泛函历年试题集锦(共10页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上泛函分析2003试题1、叙述赋范空间完备性的定义；证明：在Banach空间中，绝对收敛级数必收敛。解：（P5定义1.1.4）若赋范空间X中的序列满足如下Cauchy条件：则称为Cauchy列，若X中所有Cauchy列均收敛，则称X为完备赋范空间或Banach空间。证明：Banach空间是完备的赋范空间，令X为Banach空间，收敛，即绝对收敛。那么，令：因为收敛，故余项，即这说明是X中的Cauchy列，因X完备，故收敛，即收敛。2、设，分别求作为空间的元素的范数。（即求时的范数）解：时，时，时，3、设X、Y是赋范空间，。说明连续，并求。解：为数值函数，要证连续，即估计，其中。而由公式（P3公式1.1.5），即（有界，连续，）故连续。4、给定无穷矩阵，求，并估计。解：由命题2.2.2（P76命题2.2.2），5、设，说明。解： 变量代换，令，则：令，则显然，故由（P89