1、1第七章 平面向量 复习卷第一节 平面向量的基本概念及其基本运算1向量的概念(1)定义：既有大小又有方向的量(2)向量的表示：用 a、b、m 等来表示，或用 来表示(它表示以 A 为始点，B 为终点的向量)AB (3)向量的长度(或模)：记为|a |或| |.AB (4)0(零向量 )：长度为 0 的向量，其方向任意，零向量没有确定的方向(5)e(单位向量)：|e| (6) a 的相反向量：是指与 a 长度相等且方向相反的向量，记为 (7) 相等向量(同一向量 )：大小相等且方向相同的向量2向量的加法运算(1)加法法则：三角形法则与平行四边形法则 (2)若干个向量相加的多边形法则 A n1 A
2、n (首尾相接 )A1A2 A2A3 A3A4 A4A5 (3)加法运算律：abba(交换律) (ab) c a( b c)(结合律)a00aa；a(a)0； 0.AB BA 3向量的减法运算 (1)减法法则(如图所示 )(2)aba( b)即 (连接两个向量的终点，且方向指向被减向量)OA OB BA (3)向量不等式 |a| |b|ab| a|b|4实数与向量的积(数乘向量 )实数 与向量 a 的乘积，叫做数乘向量，记作 a.(1)大小：|a| 2(2)方向：0，a 与 方向 ； 0，a 与 a 方向 ；0，a0.(3)运算律： (a)( )a ； ()aaa ； (ab) ab， （，
3、为实数）5两个向量平行(共线)的充要条件: ab (a0，R， 存在且唯一)练习题1下列说法正确的是( )A相等向量就是与向量长度相等的向量 B长度相等的向量叫做相等向量C共线向量是指在一条直线上的向量 D0 与任一向量共线2a 的负向量是( )A与 a 方向相反的向量 B与|a| 符号相反的向量C与 a 反向且大小相等的向量 D以上均不对3下列关于向量的关系式中，正确的是( )A 0 B C D AB BA AB AC BC AB AC CB AB AC CB 43(ab) 4( a b)( )34Aa Bab Cab D2ab5 AB CA BC 6在菱形 ABCD 中，若 a， b，则
4、_， _AB BC CD CA 7若向量 a 表示“向东走 6km”，向量 b 表示“向北走 6km”，则向量 ab 表示_8下列命题正确的是( )A若|a |0，则 a0 B若|a| b|，则 ab 或 abC若 ab，则| a|b| D若 a0，则a 09平行四边形 ABCD 中， a， b，则 ( )AB BC BD Aab Bba Cab Dab102(ab) 3(2 ab)( )A4a5b B4a5b C5a4b D5a4b11. _AB CA DE DF BD EF 12已知 (1 ，3)， (3，9)， ，则 _AB CD CD AB 第二节 平面向量的坐标表示1向量的坐标及其运
5、算(1)向量的坐标在直角坐标系中，i、j 分别为 x，y 轴正方向上的单位向量，则 i、j 称为基底，从而平面内3任一向量 a 都可以表示成 axi yj，把(x，y )叫做 a 的坐标 ，记作 a(x，y)，其中 x 称为 a 在x 轴上的坐标，y 称为 a 在 y 轴上的坐标(2)在坐标平面内，把任一向量的始点移到坐标原点后，向量的终点坐标即为该向量的坐标即：若 a，且 A(x，y)，则有 a(x，y)OA (3)已知 A(x1， y1)，B(x 2，y 2)，则有 ( x2x 1，y 2y 1)AB (4)向量的坐标运算 若 a( x1，y 1)，b(x 2，y 2)，则有 ab(x 1
6、x 2，y 1y 2)；ab(x 1x 2，y 1y 2)； a( x1，y 1)；abx 1x 2且 y1y 2.2a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)，则 abx 1y2x 2y10.3中点坐标公式：设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，A、B 中点记为 C(x，y)，则有 x ，y x1 x22.y1 y224向量的长度(模)计算公式：若 a(x 1，y 1)，则|a| .5两点间距离公式：若 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则| | .AB （x1 x2）2 （y1 y2）2练习题1若向量 a(3，1)，b(1，2) ，则3a2b 等于( )A(7，1) B(7
7、，1) C( 7，1) D(7，1)2点 A(2， 1)，B(1，3)则 ( )AB A5 B C( 3，4) D(3，4)53已知点 A(2，3) ，B(4，3)，则其中点 D 的坐标为( )A(2，1) B(2，2) C(3 ，3) D(6，6)4已知 A(1， 1)，B(1，3)，则| |_AB 5已知 a(2，5)，b( ，3)，ab，则 _6已知点 A( 2，1) 和 B(3，2)且 4 ，则点 P 的坐标为_AP PB 7已知平面上三点 A(1，2) 、 B(4，3)、C(6，1) ，若 ，则点 D 坐标为_AB CD 8若平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(3，0) ，B (2
8、，2)，C(5，2) ，求顶点 D 的坐标4第三节 平面向量的内积1向量 a 与 b 的夹角：把向量 a 与 b 的始点移到同一点 O，作 a， b，则AOB 称为OA OB 向量 a、b 的夹角，记作a，b ，则a，b0， 2向量 a 与 b 的内积：ab|a|b|cosa，b 3两向量 a、b 夹角的计算公式：cosa，b .ab|a|b|4向量内积的重要结论：设 a、b 是两个非零向量，则有(1)aba，b90a b0x 1x2y 1y20(2)a 与 b 平行，则 ab| a|b|，且同向取正，反向取负特别地，aaa 2|a| 2即| a| .aa5向量内积的坐标表示 设 a(x 1，
9、y 1)，b( x2，y 2)，则 abx 1x2y 1y26向量内积的运算律 (1)abba (2)(a)b (ab)a( b)(3)(ab )ca cb c练习题1若四边形 ABCD 中， ，且 0，则四边形 ABCD 一定是( )AB DC AB BC A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形2已知向量 a(3，2)，b( ，4) ，则 ab( )13A6 B7 C8 D93下列等式正确的为( )A0a0 B0a0 C| ab|a|b| Daa04设|a |3，|b|2，且a， b120，则 ab( )A3 B3 C6 D65向量 a(2，3)，b( x，4)，且 ab，则 x( )A6 B6 C. D83 836已知 ab3，|a| ，|b|2，则a，b_.37已知 a(2， )，b(0 ， )，则 a(2b)_2 28已知 a(k，2)，b(2k，k 1) ，求 k 的值，分别使：(1)ab；(2)ab.9若向量 a(4，3)，则下列向量中与 a 垂直的向量是 ( )A(3，4) B(3，4) C( ， ) D( ， )35 45 35 45510已知 a(3，4)，b(2，3) ，则 a(ab)( )A13 B7 C6 D26
