、A 1B1C1D1 都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2 分别是AA1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点求证：四边形 A2B2C2D2 是正方形 （初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDM B第 3 题图 第 4 题图4、已知：
2、如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F 求证：DENF经典难题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC60 0，求证：AHAO （初二）经典难题 第 2 页 共 38 页ADH EM CBO GAODBECQP NM第 1 题图 第 2 题图2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B、C 及D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q 求证：APAQ （初二）3、
3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于P、Q求证：APAQ （初二）OQPBDECNM APCGFBQADE第 3 题图 第 4 题图4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG，点 P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 （初二）经典难题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF （初二）经典难题 第 3 页 共 3
4、8 页AFDECB EDACBF第 1 题图 第 2 题图2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAF （初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF （初二）FEP CBAO DBFAECP第 3 题图 第 4 题图4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于B、D求证：ABDC，BCAD （初三）经典难题（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA 3，PB 4，PC5求：APB 的度数 （
5、初二）APCBPA DCB第 1 题图 第 2 题图D经典难题 第 4 页 共 38 页2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBA PDA求证：PABPCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD （初三）CBDAFPDE CBA第 3 题图 第 4 题图4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPA DPC （初二）经典难题（五）1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPA PB PC，求证： L2APCBACBPD第 1 题图 第 2 题图2、P 是边长
6、为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPB PC 的最小值3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa ，PB2a，PC 3a，求正方形的边长ACBPDEDCBA第 3 题图 第 4 题图经典难题 第 5 页 共 38 页4、如图，ABC 中，ABCACB 80 0，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA30 0，EBA20 0，求BED 的度数经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心， C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO求证：CDGF 。 （初二）证一：连接 OE。EGCO ，EFAB，O、G、E、F 四点共圆，且 OE 为直径。GF=OEsinGOF
7、。又OCD 中，CD=OCsin COD。GOF+COD=180 ，OC= OE 为 O 半径，CDGF。证二：连接 OE，过 G 作 GHAB 于 H。EGCO ，EFAB，O、G、E、F 四点共圆，且 OE 为直径。GEO=HFG。又EGO=FHG=Rt，GEO HFG 。GF:OE=GH:OG。又 GHCD，GH:CD=OG:OC，即 GH:OG=CD:OC，GF:OE=CD:OC，而 OE=OC，CDGF 。A FGCEBOD A FGCEBOD2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PAD PDA15 0求证：PBC 是正三角形 （初二）证明：APCDBEHH经典难题 第 6
8、页 共 38 页3、如图，已知四边形 ABCD、A 1B1C1D1 都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2 分别是AA1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点求证：四边形 A2B2C2D2 是正方形 （初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA14、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F 求证：DENFANFECDM B经典难题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC60 0，求证：AHAO （初二）ADH EM C
9、BO经典难题 第 7 页 共 38 页FMHOAB CD EMHOAB CD EF2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B、C 及D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q 求证：APAQ （初二）GAODBECQP NM3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于P、Q求证：APAQ （初二）OQPBDECNM A经典难题 第 8 页 共 38 页4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在A
10、BC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形CBFG，点 P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 （初二）PCGFBQADE经典难题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF （初二）AFDECB2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证：AEAF （初二）EDACBF经典难题 第 9 页 共 38 页3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE求证：PAPF （初二）FEP CBA4、如图，PC 切圆 O
11、 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于B、D求证：ABDC，BCAD （初三）O DBFAECP经典难题（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA 3，PB 4，PC5求：APB 的度数 （初二）D经典难题 第 10 页 共 38 页APCB2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBA PDA求证：PAB PCB （初二）PA DCB3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD （初三）CBDA4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPA DPC （初二）
