曹广福版实变函数第一章习题解答(共17页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上实变函数第一章习题参考解答3等式成立的的充要条件是什么？解： 若，则.即，.反过来, 假设, 因为. 所以, . 故, .最后证，事实上，, 则且。若，则；若，则，故. 从而, . . 即 .反过来，若，则 因为所以 又因为，所以故 另一方面，且，如果则 ；如果因为，所以故. 则 . 从而于是，4对于集合A，定义A的特征函数为， 假设是一集列 ，证明：（i）（ii）证明：（i），时，.所以，所以故，有有，故 ，即=0 ，从而5设为集列， 证明 （i）互相正交（ii） 证明：（i）；不妨设nm，因为，又因为，所以，故 ，从而 相互正交.（ii）因为，有，所以，现在来证：当n=1时，；当时，有：则事实上，则使得，令则 ，其中，当时，从而， 6设是定义于E上的实函数，a为常数，证明：（i）=(ii)=证明：（i）且反过来，使即 故 所以 故7设是E上的实函