1、 1代数推理题怎么解数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.例 1 设函数 ，已知 ，时恒有134)(,)(2xgxaxf 0,4，求 a 的取值范围.)(gxf讲解: 由 得实 施 移 项 技 巧 ,)(xgf,134:,:,13422 axyLx
2、yCa令从而只要求直线 L 不在半圆 C 下方时, 直线 L 的 y 截距的最小值.当直线与半圆相切时，易求得 舍去）.35(故 .)(,5xgfa时本例的求解在于 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理实 施 移 项 技 巧解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.例 2 已知不等式 对于大于 1 的正整数 n32)1(log2121ann恒成立，试确定 a 的取值范围.讲解: 构造函数 ，易证(请思考:用什么方法证明呢?)f)
3、(为增函数.)(nfn 是大于 1 的 正整数， .27)(ff对一切大于 1 的正整数恒成立，必32)1(log21ann要 使须 ,3)1(log2a即 .51,a解 得这里的构造函数和例 1 属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三 , 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种2非常有效的同法, 请提炼你的小结论.例 3 已知函数 在区间b，1b上的最大值为)0(493)(22bxxf25，求 b 的值.讲解: 由已知二次函数配方, 得 .3)2()f时， 的最大值为 4b2+3=25. 321,)1( b即当 xf;452矛 盾
4、与b上递增，1,)(,0,)( bxf在时即当;25)3(f上递增，,)(,1)3( xfb在时 ，即当.25,496)2bf 解 得关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标 在不在区间b，1b, 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了2分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.例 4 已知 ).1()(xf的单调区间；)(1xf求（2）若 .43)(:,)(1,0cfabacba求 证讲 解 : （ 1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变
5、形 , 得 ,1xf.),1(),()( 上 分 别 单 调 递 增和在 区 间 xf（ 2）首先证明任意 ).(,0yfxyfyx有事实上, )(111)( yxfxfx 3而 ),()1(, yxfxyfyxxy 知由 )()(ff,04)2(12ababc.34a.4)()( fcaff函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值 . 针 对 本 例 的 求 解 , 你 能 够 想 到 证 明 任意采用逆向分析法, 给出你的想法!).()(
6、0yfxyfyx有例 5 已知函数 f(x)= （ ， ） a(1) 证明函数 f(x)的图象关于点 P( )对称21,(2) 令 an ，对一切自然数 n，先猜想使 an 成立的最小自然数 a,并证)1(f明之(3) 求证： ).)(!lg3)(4讲解: (1)关于函数的图象关于定点 P 对称, 可采用解几中的坐标证法.设 M(x,y)是 f(x)图象上任一点，则 M 关于 P( )的对称点为 M（，） ，21,yxf aayxx xxx1)(1 (1- x,1-y)亦在 f(x)的图象上，故函数 f(x)的图象关于点 P( )对称.21,(2)将 f(n)、 f(1-n)的表达式代入 an
7、的表达式，化简可得 an 猜 a=3,即 3 下面用数学归纳法证明4设 n=k(k)时，3 那么 n=k+1，3 又 3k （ ） （ ） （ ， ）213 .(3) 令 k=1,2,， n，得 n 个同向不等式，并相加得： ).!lg(3)1(4,2l2故 函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数 a=3 吗? 试试你的数学猜想能力.例 6 已知二次函数 ，设方程 的两个实根)0,(1)(2aRbxaf xf)(为 x1和 x2.（1）如果 ，若函数 的对称轴为 x=x0，求证： x01；421x)(f（2）如果 ，求 b 的
8、取值范围.|,|1讲解:（1）设 ，由 得1)()(2axaxfg且 421x, 即0)4(,)(g且,8,243.243162bba 得由，83故 ；18420ax（2）由 同号.,01,0)()( 22 axxbg可 知 21x若 .4)(,012121 bgx则又 ，负根舍去）代入上式得04)(| 2212 baa得，解得 ；b3)(1若 即 4a2b+30.,0)2(,2,0211 gxx则5同理可求得 . 47b故当 .47,02,12011 bxx时当时对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题, 你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一
9、类, 不断提高逻辑推理能力.例 7 对于函数 ，若存在 成立，则称 的不动点。如)(xf 00)(,xfR使 )(0xf为果函数 有且只有两个不动点 0，2，且,)(2Ncbaf ,21f（1）求函数 的解析式；)(xf（2）已知各项不为零的数列 ，求数列通项 ；1)(4nnafSa满 足 na（3）如果数列 满足 ，求证：当 时，恒有 成立.n,11nf23n讲解: 依题意有 ,化简为 由违达定理, 得xcba2 0)(2acxb,102,ba解得 代入表达式 ，由,21cbacxf)2()2 ,21)2(cf得 不止有两个不动点，fbcN,10,3则若又 ).(,2)(,2xxfbc故（2
10、）由题设得 （*）,:1)(242nnn aSaS得且 （*）211:,1nna得代以由（*）与（*）两式相减得：6,0)1)(),()(2 1211 nnnnn aaaa即 2:*2得代 入以或解得 （舍去）或 ，由 ，若 这与 矛盾，0111 ,21n得 1na，即 是以-1 为首项，-1 为公差的等差数列， ；nana （3）采用反证法，假设 则由（1）知),2(3n 2)(1nnafa,有),(,43)()1(2)( 11 Naa nnnn 即，而当 这与假设21n ,3;38262,1 naa时矛盾，故假设不成立， .3na关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:由 得
11、t；（3）试求满足 f(t)=t 的整数 t 的个数，并说明理由.讲解 （1）为求 f(1)的值，需令 .1)0(,fyx得令 .2)(,2)(,ffyx令 .(,10f即（2）令 ()2)()(1(, yfyyff即.Ny有时当由 ,0)(,)(,)( fff 都 有对 一 切 正 整 数可 知,11)(21yyfy时当于是对于一切大于 1 的正整数 t，恒有 f(t)t.8（3）由及（1）可知 .1)4(,)3(ff下面证明当整数 .tt,4时()得由02)(,t,0)2()()ttf即 ，,05()6,)5ffff同 理 .1()(1( ttt将诸不等式相加得.tftft )(,4,4)
12、综上，满足条件的整数只有 t=1， .2本题的求解显示了对函数方程 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1 中的 x、y 取特殊值的技巧，这种赋值法在 2002 年全国高考第（21）题中得到了很好的考查.例 10 已知函数 f（x）在（1，1）上有定义， 且满足1)2(fx、y（1，1） 有)1()(xyfyf（1）证明：f（x）在（1，1）上为奇函数；（2）对数列 求 ；,2,11nnx)(nf（3）求证 .25)()(21 ffxf n讲解 （1）令 则,0y0(,f令 则 为奇函数. )()() xfxf（2） ， 1)2(1fx ),(21(21 nnnnn xfff 是以1 为首项，2 为公比的等比数列.nnf即)(1（3） )21()2 nxffx,)1(21nnn而 ,2(52n.5)1)12nxffx本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题9能力的范例. 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法.
