1、第- 1 -页 共 15 页中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分.）1（甲） 如果实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ） 22|()|a（A） （B ） （C） （D）a2ca2ab1（乙） 如果 ，那么 的值为（ ） 13（A） （B） （C ）2 （D ）2222（甲） 如果正比例函数 y = ax（a 0）与反比例函数 y = （b 0 ）的图象有两个交点，其中一x个交点的坐标为（3，2） ，那么另一个交点的坐标为（ ） （A）（2，3） （B）（3，2） （C）（2，3） （D）（3，
2、2）2（乙） 在平面直角坐标系 中，满足不等式 x2y 22x2y 的整数点坐标（x，y）的个数为（ xOy） （A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲） 如果 为给定的实数，且 ，那么 这四个数据的平均ab， 1ab121aba， ， ，数与中位数之差的绝对值是（ ） （A）1 （B） （C ） （D）242 143（乙） 如图，四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，ABC 是等边三角形 ，AD = 3，BD = 5，0AD则 CD 的长为（ ） （A） （B）4 23（C） （D）4.554（甲） 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我 2 元，我的
3、钱数将是你的 n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我 n 元，我的钱数将是你的 2 倍”，其中 n 为正整第- 2 -页 共 15 页OABCE D数，则 n 的可能值的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙） 如果关于 x 的方程 是正整数）的正根小于 3， 那么这样的方程的0pxq（ ，个数是（ ） （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 85（甲） 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，3，4，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以 4 的余数分别是 0，1，2，3 的概率为 ，则0123p， ， ，中最大的是（ ） 0123p， ， ，
4、（A） （B） （C ） （D）1p2p35（乙） 黑板上写有 共 100 个数字每次操作先从黑板上的数中选取 2 个数230， ， ， ， ，然后删去 ，并在黑板上写上数 ，则经过 99 次操作后，黑板上剩下的数ab， ab， ab是（ ） （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）6（甲） 按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“ 输入一个值 x”到“结果是否487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么 x 的取值范围是 .6（乙）.如果 a，b，c 是正数，且满足 ，9abc 1109abca，那么 的值为 7（
5、甲） 如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，15E，F 分别是 AB，BC 的中点，AF 与 DE，DB分别交于点 M，N，则DMN 的面积是 .7（乙）.如图所示，点 A 在半径为 20 的圆 O 上，以 OA 为一条 对角线作矩形 OBAC，设直线 BC 交圆 O 于 D、E 两点，若 12C，则线段 CE、BD 的长度差是 。8（甲）. 如果关于 x 的方程 x2+kx+ k23k+ = 0 的两个实49 数根分第- 3 -页 共 15 页xyOECABD别为 ， ，那么 的值为 1x2201x8（乙） 设 为整数，且 1n2012. 若 能被 5 整除，则所有 的个数为 .n22(3
6、)()nn9（甲）. 2 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分；平局各得 1 分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为 130 分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则 m 的值为 .9（乙） 如果正数 x，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称 是三角形数若xyz（ ， ， ）和 均为三角形数，且 abc，则 的取值范围是 .abc（ ， ， ） 1ac（ ， ， ）10（甲）如图，四边形 ABCD 内接于O ，AB 是直径，AD = DC. 分别延长 BA，CD，交点为 E. 作 BF
7、EC，并与 EC 的延长线交于点 F. 若 AE = AO，BC = 6，则 CF 的长为 .10（乙） 已知 是偶数，且 1 100若有唯一的正整数对 使得 成立，则这nnab（ ， ） 2n样的 的个数为 三、解答题（共 4 题，每题 15 分，共 60 分）11（甲） 已知二次函数 ，当 时，恒有 ；关于 x 的方程232yxmx（ ） 13x0y的两个实数根的倒数和小于 求 的取值范围230xm（ ） 90m11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点 A 在 y 轴负半轴上，点 B、C 分别在 x 轴正、负半轴上， 48,sin5OC。点 D 在线段 AB 上，连结 CD交 y
8、 轴于点 E，且 。COEADS试求图像经过 B、C、E 三点的二次函数的解析式。第- 4 -页 共 15 页12（甲）. 如图，O 的直径为 ， 过点 ，且与 O 内切于点 为O 上的点，AB1 BC与 交于点 ，且 点 在 上，且 ，BE 的延长线与 交C1ADCEDE1A于点 ，求证：BOC F1F12（乙） 如图，O 的内接四边形 ABCD 中，AC，BD 是它的对角线，AC 的中点 I 是ABD 的内心. 求证：（1）OI 是IBD 的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.第- 5 -页 共 15 页13（甲）. 已知整数 a，b 满足：ab 是素数，且 ab 是完全平方数.
9、当 2012 时，求 a 的最小值.a13（乙） 给定一个正整数 ，凸 边形中最多有多少个内角等于 ？并说明理由n 15014（甲）. 求所有正整数 n，使得存在正整数 ，满足 ，且12201xx， ， ， 12201x.12201xx14（乙） 将 ， ， （n2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数 3 abc， ，（可以相同） ，使得 ，求 的最小值bac参考解答第- 6 -页 共 15 页一、选择题1(甲) .C解：由实数 a，b，c 在数轴上的位置可知，且 ，0bacb所以 22|()|()()ccaca1（乙） B解： 1112223a 1212（甲） D解：利用正比例函数与
10、反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙） B解：由题设 x2y 22x2y， 得 0 2.22(1)()xy因为 均为整数，所以有，2(1)0y，； 2()01y，； 2()10y， ； 2(1).xy，解得1xy，； 2， ； 0xy， ； 1，； 0xy，； 2，； 1xy，； 20，； .xy，以上共计 9 对 .（ ， ）3（甲） D解：由题设知， ，所以这四个数据的平均数为112aba，()()3424bab中位数为 ，(2于是 .32144abab3（乙） B解：如图，以 CD 为边作等边CDE，连接 AE. 由于 AC =
11、BC，CD = CE，BCD=BCA+ ACD=DCE+ACD =ACE ，第- 7 -页 共 15 页所以BCDACE， BD = AE.又因为 ，所以 .30ADC90ADE在 Rt 中，E53， ，于是 DE= ，所以 CD = DE = 4. 244（甲） D解：设小倩所有的钱数为 x 元、小玲所有的钱数为 y 元， 均为非负整数. 由题设可得x，2()ny，消去 x 得 (2y7)n = y+4，2n = .72157)(因为 为正整数，所以 2y7 的值分别为 1，3，5，15，所以 y 的值只能为157y4，5，6，11从而 n 的值分别为 8，3，2，1；x 的值分别为 14，
12、7，6，74（乙） C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为 ，故方程的根为一正一负由二0q次函数 的图象知，当 时， ，所以 ，即 . 由2yxpq3xy23p39pq于 都是正整数，所以 ，1q5；或 ，1 q2，此时都有 . 于是共q， 1p240有 7 组 符合题意 （ ， ）5（甲） D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有 36 个，其和除以 4 的余数分别是 0，1，2，3 的有序数对有 9 个，8 个，9 个，10 个，所以，因此 最大12391066pp， ， ， 3p5（乙） C解：因为 ，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加 1 后的()ab
13、ab乘积不变设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为 ，则x第- 8 -页 共 15 页，11()()()230xA解得 ， x二、填空题6（甲） 7x19解：前四次操作的结果分别为3x2，3(3 x2)2 = 9x 8，3(9 x8) 2 = 27x26，3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487，81x80487.解得 7x19.容易验证，当 7x19 时， 487 487，故 x 的取值范围是3298x7x196（乙）.7解：在 两边乘以 得9101acba 9cba即3c 7b7（甲） 8解：连接 DF，记正方形 的边长为 2 . 由题设易知ABCDa ，所以BFND
14、A，1NF由此得 ，所以 .223在 Rt ABF 中，因为 ，所以ABaF，25于是 .cos由题设可知ADEBAF，所以 ，AEDFB.0 0181890AMEBFA于是 ，25cosa，431NAM第- 9 -页 共 15 页. 415MNDAFS又 ，所以 . 21(2)AFDa 24815MNDAFSa因为 ，所以 .58MNDS7（乙）. 8解：如图，设 的中点为 ，连接 ，EO则 OM因为 ，所以2016B，485C23BM，EBDD（ ） （ ） 6435C288（甲） 3解：根据题意，关于 x 的方程有=k24 0，239()k由此得 (k3) 20 又(k3) 20，所以(
15、k 3) 2=0，从而 k=3. 此时方程为 x2+3x+ =0，解得 x1=x2= . 493故 = = 201x38（乙）.1610解： 9533242222 nnn因此 ，所以 ，因此45|(9)5(mod14k,1或01所以共有 2012-402=1610 个数9（甲） 8解：设平局数为 ，胜（负）局数为 ，由题设知 ，由此得 0b43.ab2310ab又 ，所以 . 于是(1)2mb()am0 43，30(1)b第- 10 -页 共 15 页87 130，(1)2m由此得 ，或 .8m9当 时， ；当 时， ， ，不合题设.405ba， 9035ba， 52ab故 9（乙）. 123
16、c解：依题意得： ，所以 ，代入（2）得()2abcacb，两边乘以 a 得acba11，即，化简得 ，两边除以 得c0322c2c所以23()10c 55另一方面：abc ， 所以 综合得1ca123ca另解：可令 ，由（1）得 ，代入（2）化简得 ，解得k()bkc230k，另一方面：abc ， 所以 ， 综合得 352151k10（甲） 解：如图，连接 AC，BD，OD. 由 AB 是O 的直径知 BCA =BDA = 90.依题设BFC = 90 ，四边形 ABCD 是O的内接四边形，所以BCF = BAD ,所以 RtBCFRtBAD ，因此 .BCAFD因为 OD 是O 的半径，AD = CD，所以 OD 垂直平分 AC，ODBC ， 于是 . 因此2DECB
