1、第 1 页（共 23 页）2015-2016 学年上海实验学校高二（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共 10 题，每题 4 分，共 40 分）1 = 2过点（1，0）且与直线 2x+y=0 垂直的直线的方程 3已知 ， ，则 = 4若 ， ，且 与 垂直，则向量 与 的夹角大小为 5已知直线 l 的一个法向量是 ，则此直线的倾斜角的大小为 6已知直线 l1：6x+ （t 1）y8=0，直线 l2：（t+4）x+（t+6）y 16=0，若 l1 与 l2 平行，则 t= 7设无穷等比数列a n的公比 q，若 ，则 q= 8设等边三角形 ABC 的边长为 6，若 ， ，则 = 9已知ABC 满足
2、|AB|=3，|AC|=4，O 是 ABC 的外心，且 = + （ R），则ABC的面积是 第 2 页（共 23 页）10定义函数 f（x）=xx，其中x表示不小于 x 的最小整数，如 1.4）=2，2.3= 2当x（0，n（n N*）时，函数 f（x）的值域为 An，记集合 An 中元素的个数为 an，则 （ + ）= 二.选择题（本大题共 4 题，每题 4 分，共 16 分）11在边长为 1 的正六边形 A1A2A3A4A5A6 中， 的值为（ ）A B C D12已知 an= ，S n 是数列a n的前 n 项和（ ）A 和 都存在B 和 都不存在C 存在， 不存在D 不存在， 存在13
3、若 =（2，3）， =（4，7），则 在 方向上的投影为（ ）A B C D14设 为两个非零向量 的夹角，已知对任意实数 t， 的最小值是 2，则（ ）A若 确定，则 唯一确定 B若 确定，则 唯一确定C若 确定，则 唯一确定 D若 确定，则 唯一确定第 3 页（共 23 页）三.解答题（本大题共 4 题，共 10+10+12+12=44 分）15在平面直角坐标系中，已知 A（2，3），B（4，1），P （2，0），求：（1） 的值；（2）APB 的大小16己知两点 A（2，1），B（m ，4），求（1）直线 AB 的斜率和直线 AB 的方程；（2）已知 m2 ，2+3 ，求直线 AB 的倾
4、斜角 的范围17数列a n满足 a1=1，a 2=7，令 bn=anan+1，b n是公比为 q（q0）的等比数列，设cn=a2n1+a2n；（1）求证： （n N*）；（2）设c n的前 n 项和为 Sn，求 的值18定义 x1，x 2，x n 的“倒平均数”为 （nN *）（1）若数列a n前 n 项的“ 倒平均数”为 ，求a n的通项公式；（2）设数列b n满足：当 n 为奇数时，b n=1，当 n 为偶数时，b n=2若 Tn 为b n前 n 项的倒平均数，求 ；（3）设函数 f（x）= x2+4x，对（1）中的数列a n，是否存在实数 ，使得当 x 时，f（x）对任意 nN*恒成立？
5、若存在，求出最大的实数 ；若不存在，说明理由四.附加题（本大题共 2 题，共 10+10=20 分）第 4 页（共 23 页）19对于一组向量 （n N*），令 = + + + ，如果存在（p1，2，3，n），使得 | | |，那么称 是该向量组的“h 向量” ；（1）设 =（n，n+x ）（nN *），若 是向量组 的“h 向量” ，求 x 的范围；（2）若 （n N*），向量组 （nN *）是否存在“h 向量” ？给出你的结论并说明理由20等差数列x n的前 n 项和记为 Sn，等比数列b n的前 n 项和记为 Tn，已知 x3=5，S 3 为9，b 2=x2+1， （lim ，n） Tn
6、=16（1）求数列x n的通项 xn；（2）设 Mn=lgb1+lgb2+lgbn，求 Mn 的最大值及此时的 n 的值；（3）判别方程 sin2xn+xncosxn+1=Sn 是否有解，说明理由第 5 页（共 23 页）2015-2016 学年上海实验学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共 10 题，每题 4 分，共 40 分）1 = 1 【考点】极限及其运算【专题】导数的综合应用【分析】变形利用数列极限的运算法则即可得出【解答】解：原式= =1，故答案为：1【点评】本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题2过点（1，0）且与直线 2x+y=0 垂直的直线的方程 x
7、 2y1=0 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】直线与圆【分析】方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程；方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程【解答】解：方法一，直线 2x+y=0 的斜率是2，则与这条直线垂直的直线方程的斜率是 ，过点（1，0）且与直线 2x+y=0 垂直的直线方程为y0= （ x1），即 x2y1=0；方法二，设与直线 2x+y=0 垂直的直线方程为 x2y+a=0，第 6 页（共 23 页）且该垂线过过点（1，0），1120+a=0，解得 a=1，这条垂线的直线方程为 x2y1
8、=0故答案为：x2y 1=0【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目3已知 ， ，则 = 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【专题】计算题【分析】先根据向量的基本运算得到 2 的坐标表示，再代入向量的模长计算公式即可【解答】解 ， ，2 =2（4， 5） （2，4）=（6，6）； = =6 故答案为； 6 【点评】本题主要考察平面向量数量积的坐标表示、模长计算，考察计算能力，属于基础题4若 ， ，且 与 垂直，则向量 与 的夹角大小为 【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题【分析】利用两个向量垂直的性质可得（ ） =0，求得 cos 的
9、值，进而求得 的值【解答】解：设向量 与 的夹角大小为 ，则由题意可得（ ） = + +=1+12cos=0，cos= 再由 0 可得 = ，故答案为 第 7 页（共 23 页）【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题5已知直线 l 的一个法向量是 ，则此直线的倾斜角的大小为 【考点】直线的斜率【专题】直线与圆【分析】设直线的方向向量为 =（a，b），直线的倾斜角为 利用 =0，即可得出【解答】解：设直线的方向向量为 =（a，b），直线的倾斜角为 则 =a b=0， =tan，= ，故答案为： 【点评】本题考查了直线的方向向量与法向量、向
10、量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题6已知直线 l1：6x+ （t 1）y8=0，直线 l2：（t+4）x+（t+6）y 16=0，若 l1 与 l2 平行，则 t= 5 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆【分析】由平行关系可得 6（t+6 ）= （t+4 ）（t1），解方程验证排除重合可得【解答】解：由题意可得 6（t+6 ）= （t+4 ）（t1），解方程可得 t=5 或 t=8，经验证 t=8 时直线重合，应舍去故当 t=5 时，两直线平行故答案为：5第 8 页（共 23 页）【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题
11、7设无穷等比数列a n的公比 q，若 ，则 q= 【考点】数列的极限【专题】极限思想；分析法；等差数列与等比数列【分析】由于 q 为无穷等比数列a n的公比，即有 0|q|1，由无穷等比数列的极限公式可得（a 3+a4+an）= ，再由等比数列的通项公式，解方程可得公比 q【解答】解：由于 q 为无穷等比数列a n的公比，即有 0|q|1，由 ，可得a1= = ，即为 q2+q1=0，解得 q= （ 舍去），故答案为： 【点评】本题考查数列的极限的求法，注意运用无穷等比数列的极限公式，考查运算能力，属于中档题8设等边三角形 ABC 的边长为 6，若 ， ，则 = 18 【考点】平面向量数量积的
12、运算【专题】计算题；数形结合；数形结合法；平面向量及应用【分析】由已知得 = ， = ，由此能求出 的值【解答】解：等边三角形 ABC 的边长为 6， ，D 为 AC 中点， = ， ， = ，第 9 页（共 23 页） =（ ）（ ）= + + +=36+ + +=36+6+9+3=18故答案为：18 【点评】本题考查向量数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法和向量数量积公式的合理运用9已知ABC 满足|AB|=3，|AC|=4，O 是 ABC 的外心，且 = + （ R），则ABC的面积是 或 【考点】平面向量的基本定理及其意义【专题】平面向量及应用【分析】设 AC
13、的中点为 D，根据条件和 O 是ABC 的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求出 ，可得 BDAC 和 B、O、D 三点共线，在直角三角形中求出sinBAC，代入三角形的面积公式求出ABC 的面积；当 =0 时，ABBC，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出ABC 的面积【解答】解：如图：O 是ABC 的外心，设 AC 的中点为 D， ，第 10 页（共 23 页） = = =，则 ， ，即 B、O 、D 三点共线O 是ABC 的外心，ODAC，则 BDAC，sinBAC= = = ，ABC 的面积 S= = ；当 =0 时，此时 ，即 ABBC，ABC 的面积 S= = = ，综上可得，ABC 的面积是 或故答案为： 或 【点评】本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题10定义函数 f（x）=xx，其中x表示不小于 x 的最小整数，如 1.4）=2，2.3= 2当x（0，n（n N*）时，函数 f（x）的值域为 An，记集合 An 中元素的个数为 an，则 （ + ）= 2 【考点】极限及其运算【专题】函数的性质及应用
