泛函分析考试题集与答案(共17页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上泛函分析复习题20121在实数轴上，令，当为何值时，是度量空间，为何值时，是赋范空间。解：若是度量空间，所以，必须有：成立即，取，有，所以，若是赋范空间，所以，必须有：成立，即，当时，若是度量空间，时，若是赋范空间。2若是度量空间，则，也是使成为度量空间。解：由于是度量空间，所以有：1），因此和且当时，于是和以及若或均有成立，于是成立2），因此和3），因此以及设，所以单增，所以综上所述和均满足度量空间的三条件，故和均使成为度量空间。3设是内积空间，则当，时，即内积关于两变元连续。解：是内积空间，设是由其内积导出的范数，由于，所以，使得当时均有和同时由于，故知有界，所以有限。因此可取因此故，即4设是线性赋范空间，是线性算子，则不是连续的，当且仅当，使得，但解：设不是连续的，则在上的每一点都不是连续的，因此在点也不是连续的。则在包含上0点的任何有界邻域内均无界，取