1、试卷第 1 页，总 13 页初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例 1、 如图 1，用长为 18 米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1） 设矩形的一边长为 x（米） ，面积为 y（平方米） ，求 y 关于 x的函数关系式；（2） 当 x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含 x 的代数式表示出矩形的长与宽。解：（1）设矩形的长为 x（米） ，则宽为（18- x） （米） ， 根据题意，得： ；xy18)18(2又 0,18x（2） 中，a= -10，y 有最大
2、值，y18)(2即当 时，9)(abx 81)(4022max bcy故当 x=9 米时，苗圃的面积最大，最大面积为 81 平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。2、 只围三边的矩形的面积最值例 2、 如图 2，用长为 50 米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠 墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系 式解：设养鸡场的长为 x（米） ，面积为 y（平方米） ，则宽为（ ）250x（米） ，根据题意，得： ；x21)50(又 ,250xx 中，a= 0，y 有最大值，xy251)(1即当 时，)2(2ab 265)1
3、(402max bcy试卷第 2 页，总 13 页故当 x=25 米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为 平方米。265点评：如果设养鸡场的宽为 x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。3、 围成正方形的面积最值例 3、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由（1）解：设剪成两段后其中一段为 xcm，则另一段为（20-x）cm 由题意得： 17)420()xx解得：
4、,162当 时，20-x=4；当 时，20-x=161xx答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是 16 厘米、4 厘米。（2）不能 理由是：设第一个正方形的边长为 xcm，则第二个正方形的边长为 cm，围成两个正方形)5(420x的面积为 ycm2，根据题意，得： ，5102)5(2 xxy 中，a= 20，y 有最小值，)(2x即当 时， =12.512,故两个正210ab 2541024min abcy方形面积的和不可能是 12cm2.练习 1、如图，正方形 EFGH 的顶点在边长为 a 的正方形 ABCD 的边上，若 AE=x，正方形 EFGH 的面积为 y.(1)求出 y 与 x 之间的函
5、数关系式；(2)正方形 EFGH 有没有最大面积？若有，试确定 E 点位置；若没有，说明理由.试卷第 3 页，总 13 页二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题例题 1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽 4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .图（1） 图（2）.2yx=-【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，可设此函数解析式为：y=ax 2，利用待定系数法求解.试题解析：设此函数解析式为： ， ；2yax=0那么（2，-2）应在此函数解析式上则 4a-=即得 ，1那么 2
6、yx-考点：根据实际问题列二次函数关系式.练习 1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系是 .请回答下列问题：452xy(1)柱子 OA 的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？2一座桥如图，桥下水面宽度 AB 是 20 米，高 CD 是
7、4 米.要使高为 3 米的船通过，则其宽度须不超过多试卷第 4 页，总 13 页少米.（1）如图 1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.求抛物线的解析式；要使高为 3 米的船通过，则其宽度须不超过多少米?（2）如图 2，若把桥看做是圆的一部分.求圆的半径；要使高为 3 米的船通过，则其宽度须不超过多少米?三、利用抛物线解决最大利润问题例题 1 某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20 元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y10x500.（1）设李明每月获得利润为 w(元)，当销售单价定为多
8、少元时，每月可获得最大利润？（6 分）（2）如果李明想要每月获得 2 000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3 分）（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月获得的利润不低于 2 000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本进价销售量) （3 分）答案：（1）35；（2）30 或 40；（3）3600.【解析】试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）销售量，从而列出关系式；（2）令 w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本
9、即可试题解析：（1）由题意得出： ，2Wx20y10x510x710试卷第 5 页，总 13 页 ，ba10352a， 当销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利润 （2）由题意，得： ，10x7102解这个方程得：x 1=30，x 2=40李明想要每月获得 2000 元的利润，销售单价应定为 30 元或 40 元（3） ，抛物线开口向下. 当 30x40 时，W2000.ax32，当 30x32 时，W2000.设成本为 P（元） ，由题意，得： ，P201x520x1k= 2000，P 随 x 的增大而减小当 x=32 时，P 最小=3600答：想要每月获得的利润不低于 2000 元，每
10、月的成本最少为 3600 元考点：二次函数的应用练习 1某玩具批发商销售每只进价为 40 元的玩具，市场调查发现，若以每只 50 元的价格销售，平均每天销售 90 只，单价每提高 1 元，平均每天就少销售 3 只（1）平均每天的销售量 y(只)与销售价 x(元只)之间的函数关系式为 ；（2）求该批发商平均每天的销售利润 W(元)与销售只 x(元只)之间的函数关系式；（3）物价部门规定每只售价不得高于 55 元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元2为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产
11、品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价 x(元/千克)有如下关系： . 设这种产品每天的销售利润为 w 元.y2x80（1）求 w 与 x 之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？3某公司营销 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：,AB试卷第 6 页，总 13 页信息 1：销售 种产品所获利润 (万元)与所售产品 (吨)之间存在二次函数关系Ayx.当 时， ；当 时， 2yaxb1.43.6y信息 2：销售 种产品所获利润 (万元)与所售产品 (吨)之间存在正比例函数关系 B 0.3yx根据以上信
12、息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；(2)该公司准备购进 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售 两种产品获得的利润之和,A ,AB最大，最大利润是多少？4为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 （件）与销售y单价 （元）之间的关系近似满足一次函数： x 105yx（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少
13、元？（2）设李明获得的利润为 （元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？w（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于 3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？5某文具店销售一种进价为 10 元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于 14 元/个，根据以往经验：以 12 元/个的价格销售，平均每周销售签字笔 100 个；若每个签字笔的销售价格每提高 1 元，则平均每周少销售签字笔 10 个. 设销售价为 x 元/个.（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含 x 的式子表示） ；（2）求该文具店这种签字笔
14、平均每周的销售利润 w（元）与销售价 x（元/个）之间的函数关系式；（3）当 x 取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？试卷第 7 页，总 13 页6一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100 辆公司在经营中发现每辆车的月租金 x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：x 3000 3200 3500 4000y 100 96 90 80（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数 y（辆）与每辆车的月租金 x（元）之间的关系式.（2）已知租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元用含
15、x（x3000）的代数式填表:租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元4、利用二次函数解决动点问题例 1 如图 8，如图 9，在平行四边形 ABCD 中， AD=4 cm， A=60， BD AD. 一动点 P 从 A 出发，以每秒 1 cm 的速度沿 A B C 的路线匀速运动，过点 P 作直线 PM，使PM AD .(1) 当点 P 运动 2 秒时，设直线 PM 与 AD 相交于点 E，求 APE 的面积；(2) 当点 P 运动 2 秒时，另
16、一动点 Q 也从 A 出发沿 A B C 的路线运动，且在 AB 上以每秒 1 cm 的速度匀速运动，在 BC 上以每秒 2 cm 的速度匀速运动. 过 Q 作直线 QN，使 QN PM. 设点 Q 运动的时间为 t 秒(0 t10)，直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得图形的面积为 S cm2 . 求 S 关于 t 的函数关系式； 求 S 的最大值.试卷第 8 页，总 13 页解：(1) 当点 P 运动 2 秒时， AP=2 cm，由 A=60，知 AE=1， PE= . S APE= .323(2) 当 0 t6 时，点 P 与点 Q 都在 AB 上运动，设 PM 与 AD
17、交于点 G， QN 与 AD 交于点 F，则AQ=t， AF= ， QF= ， AP=t+2， AG=1+ ， PG= .2t32tt23 此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S= .当 6 t8 时，点 P 在 BC 上运动，点 Q 仍在 AB 上运动. 设 PM 与 DC 交于点 G， QN 与 AD 交于点 F，则AQ=t， AF= ， DF=4- ， QF= ， BP=t-6， CP=10-t， PG= ，2tt23 3)10(t而 BD= ，故此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S= .34 3410852tt当 8 t10 时，点 P 和点 Q 都在 BC 上运
18、动. 设 PM 与 DC 交于点 G， QN 与 DC 交于点 F，则 CQ=20-2t， QF=(20-2t) ， CP=10-t， PG= .3)10(t 此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S= .315032tt故 S 关于 t 的函数关系式为 2,(06)531034,885.(10)t tStt t当 0 t6 时 ， S 的最大值为 237当 6 t8 时， S 的最大值为 6当 8 t10 时， S 的最大值为所以当 t=8 时， S 有最大值为 . 3初中数学专项训练：实际问题与二次函数参考答案一、1（1）y=2x 2-2ax+a2 (2) 有.当点 E 是 AB
19、的中点时，面积最大.【解析】本题考查了二次函数的应用.（1）先由 AAS 证明AEFDHE，得出 AE=DH=x 米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求出 EF2，即可得到 S 与 x 之间的函数关系式；（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解解：四边形 ABCD 是边长为 a 米的正方形，A=D=90，AD= a 米四边形 EFGH 为正方形，试卷第 9 页，总 13 页FEH=90，EF=EH在AEF 与DHE 中，A=D，AEF=DHE=90-DEH，EF=EHAEFDHE（AAS），AE=DH=x 米，AF=DE=（a-x）米，y=
20、EF 2=AE2+AF2=x2+（a-x） 2=2x2-2ax+ a2，即 y=2x2-2ax+ a2；（2）y=2x 2-2ax+ a2=2（x- ） 2+ ，4当 x= 时，S 有最大值故当点 E 是 AB 的中点时，面积最大2、练习 1（1） （2） （3）45925【解析】本题考查了二次函数的应用.（1）本题需先根据已知条件把 x=0 代入抛物线的解析式，从而得出 y 的值，即可求出答案（2）通过抛物线的顶点坐标求得（3）本题需先根据已知条件把 y=0 代入抛物线求出所要求的式子，再得出 x 的值，即可求出答案解：（1）把 x=0 代入抛物线的解析式得：y= ，即柱子 OA 的高度是4
21、545（2）由题意得：当 x= 时，y= ,即水流距水平面的最大高度2=1（ ） 9（3）把 y=0 代入抛物线得： =0，解得，x 1= (舍去，不合题意)，x 2=452x 5故水池的半径至少要 米才能使喷出的水流不至于落在池外2 （1） ；10；（2）14.5； 15yx47【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求函数解析式即可；根据题意得出 y=3 时，求出 x 的值即可；（2）构造直角三角形利用 BW2=BC2+CW2，求出即可；在 RTWGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.51=13.5，根据勾股定理知：GF 2=WF2WG 2，求出即可试题解析：（1）设抛物线解析式为
22、： ，桥下水面宽度 AB 是 20 米，高 CD 是 4 米，yaxcA（10，0） ，B（10，0） ，D（0，4） ， ，解得： ，抛物线解析式为：1041254ac试卷第 10 页，总 13 页；2145yx要使高为 3 米的船通过， ，则 ，解得： ，EF=10 米；3y2145x5x（2）设圆半径 r 米，圆心为 W，BW 2=BC2+CW2， ，解得： ；2()10r14.5r在 RTWGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.51=13.5，根据勾股定理知：GF 2=WF2WG 2，即GF2=14.5213.5 2=28，所以 GF= ，此时宽度 EF= 米747考点：1二
23、次函数的应用；2垂径定理的应用三、1(1）y=-3x+240；(2)w=-3x 2+360x-9600；(3)定价为 55 元时，可以获得最大利润是 1125 元.【解析】试题分析：（1）根据题意知销售量 y(只)与销售价 x(元只)之间的函数关系式为 y=90-3（x-50）=-3x+240；(2)根据“总利润=每件商品的利润销售量”可知 w=（x-40）y=（x-40） （-3x+240）=-3x 2+360x-9600；(3)求获得最大利润，也就是求函数 w=-3x2+360x-9600 的最大值.试题解析：( 1）y=90-3（x-50）即 y=-3x+240； （2）w=（x-40）
24、y=（x-40） （-3x+240）=-3x 2+360x-9600；(3)当 x60，y 随 x 的增大而减小，当 x=55 时，w 最大 =1125所以定价为 55 元时，可以获得最大利润是 1125 元.考点：（1）一次函数；（2）二次函数2 （1） ；（2）该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售2x106利润 200 元.【解析】试题分析：（1）根据销售额=销售量销售价单 x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.试题解析：（1）由题意得： ，2wx0y80x106w 与 x 的函数关系式为： .216（2） ，2w10x6320，当 x=30 时，w 有最大值w 最大值为 200.答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元.考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.
