2017年高考江苏数学试题及答案解析版.docx

1、12017 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 I一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上（1） 【2017 年江苏，1，5 分】已知集合 ， 若 ，则实数 的值为_21A， 23,Ba1ABa【答案】1【解析】集合 ， ， 或 ，解得 2A， 23,Ba12【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用（2） 【2017 年江苏，2，5 分】已知复数 ，其中 是虚数单位，则 的模是_1i2ziz【答案】 10【解析】复数 ， i123iiz2130z【点评】本题考查了复数的运算法则、模的

2、计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（3） 【2017 年江苏，3，5 分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件【答案】18【解析】产品总数为 件，而抽取 60 辆进行检验，抽样比例为 ，则应从丙204301 601种型号的产品中抽取 件68【点评】本题的考点是分层抽样分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取（4） 【2017 年江苏，4，5 分】如图是

3、一个算法流程图：若输入 的值为 ，则输出 的值是x16y_【答案】 2【解析】初始值 ，不满足 ，所以 16x1x41262logly【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题（5） 【2017 年江苏，5，5 分】若 则 _1tan46tan【答案】 7【解析】 ， ，解得 tanttan14tan461tan6t17tan5【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题（6） 【2017 年江苏，6，5 分】如如图，在圆柱 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均12相切。记圆柱 的体积为 ，球 O 的体积为 ，则 的值是 _12O1

4、V2V12【答案】 32【解析】设球的半径为 R，则球的体积为： ，圆柱的体积为： 则 34R23R3124VR【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力（7） 【2017 年江苏，7，5 分】记函数 的定义域为 D在区间 上随机取一个数 ，则2()6fxx5， xxD的概率是_【答案】 9【解析】由 得 ，得 ，则 ，则在区间 上随机取一个数 ，则260x260x23x23， 45， xx的概率 3549P【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出 D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键（8） 【2017 年江苏，8，5 分】在

5、平面直角坐标系 中 ，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别xoy213xy交于点 ， ，其焦点是 ， ，则四边形 的面积是_PQ1F212FPQ【答案】 23【解析】双曲线 的右准线： ，双曲线渐近线方程为： ，所以 ，2xy3x3yx3,2P，, 则四边形 的面积是： 12,0F2,12FPQ1432【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力（9） 【2017 年江苏，9，5 分】等比数列 的各项均为实数，其前 项的和为 ，已知 ， ，则nannS37463S_8a【答案】32【解析】设等比数列 的公比为 ， ， ， ， ，na1q374S633174aq614aq解得 ， 则 1

6、4282【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（10） 【2017 年江苏，10，5 分】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 吨，运费为 6 万元/次，一年的x总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 的值是_x【答案】30【解析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= （万元） 60904224xx当且仅当 时取等号30x【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（11） 【2017 年江苏，11，5 分】已知函数 ，其中 是自然数对数的底数，若312xfxee，则实数 的取值

7、范围是_210fafa【答案】 ,3【解析】函数 的导数为： ，可得 在 R 上312xfxe211320xxfxeefx递增；又 ，可得 为奇函数，320xfef则 ，即有 ，即有 ，解得 210fa1faffa21a12a【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题（12） 【2017 年江苏，12，5 分】如图，在同一个平面内，向量 ， ， ，的模分别为 1，1，OABC， 与2OA的夹角为 ，且 ， 与 的夹角为 。若 （ ） ，则Ctan7OBC45mn,R_mn【答案】3【解析】如图所示，建立

8、直角坐标系 由 与 的夹角为 ，且 1,0Ata7 ， 1cos527sin527523cos45cosin5 （ ） ，4in4icos3,BOCmAB,R ， ，解得 ， 则 135m705n7m3n【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（13） 【2017 年江苏，13，5 分】在平面直角坐标系 中， ， ，点 在圆 上，xy120（ -， ） 6（ ， ） P250Oxy：若 ，则点 的横坐标的取值范围是_2PABP【答案】 ,1【解析】根据题意，设 ，则有 ，0,xy205xy，20000,61616xyxy化为 ，即 ，表示直线 以及直线

9、下方的区域，01263025联立 ，解可得 或 ，由图得：点 的横坐标 的取值范围是 05xy05x0P0x52,1【点评】本题考查数量积运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于 、 的关系0xy式（14） 【2017 年江苏，14，5 分】设 是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间 上， fx ,1，其中集合 ，则方程 的解的个数是_2,xfD*1,nNlg0fx【答案】8【解析】在区间 上， ，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又 是定义在 R0,12,xfDfx上且周期为 1 的函数，在区间 上， ，此时 的图象与 有且只有1,21,xfDfxlgy一个交点；

10、同理：区间 上， 的图象与 有且只有一个交点；区间 上， 的图2,3fxlgy3,4fx象与 有且只有一个交点；区间 上， 的图象与 有且只有一个交点；区间lgyx4,5fxlgy上， 的图象与 有且只有一个交点；区间 上， 的图象与 有且只有一5,6flgy6,7fxlgy个交点；区间 上， 的图象与 有且只有一个交点；区间 上， 的图象与7,8fxly8,9fx4有且只有一个交点；在区间 上， 的图象与 无交点；故 的图象与lgyx9， fxlgyxfx有 8 个交点；即方程 的解的个数是 8lg0fx【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档

11、二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15） 【2017 年江苏，15，14 分】如图，在三棱锥 中， ， ，ABCDABCD平面 平面 ，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且ABDCEF（1） ；/平 面（2） 解：（1）在平面 内，因为 ， ，所以 又因为 平BEFAB/EF面， 平面 ，所以 ABCAC/EFABC平 面（2）因为平面 ，平面 平面 ， D平 面 D平面 BCD， ，所以 平面 因为 平面 ，所以 又DBCAD， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，BABC又因为

12、 平面 ，所以 【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题（16） 【2017 年江苏，16，14 分】已知向量 ， ， cosinxa3,b0,x（1）若 ，求 x 的值；/ab（2）记 ，求 的最大值和最小值以及对应的 的值ff解：（1）因为 ， ， ，所以 若 ，则 ， co()s,in(3,)b/cosinxcosxsin0x与 矛盾，故 于是 又 ，所以 22sin1xcos0x3tan0,56（2） (cs,i)(,)si2cs() )6f xxab因为 ，所以 ，从而 于

13、是，当 ，即 时，0,x7,6x31o()6x0x取到最大值 3；当 ，即 时， 取到最小值 f56xfx2【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题（17） 【2017 年江苏，17，14 分】如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、Oy12xy+=abab: 0E右焦点分别为 ， ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8点 在椭圆 E 上，且位于F1212P第一象限，过点 作直线 的垂线 ，过点 作直线 的垂线 1P1l2F22l（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l1，l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标，解：（1）设椭圆

14、的半焦距为 c 因为椭圆 E 的离心率为 ，两准线之间的距离为 8，所以1，2ca，解得 ，于是 ，因此椭圆 E 的标准方程是 82,1ac23bac2143xy（2）解法一：由（1）知， ， 设 ，因为点 为第一象限的点，故 1(,0)F2(,)0(,)PxyP0,5当 时， 与 相交于 ，与题设不符01x2l11F当 时，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 因为 ， ，所以直线 的P0yx2PF01yx1lPF 2l 1l斜率为 ，直线 的斜率为 ，从而直线 的方程： ， 0y2l01l0()xy直线 的方程： 由 ，解得 ，所以 2l01()xy 200,x 20(,)xQy因为点 在椭圆

15、上，由对称性，得 ，即 或 Q20xy201y21y又 在椭圆 E 上，故 由 ，解得 ；P20143xy20143x00473,x，无解因此点 P 的坐标为 20143xy 7(,)解法二：设 ，由 在第一象限，则 ， ，,Pmn0mn当 时， 不存在，解得： 与 重合，不满足题意，12PFkQ1F当 时， ， ，由 ， ，则 ， ，1n1Pk1lP2lF1lmkn21lkn直线 的方程 ， 直线 的方程 ，1lyx2myxn联立解得： ，则 ，由 在椭圆方程，由对称性可得： ，即 ，xm2,QnQ22n21m或 ，由 ，在椭圆方程， ，解得： ，或 ，无解，21n,P2143mn21679

16、mn2143又 在第一象限，所以 的坐标为： P7,P【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题（18） 【2017 年江苏，18，16 分】如如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线AC 的长为 cm，容器的两底面对角线 EG， 的长分别为107 1EG14cm 和 62cm 分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm 现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱上，C求

17、l 没入水中部分的长度；（2）将 l 放在容器中， l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1 上，求 l 没入水中部分的长度解：（1）由正棱柱的定义， 平面 ，所以平面 平面 ， 1C BD1C ABD1C6记玻璃棒的另一端落在 上点 处因为 ，所以 ，1CM107,40ACM2240(17)30C从而 ，记 与水面的焦点为 ，过 作 ， 为垂足，3sin4MA P1QA1则 平面 ，故 ，从而 1PQBD12PQ16sin玻璃棒 没入水中部分的长度为 16cml（2）如图，O，O 1 是正棱台的两底面中心由正棱台的定义， 平面 ， 所以平面1OEFGH1EG平面 ， 同理，平面 平面

18、 ， 记玻璃棒的另一端落在FHOEG1EG1E11上点 N 处过 G 作 ，K 为垂足，则 因为 ， ，1 132K 41 62所以 ，从而 624K21 40设 ，则 1,E 11sini()cos5G 因为 ，所以 在 中，由正弦定理可得 ，23co5ENG 4insi解得 因为 ，所以 7sin50224cos5于是 4273si()sin()icosin()55NEG记 EN 与水面的交点为 P2，过 P2 作 ，Q 2 为垂足，则 平面 EFGH，故 ，2EG2PQ21PQ从而 玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm220sinQP【点评】本题考查玻璃棒 没入水中部分的长度的求法

19、，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知l识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题（19） 【2017 年江苏，19，16 分】对于给定的正整数 ，若数列 满足 kna11nknaa 1nk对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列”2nknankP（1）证明：等差数列 是“ 数列”；a3P（2）若数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，证明： 是等差数列n2n解：（1）因为 是等差数列，设其公差为 ，则 ，d1()nad从而，当 时， ，4nk1()kk12()2nada1,3k所以 ，因此等差数列 是“ 数列”n naa32123+

20、6nP3（2）数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，因此，PP当 时， ， 当 时， nnna21244nnnnaaa321236由知， ， ，aa341()n21()将代入，得 ，其中 ，所以 是等差数列，设其公差为 nn1 345, d在中，取 ，则 ，所以 ，235642d在中，取 ，则 ，所以 ，所以数列 是等差数列143a1ana【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题（20） 【2017 年江苏，20，16 分】已知函数 有极值，且导函数 的极值320,fxbxRfx7点是 的零点。 （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

21、 fx（1）求 关于 的函数关系式，并写出定义域；ba（2）证明： ；23（3）若 ， 这两个函数的所有极值之和不小于 ，求 a 的取值范围fxf 72解：（1）由 ，得 当 时， 有极小值32()1abx22()33()3fxaxbb3ax()fx23ab因为 的极值点是 的零点所以 ，又 ，故 ()fx()fx3()10279afa239ab因为 有极值，故 有实根，从而 ，即 =0 3()ab3时， ，故 在 R 上是增函数， 没有极值；3a()1)fx()fxfx时， 有两个相异的实根 ， 21322=3ab列表如下：x 1(,)x1x12(,)x2x2(,)x()f+ 0 0 +A极

22、大值 A极小值 A故 的极值点是 从而 ，因此 ，定义域为 ()fx12,x3a239ab(3,)（2）由（1）知， 设 ，则 =9ba()=tg27()=9tgt当 时， ，从而 在 上单调递增36(,)2t()0gtt6,2因为 ，所以 ，故 ，即 因此 3()(3ag3ba23ba（3）由（1）知， 的极值点是 ，且 ， ()fx12,x12x221469x从而 323121f bb2 22112()()()()3xaa 342079ab记 ， 所有极值之和为 ，因为 的极值为 ，所以 ，)ff (hfx 2913()=ha3a因为 ，于是 在 上单调递减因为 ，于是 ，23()=09h

23、a()a3,)(6)=h()6故 6因此 a 的取值范围为 (6，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题数学21【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（21-A ） 【2017 年江苏，21-A，10 分】 （选修 4-1：几何证明选讲）如图， 为半圆 的直径，ABO直线 PC 切半圆 O 于点 C， ，P 为垂足8求证：（1） ；PACB（2） 。2解：（1）因为 切半圆 O 于点 C，所以 ，因为 为半圆

24、O 的直径，PACB A所以 ，因为 APPC，所以 ，所以 90B 90 PCAB（2）由（1）知 ，故 ，所以 AP 2【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（21-B） 【2017 年江苏，21-B，10 分】 （选修 4-2：矩阵与变换）已知矩阵 ， 01A02B（1）求 ；AB（2）若曲线 C1； 在矩阵 对应的变换作用下得到另一曲线 ， 求 的方程2y=8xAB2C解：（1）因为 ， ，所以 000102（2）设 为曲线 上的任意一点，它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 ，0(,)Qxy1 (,)

25、Pxy则 ，即 ，所以 因为 在曲线 上，所以 ，021x02yx02yx0(,)Qxy1C2018y从而 ，即 因此曲线 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到曲线 8xy281C2： 28x【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题（21-C） 【2017 年江苏，21-C，10 分】 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面坐标系中 中，已知直线 的Oyl参考方程为 （ 为参数） ，曲线 的参数方程为 （ 为参数） 。设 为曲线 上的动2xty 2xsypC点，求点 到直线 的距离的最小值Pl解：直线 的普通方程为 因为点 在曲线 上，设 ，l 80xPC2(,)Ps从而点 到直线 的

26、的距离 ，当 时， l2 22|48|()45(1)ssdmin45d因此当点 的坐标为 时，曲线 上点 到直线 的距离取到最小值 P4, l 5【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题（21-D ） 【2017 年江苏，21-D】 （本小题满分 10 分） （选修 4-5：不等式选讲）已知 为实数，且,abcd，24ab，证明 216cd8acbd解：由柯西不等式可得： ，因为 所以 ，222()()cd224,16,abcd2()64因此 8【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，

27、计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内（22） 【2017 年江苏，22，10 分】如图，在平行六面体 中， 平面1ABCD1A，且 ， ， ABCD2A1320（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；1BC（2）求二面角 的正弦值9解：在平面 内，过点 A 作 ，交 BC 于点 E因为 平面 ，ABCDED1ABCD所以 ， 如图，以 为正交基底，建立空间直角坐标系 111,A Axyz， ， 则23120B1(0,)(3,0)(,)(,)(,3),(,3)C（1） ，11ABAC则 11,1cos, 77|B因此异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为 1（2）平面 的一个法向量为

28、 设 为平面 的一个法向1D(3,0)E(,)xyzm1BAD量，又 ，则 即1(3,),(,) 10,ABD30,.yzx不妨取 ，则 ，所以 为平面 的一个法向量，x,2yz(3,2)1从而 ，设二面角 的大小为 ，(,0)cos, 4|AEm1BAD则 3|4因为 ，所以 因此二面角 的正弦值为 ，0,27sin1cos4174【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题（23） 【2017 年江苏，23，10 分】已知一个口袋有 个白球， 个黑球（ ， ） ，这些球除颜色外mn2,mnN全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 的

29、抽屉内，其中3n ， ， ， ，第 次取球放入编号为 的抽屉（ ） kk123k ， ， ， ，1 2 3 （1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 ；p（2）随机变量 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， 是 的数学期望，证明x Ex1nEm解：（1）编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 为: p1Cnm（2）随机变量 X 的概率分布为: X 1n12n k 1mnP 1Cmnnm1Cmn1Cnm1Cn随机变量 X 的期望为： 1()!() 1mnkknknEXkn所以 12! 2()C()()C()!mn nk kmE 221()nnnm 122CC)nnnm10122(CC)()nnmm 12(C)()nnm 1C()()1nmn()EX【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题