1、 1导数及其应用 【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数 )的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0 处有增量 ，那么函数 y 相应地有增量 =f（x 0+ ）f（x 0） ，比值
2、叫做函xyxy数 y=f（x）在 x0 到 x0+ 之间的平均变化率，即 = 。如果当 时， 有极限，我fxf)(0 们就说函数 y=f(x)在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 f（ x）在点 x0 处的导数，记作 f（x 0）或 y| 。0x即 f（x 0）= = 。limxy0lixxff)(0说明：导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则2（1）函数 f（x）在点 x0 处可导，是指 时， xy有极限。如果 不存在极限，就说函数在点 x0 处不可导，0xxy或说无导数。（2） 是自变量 x 在 x0 处的改
3、变量， 时，而 是函数值的改变量，可以是零。y由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的步骤：（1）求函数的增量 =f（x 0+ ）f（x 0） ；y（2）求平均变化率 = ；f)(（3）取极限，得导数 f(x0)= 。xylim二、导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x 0，f（x 0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点 p（x 0，f（x 0） ）处的切线的斜率是 f（x 0） 。相应地，切线方程为 yy 0=f/（x 0） （xx 0） 。三、几种常见函数的导数 ; ;C1;n(sin)cos(cs
4、)inx ; ; .();xe()lxa1lx1lgloaae四、两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差 )的导数,等于这两个函数的导数的和 (或差)，即： ( .)vu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)v若 C 为常数,则 .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 0)( CuuC.)(u法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：= （v 0） 。v2形如 y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y| x
5、= y| u u| xx()五、导数应用1、单调区间：一般地，设函数 在某个区间可导，)(xfy3如果 ，则 为增函数；f)(x0)(xf如果 ，则 为减函数；如果在某区间内恒有 ，则 为常数；f0)(x)(xf2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3、最值：一般地，在区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b 上必有最大值与最小值。求函数 (x)在(a ，b) 内的极值；求函数 (x)在区间端点的值 (a)、(b)；将函数 (x)的各极值与 (a)、(b)比较，其中最大的是最
6、大值，其中最小的是最小值。4定积分(1)概念：设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax00，且 x1 时，f(x) ，求 k 的取值范围。I1【解析】(1)f ,(x)= 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为 ，且过点(1,1)，22)(xbxIn21故 即 解得 a=1，b=1。(2)由（1）知 ，所以 。ln1x22ln1(1)()lnxkkxf x考虑函数 ，则 。()2lh21kx(0)2()hx(i)设 ，由 知，当 时， 。而 ，故0k22()1x()0(1)h当 时， ，可得 ；(,1)x(hx21()0hx当 x （1，+ ）时，h（x）0f(x)=1f,(1)= 2b
7、=1=a5从而当 x0,且 x 1 时，f（x）-（ + ）0，即 f（x） + .1lnxk1lnxk（ii）设 00,故 h （x）0,而 h（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）0，可得 h（x）0,而 h（1）=0，故当 x （1，+ ）时，h（x）0，可得 h（x）0;当 x 时，f (x)0,所以 f(x)在 x= 处取得极大值，在 x= 处取得极小值。，32123（2）若 为 上的单调函数则 f (x)恒大于等于零或 f (x)恒小于等于零，()fR因为 a0 所以 =（-2a ） 2-4a0，解得 00）.（）令 F（x ）xf （x） ，讨论 F（x）在（0.）内的单调
8、性并求极值；（）求证：当 x1 时，恒有 xln2x2a ln x1.【课后作业】一、选择题101.（2005 全国卷文）函数 ,已知 在 时取得极值,则 =( ) 93)(23xaxf )(xf3aA 2 B 3 C 4 D 52(2008 海南、宁夏文）设 ，若 ，则 （ ）()lnf0()f0A B C D eel23 （2005 广东）函数 是减函数的区间为（ ）13)(2xfA B C D（0，2）),2(,),4.（2008 安徽文）设函数 则 （ ）(),fxx()fxA 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数5 （2007 福建文、理）已知对任意实数 x 有 f(x
9、)=f(x)，g(-x)=g(x)，且 x0 时，f(x)0，g(x)0，则 x0，g(x)0 B f(x)0，g(x)0 D f(x)0，g(x)06.（2008 全国卷文）设曲线 在点（1, ）处的切线与直线 平行,则 ( )2axy 062yxaA 1 B C D 12117 （2006 浙江文） 在区间 上的最大值是（ ）32()fx,A -2 B 0 C 2 D 48 （2005 湖南文科）若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f /(x)的图象是（ ）9 （2005 全国卷理科）函数 yxcosxsin x 在下面哪个区间内是增函数（ ）A ( ， ) B ( ，2 ) C ( ， ) D (2 ，3 )2323510. （2012 重庆）设函数 在 R 上可导，其导函数为 ，且函数 的图像如图所示，则下列f ,(fx,(1)yxf结论中一定成立的是（A）函数 有极大值 和极小值 ()fx(2)f(1)f（B）函数 有极大值 和极小值 xyoAxyoDxyoCxyoB
