1、 1 / 9D CBAEDFCBA全等三角形及其辅助线作法常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” （或构造平行线的 X 型全等） 2) 遇到角平分线，一是可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，二是在角的两边上截取相同的线段，构成全等。利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，也是运用了角的对称性。 3) 截长法与补短法，具体做法是在较长线段上截取一条线段与特定线段相等，使剩下的线段与另一条线段相等；或者是将两条较短线段中的一条延长，使这两条线段的和等于较长的线段。这种作法，适合于证明线
2、段的和、差、倍、分等题目4) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 也可以将两腰分拆到两个三角形中，证明这两个三角形全等。特殊的应用有等边三角形与等腰直角三角形。5) 此外，还有旋转、折叠等情况。(一)、中点线段倍长问题（中线倍长或者倍长中线）：1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.2、如图ABC 中，点 D 是 BC 边中点，过点 D 作直线交 AB、CA 延长线于点 E、F。当 AE=AF 时，求证BE=CF。3、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是
3、中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.4、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.AB CDEF2 / 9ED CBA5 如图，AB=AC，AD=AE，M 为 BE 中点，BAC=DAE=90。求证：AMDC。应用：1、以ABC以的两边 AB、 AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，且BAD=CAE-90，连接 DE， M、 N分别是 BC、 DE的中点探究： AM与 DE的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC为直角三角形时， AM与 DE的位置关系是 ，线段 AM与 DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰 RtABD 绕点 A 沿
4、逆时针方向旋转 (0AC, 1=2，求证：ABACBDCD。4、如图，BCBA，BD 平分ABC，且 AD=CD，求证：A+C=180。5、 （1）如图，RtABC 中， ACB=90，BAC=60 ,CD 平分ACB，点 E 为 AB 上一点，且 CE=BE，PEAB交 CD 的延长线于 P，求PAC+PBC 的度数。（2）如图，RtABC 中， ACB=90，BAC60,CD 平分ACB,点 E 为 AB 上一点，且CE=BE,PEAB 交 CD 的延长线于 P。 （1）中结论是否成立，说明理由。（三）截长补短型1、如图，ABCD,BE,CE 分别平分 ABC,DCB,求证：AB+CD=B
5、C2、如图，RtACB 中，AC=BC,AD 平分BAC 交 BC 于点 D，CEAD 交 AD 于 F 点，交 AB 于 E 点，求证：AD=2DF+CEABCDEPABCDEPAB CDEAB CDE F12ACDBB DCADAE CB4 / 93如图，AC 平分BAD，CEAB，且B+D=180，求证：AE=AD+BE。4. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，AD+AB=2AE，求证： ADC+B=180 5. 已知：如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC， A=108，BD 平分 ABC。求证：BC=AB+DC。6. 如图，已知 RtABC 中，AC
6、B=90，AD 是CAB 的平分线，DMAB 于 M，且 AM=MB。求证：CD= DB。217、如图，直线 AB 交 x 轴于 A(m,o)，交 y 轴于 B（o,n）,其中 m,n 满足 m2+4m+4+ =0.C 为 B 点关于x 轴的对称点，当直线 OF 的解析式 y=kx，当 k 的值发生改变时（但始终保持 k0） 。过 C 点作 CEAB 交直线于 E点，下列两个结论： 的值不变。 的值不变。其中有且只有一个是正确的，请你找出正确ACEFACEF的结论并求其值。（四）等腰直角三角形，等边三角形1、 如图，已知 BE、CF 是ABC 中 AC、AB 上的高，在射线 BE 上截取 BP
7、=AC，在射线 CF 上截取 CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）APAQ；ABCEOFyxn1D CB AM BDCAA E BCDA B DEC图5 / 9AB CDEFG H2、如图OA=2，OB=4，以 A 点为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰 RtABC。(1)求 C 点的坐标。(2)如图，P 为 y 轴负半轴上一个动点，当 P 点向 y 轴负半轴向下运动时，若以 P 点为顶点，PA 为腰作等腰 RtAPD，过 D 点作 DEx 轴于 E 点，求 OP-DE 的值。（3）如图，已知点 F 坐标为(-4，-4)，当 G 在 y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作 RtFGH，始终保持
8、GFH=90，FG 与 y 轴负半轴交于点 G(o,m),FH 与 x 轴正半轴交于点 H(n,o)，当 G 点在 y 轴负半轴沿负方向运动时，求 m+n 的值。3、如图，ABC 中，AB=AC, A=90,点 D 为 BC 边的中点，E、F 分别在 AB、BC 上，且 EDFD，EGBC 于 G 点，FHBC 于 H 点，下列结论： DE=DFAE+AF=ABS 四边形 AEDF= SABC.EG+FG= BC,其中结论正确的是（ 2121）A、只有. B、只有. C、只有. D、只有.xADEPOyxyFGHOABCOyx6 / 94、如图，在ACE 中，ACB=90,AC=BC,BC 与
9、 y 轴交于 D 点，点 C 的坐标为(-1，0).点 A 的坐标为(-4,2),，则D 点坐标为5、如图，G 为线段 AB 上一点，A CAB,BDAB,GE AB,且 AC=BG，BD=AG,GE=AB. 若AEB=50，求CED 的度数。（五）旋转、折叠1、 （倍角与半角问题） （1）如图，RtABC 中，ACB=90，AC=BC,点 D、E 在斜边 AB 上，且DCE=45，求证 AD+BEDE.（2）如图，若将 RtABC 改为等边三角形， DCE=30,其它条件不变，上述结论成立吗？试证明。A BCD EA BCD EA BCDEFGHABCDOyx7 / 92、如图,RTCDAR
10、TCDB,、若ACD=30，MDN=45,当MDN 绕点 D 旋转时，AM、MN、BN 三条线段之间的关系式为、若ACD=45，MDN=45,AM、MN、BN 三条线段之间的数量关系式为：、由猜想：在上述条件下，当ACD 与MDN 满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。3、如图，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)，使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P， 连接 EP(1)如图，若 M 为 AD 边的中点，,AEM 的周长=_cm；求证：EP=AE+DP；(2)随着落点 M
11、在 AD 边上取遍所有的位置(点 M 不与 A、D 重合)，PDM 的周长是否发生变化?请说明理由BACDMNBDACMNA BCDMN8 / 94、 已知三点 A(a,b)、B(3,1)、C(6,0)，其中 a,b 满足(a-2) 2=- .1b（1）求 A 的坐标。（2）点 P 为 x 轴上一动点，当OAP 与CBP 的周长和取得最小值时，求 P 点坐标；（3）点 P 为 x 轴上一动点，当APB=20时，求OAP+ PBC 的度数。5、 已知ABC 中，BAC=45,以 AB,AC 为边在ABC 外作等腰ABD 和ACE，AB=AD ，AC=AE，且BAD=CAE，连接 CD,BE 并交
12、于 F 点，连接 AF。（1） 如图，若BAD=60，则AFE=，如图，若BAD=90,则AFE=，如图，若若BAD=120，则AFE=。（2） 如图 4，若BAD=2，猜想AFE 的度数，并证明。6、 如图，已知锐角三角形 ABC，分别以 AB,AC 为边在ABC 的形外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接EG，若 SABC=5 ，请求 SAEG。7、 如图，A、D、B 三点在同一直线上，ADC, BDO 为等腰直角三角形。 （1） ，AO 与 BC 有何关系？证明你的结论。 （2）当ODB 绕顶点 D 旋转任一角度到图的位置， （1）中结论成立吗？请证明。yOBCxABCDEFABCDEFDEFCBAAB CEDFGA BCOEBACDO9 / 9
