1、1等腰三角形的性质练习题及答案若按边(角)是否相等分类，两边(角)相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是一类特殊三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合(简称三线合一)，特别地，等边三角形的各边相等，各角都为 60解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关 系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径例题求解【例 1】 如图 AOB 是一钢架，且AOB=10，为使钢架更加坚固
2、，需在其内部添加一些钢 管 EF、FG、GH添加的钢管长度都与 OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根(山东省聊城市中考题)思路点拨 通过角度的计算，确定添加钢管数的最大值注 角是几何中最活跃的元素，与角相关的知识异常丰富，在三角形中，角又有独特的等量关系，如三角形内角和定理、内外角关系定理等腰三角形两底角相等，利用这些定理可以找到 角与角之间的“和” 、 “差” 、 “倍” 、 “分”关系随着知识的丰富，我们分析问题、解决问题的方法和工具随之增加，因此，在使用什么方法解决问题时，需要综合与选择 【例 2】如图，若 AB=AC，BGBH，AK=KG，则BAC 的度数为（ ) A30 D32 C
3、 36 D40(武汉市选拔赛试题)思路点拨 图中有很多相关的角，用BAC 的代数式表示这些角，建立关于BAC 的方程【例 3】 如图，在 ABC 中，已知 A=90，AB=AC，D 为 AC 上一点，AEBD 于 E，延长 AE 交 BC 于 F，问：当点 D 满足什么条件时，ADBCDF，请说明理由 (安徽省竞赛题改编题)思路点拨 本例是探索条件的问题，可先假定结论成 立，逐步逆推过去，找到相应的条件，若ADBCDF，这一结论如 何用?因ADB 与CDF 对应的三角形不全等，故需构造全等三角形，而作顶角的平分线或底边上的高(中线)是等腰三角形中一条常用辅助线2【例 4】如图，在ABC 中，A
4、CBC，ACB=90，D 是 AC 上一点，AEBD 交 BD 的延长线于 E，且 AE= 21BD求证：BD 是ABC 的角平分线(北京市竞赛题)思路点拨 AE 边上的高与ABC 的平分线重合，联想到等腰三角形，通过作辅助线构造全等三角形、等腰三角形注 若巳知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助战，构造全等三角形，使欲证的线段或角转移位置，最终使问题得以解决结论探索型、条件探索型、存在性判断是探索型问题的基本形式，相应的解题策略是：(1)通过对符合条件的特例或简单情形的分析、观察、猜想结果，再给出证明；(2)假设结论成立，逆推追寻相应的条件；(3)假设在题设条件下的某一数学对象
5、存在，进行推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定的结论【例 5】如图，在ABC 中，已知C60，ACBC，又ABC、BCA、CAB都是ABC 形外的等边三角形，而点 D 在 AC 上，且 BCDC(1)证明：CBDBDC；(2)证明：ACDDBA；(3)对ABC、ABC、BCA、CAB ，从面积大小关系上，你能得出什么结论?(江苏省竞赛题)思路点拨 (1)是基础，(2)是(1)的自然推论，(3) 由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键学力训练1如图，ABC 中，已知 ADAC，要使 AD=AE，需要添加的一个条件是 (济南市中考题) 2等腰三角形一腰上的中线把这个三
6、角形的周长分成 12cm 和 21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为 3ABC 中，ABAC，A=40，BP=CE，BD=CP，则DPF= 度34如图，ABC 中，ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于点 F，若 BFAC，则ABC的大小是 (烟台市中考题)5ABC 的一个内角的大小是 40，且A=B，那么C 的外角的大小是( )A140 B80或 100 C 100或 140 D80或 1406已知ABC 中，ABAC，BAC=90，直角EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边 PE、PF 分别交 AB、AC 于点 F、F，给出以下四个结论：AE=CF；EPF 是等
7、腰直角三角形，SAEPF四 边 形= 21 S ABC；EF=AP当EPF 在ABC 内绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、B 重合)，上述结论中始终正确的是( )A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个(苏州市中考题)7如图，在ABC 中，ACB=90，ACAE，BCBF，则ECF( )A60 B45 C30 D不确定8如图，在等边ABC 中，BDCE，AD 与 BE 相交于点 P，则APE 的度数是( )A45 D55 C60 D75(菏泽市中考题)9在ABC 中，已知 ABAC，且过ABC 某一顶点的直线可将ABC 分成两个等腰三角形，试求厶 ABC 各内角的度数(广州市中考题)10如
8、图，已知 A、D 两点分别是正三角形 DEF、正三角形 ABC 的中心，连结 GH、AD，延长AD 交 BC 于 M，延长 DA 交 EF 于 N，G 是 FD 与 AB 的交点，H 是 ED 与 AC 的交点(1)请写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程） ；(2)问 FE、GH、BC 有何位置关系?试证明你的结论(江西省中考题)11如图，在 RtABC 中，已知ACB=90，AC=BC，D 为 DC 的中点，CEAD 于E，BFAC 交 CE 的延长线于点 F求证：AB 垂直平分 DF(河南省中考题)412如图 ，O 为等边三角形 ABC 内一点，B
9、DDA，BEAB，DBEDBC，则BED 的度数是 (河南省竞赛题) 13如图，AA、BB分别是EAO、DBC 的平分线，若 AA=BBAB，则BAC 的度数为 (全国初中数学联 赛题)14周长为 100，边长为整数的等腰三角形共有 种( “华杯赛”试题)15已知等腰三角形的两边 a、b 满足 2)13(532bab=0，则此等腰三角形的周长为 16如图，在ABC 中，BAC=120，ADBC 于 D，且 AB+BDDC，则C 的大小是( )A20 B25 C30 D4517如图，在等腰直角ABC 中，AD 为斜边上的高，以 D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于 E、F，连结 EF 与
10、 AD 相交于 G，则AED 与AGF 的关系为( )AAEDAGF BAEDAGF CAEDAGF D不能确定（“学习报）公开赛试题）18如图，直线 1l、 2、 3l表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A一处 B两处 C三处 D四处(安徽省中考题)19ABC 的三边为 a、b、c，且满足 25.1.32bacba，则ABC 是( )A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D以上答案都不对(河南省竞赛题)20如图，在ABC 中，AB=AC，P 底边 BC 上一点，PDAB 于 D，PEAC 于 E，CFAB 于F(1)求证：PD+P
11、E=CF；(2)若 P 点在 BC 的延长线上，那么 PD、PE、CF 存在什么关系?写出你的猜想并证明521如图，在等腰直角ABC 中，BAC90，AD=AE，AFBE 交 BC 于点 F，过 F 作FGCD 交 BE延长线于 G，求证： BG=AF+FG (重庆市竞赛题)22如图，在ABC 中，ABAC，BAC80，O 为ABC 内一点，且OBC=10，OCA=20，求 BAO 的度数 (天津市竞赛题)23如图，等边ABC 中，AB=2，点 P 是 AB 边上的任意一点(点 P 可以与点 A 重合，但不与点 B 重合)，过点 P 作 PEBC 于 E，过点 E 作 EFAC 于 F，过点 F 作 FQAB 于 Q，设BP= x，AQy(1)用 x 的代数式表示 y；(2)当 PB 的长等于多少时，点 P 与点 Q 重合?(福州市中考题)24如图，ABC 是边长为 l 的等边三角形，BDC 是顶角BDC120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB 于 M，交 AC 于 N，连结 MN，形成一个三角形，求证：AMN 的周长等于 26
