1、1 / 52第八章 圆锥曲线方程考点阐释圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用.（2）综合性强在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求（3）计算量大要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力试题类编一、选择题1.（2003 京春文 9，理 5）在同一坐标系中，方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0（ab0）的曲线大致是（ ）2.（2003 京春理，7）椭圆 （ 为参数）的焦点坐标为（ ）sin3co54yxA.（0，0） ， （0，8） B.（0，0） ， （8，0）C
2、.（0，0） ， （0，8） D.（0，0） ， （8，0）3.（2002 京皖春，3）已知椭圆的焦点是 F1、F 2，P 是椭圆上的一个动点如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ| PF2|，那么动点 Q 的轨迹是（ ）A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线4.（2002 全国文，7）椭圆 5x2ky 25 的一个焦点是（0 ，2） ，那么 k 等于（ ）A.1 B.1 C. D. 55.（2002 全国文，11）设 （0， ） ，则二次曲线 x2cot y 2tan 1 的离心率的取值范围为（ ）4A.（0， ） B.（ ）21,1C.（ ） D.（ ，）, 26.（2002 北京文，
3、10）已知椭圆 和双曲线 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线253nymx23nymx方程是（ ）2 / 52A.x B.yy215x215C.x D.y43437.（2002 天津理，1）曲线 （ 为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）sincoyxA. B. C.1 D.22 28.（2002 全国理，6）点 P（1，0）到曲线 （其中参数 tR）上的点的最短距离为（ ）tyx2A.0 B.1 C. D.29.（2001 全国，7）若椭圆经过原点，且焦点为 F1（1，0） ，F 2（，0） ，则其离心率为（ ）A. B. C. D.4332 4110.（2001 广东、河南，
4、10）对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q，点 P（a，0）都满足|PQ|a| ，则 a 的取值范围是（ ）A.（，0） B.（，2 C.0，2 D.（0，2）11.（2000 京皖春，9）椭圆短轴长是 2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ）A. B. C. D.43543583412.（2000 全国，11）过抛物线 y=ax2（a0）的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q，则 等于（ ）1A.2a B. C.4a D.a2 a413.（2000 京皖春，3）双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）2
5、ybxA.2 B. C. D.32314.（2000 上海春，13）抛物线 y=x 2 的焦点坐标为（ ）3 / 52A.（0， ） B.（0， ） 41 41C.（ ，0） D.（ ，0）15.（2000 上海春，14）x= 表示的曲线是（ ）231yA.双曲线 B.椭圆C.双曲线的一部分 D.椭圆的一部分16.（1999 上海理，14）下列以 t 为参数的参数方程所表示的曲线中，与 xy=1 所表示的曲线完全一致的是（ ）A. B. 21tyx |1|tyxC. D.tseco txcoan17.（1998 全国理，2）椭圆 =1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上.如果线段 PF
6、1 的中点在 y 轴上，那312yx么|PF 1|是 |PF2|的（ ）A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍18.（1998 全国文，12）椭圆 =1 的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上，312yx那么点 M 的纵坐标是（ ）A. B. C. D.4324319.（1997 全国，11）椭圆 C 与椭圆 ，关于直线 x+y=0 对称，椭圆 C 的方程是（ ）4)(9)3(2yxA. B.19)3(4)2(2yx 19)3()(22C. D.)()(22 )(4)(22yx20.（1997 全国理，9）曲线的参数方程是 （t 是参数，t 0
7、） ，它的普通方程是（ ）21y4 / 52A.（x1） 2（y1）1 B.y 2)1(xC.y D.y 1)(2221.（1997 上海）设 （ ， ） ，则关于 x、y 的方程 x2csc y 2sec =1 所表示的曲线是（ ）43A.实轴在 y 轴上的双曲线 B.实轴在 x 轴上的双曲线C.长轴在 y 轴上的椭圆 D.长轴在 x 轴上的椭圆22.（1997 上海）设 k1，则关于 x、y 的方程（1k）x 2+y2=k21 所表示的曲线是（ ）A.长轴在 y 轴上的椭圆 B.长轴在 x 轴上的椭圆C.实轴在 y 轴上的双曲线 D.实轴在 x 轴上的双曲线23.（1996 全国文，9）中
8、心在原点，准线方程为 x=4，离心率为 的椭圆方程是（ ）2A. 1 B. 1342yx32yC. y 21 D.x2 1424.（1996 上海，5）将椭圆 1 绕其左焦点按逆时针方向旋转 90，所得椭圆方程是（ ）925yxA. B.9)4(2)(yx 19)4(25)(2yxC. D.15)()(2 )()(225.（1996 上海理，6）若函数 f（x ） 、g（x）的定义域和值域都为 R，则 f（x）g（x） （xR ）成立的充要条件是（ ）A.有一个 xR ，使 f（x）g（x）B.有无穷多个 xR，使得 f（x）g（x）C.对 R 中任意的 x，都有 f（x）g（x）+1D.R
9、中不存在 x，使得 f（x）g（x）26.（1996 全国理，7）椭圆 的两个焦点坐标是（ ）sin51co3yA.（3，5） ， （3，3） B.（3，3） ， （3，5）C.（1，1） ， （7，1） D.（7，1） ， （1，1）27.（1996 全国文，11）椭圆 25x2150x+9y 2+18y+9=0 的两个焦点坐标是（ ）A.（3，5） ， （3，3） B.（3，3） ， （3，5）C.（1，1） ， （7，1） D.（7，1） ， （1，1）5 / 5228.（1996 全国）设双曲线 =1（0ab）的半焦距为 c，直线 l 过（a，0） ， （0，b）两点.已知原点2yx到
10、直线 l 的距离为 c，则双曲线的离心率为（ ）43A.2 B. C. D.23229.（1996 上海理，7）若 0， ，则椭圆 x2+2y22 xcos +4ysin =0 的中心的轨迹是（ ）30.（1995 全国文 6，理 8）双曲线 3x2y 23 的渐近线方程是（ ）A.y=3x B.y x1C.y x D.y 331.（1994 全国，2）如果方程 x2ky 22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（ ）A.（0，） B.（0，2） C.（1，） D.（0，1）32.（1994 全国，8）设 F1 和 F2 为双曲线 y21 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且
11、满足F 1PF290，4则F 1PF2 的面积是（ ）A.1 B. C.2 D.25533.（1994 上海，17）设 a、b 是平面 外任意两条线段，则“a、b 的长相等”是 a、b在平面 内的射影长相等的（ ）A.非充分也非必要条件 B.充要条件C.必要非充分条件 D.充分非必要条件34.（1994 上海，19）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程是 y=cosx，现在平移坐标系，把原点移到 O（， ） ，则在坐标系 x Oy中，曲线 C 的方程是（ ）2A.y=sinx+ B.y= sin x+226 / 52C.y=sin x D.y=sinx22二、填空题35.（2003 京春
12、，16）如图 81，F 1、F 2 分别为椭圆 =1 的左、右焦点，点 P2bya在椭圆上，POF 2 是面积为 的正三角形，则 b2 的值是_.336.（2003 上海春，4）直线 y=x1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中点坐标是_.37.（2002 上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为 F1（1，0） ，F 2（5，0） ，长轴的长为10，则椭圆的方程为 38.（2002 京皖春，13）若双曲线 1 的渐近线方程为 y x，则双曲线的焦点坐标是 m24339.（2002 全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦
13、点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1） 能使这抛物线方程为 y210x 的条件是 （要求填写合适条件的序号）40.（2002 上海文，8）抛物线（y1） 24（x1）的焦点坐标是 41.（2002 天津理，14）椭圆 5x2ky 25 的一个焦点是（ 0，2） ，那么 k 42.（2002 上海理，8）曲线 （t 为参数）的焦点坐标是_.y43.（2001 京皖春，14）椭圆 x24y 24 长轴上一个顶点为 A，以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 44.（2001 上海，3）设 P 为双曲线 y21 上
14、一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是 45.（2001 上海，5）抛物线 x24y30 的焦点坐标为 46.（2001 全国，14）双曲线 1 的两个焦点为 F1、F 2，点 P 在双曲线上，若 PF1PF 2，则点 P 到69x 轴的距离为 .47.（2001 上海春，5）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0） ，焦距为 10，则它的标准方程为_.48.（2001 上海理，10）直线 y=2x 与曲线 （ 为参数）的交点坐标是_.22cosinyx49.（2000 全国，14）椭圆 1 的焦点为 F1、F 2，点 P 为其上的动点，当F 1PF2 为钝角时，点
15、 P 横49图 817 / 52坐标的取值范围是_.50.（2000 上海文，3）圆锥曲线 1 的焦点坐标是_.96)(2yx51.（2000 上海理，3）圆锥曲线 的焦点坐标是_.tan3sec4y52.（1999 全国，15）设椭圆 =1（ab0）的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1 且垂直于 x 轴的弦2x的长等于点 F1 到 l1 的距离，则椭圆的离心率是 .53.（1999 上海 5）若平移坐标系，将曲线方程 y2+4x4y4=0 化为标准方程，则坐标原点应移到点 O ( ) .54.（1998 全国，16）设圆过双曲线 =1 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到
16、双曲1692x线中心的距离是 .55.（1997 全国文，17）已知直线 xy=2 与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点，那么线段 AB 的中点坐标是_.56.（1997 上海）二次曲线 （ 为参数）的左焦点坐标是_.sin3co557.（1996 上海，16）平移坐标轴将抛物线 4x28xy 50 化为标准方程 x 2ay （a0） ，则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是 58.（1996 全国文，16）已知点（2，3）与抛物线 y2=2px（p0）的焦点的距离是 5，则 p=_.59.（1996 全国理，16）已知圆 x2+y26x 7=0 与抛物线 y2=2px（p0）的准线相切，则
17、 p=_.60.（1995 全国理，19）直线 L 过抛物线 y2a（x+1） （a0）的焦点，并且与 x 轴垂直，若 L 被抛物线截得的线段长为 4，则 a= .61.（1995 全国文，19）若直线 L 过抛物线 y24（x+1）的焦点，并且与 x 轴垂直，则 L 被抛物线截得的线段长为 .62.（1995 上海，15）把参数方程 （ 是参数）化为普通方程，结果是 1cosin63.（1995 上海，10）双曲线 =8 的渐近线方程是 .9822yx64.（1995 上海，14）到点 A（1，0）和直线 x=3 距离相等的点的轨迹方程是 .65.（1994 全国，17）抛物线 y284x
18、的准线方程是 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 66.（1994 上海，7）双曲线 x 2=1 的两个焦点的坐标是 .三、解答题67.（2003 上海春，21）设 F1、F 2 分别为椭圆 C： =1（ab0）的左、右两个焦点.28yx8 / 52（1）若椭圆 C 上的点 A（1， ）到 F1、F 2 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；3（2）设点 K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 F1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM
19、、k PN 时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.2byax68.（2002 上海春，18）如图 82，已知 F1、F 2 为双曲线 （a0，b0）的12yx焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且PF 1F230求双曲线的渐近线方程69.（2002 京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是 F1（4，0） 、F 2（4，0） ，过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B，且|F 1B| F2B|10椭圆上不同的两点 A（x 1，y 1） 、C（x 2，y 2）满足条件：|F2A|、| F2B|、
20、|F 2C|成等差数列（）求该椭圆的方程；（）求弦 AC 中点的横坐标；（）设弦 AC 的垂直平分线的方程为 ykxm ，求 m 的取值范围70.（2002 全国理，19）设点 P 到点 M（1，0） 、N（1，0）距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴距离之比为 2求m 的取值范围71.（2002 北京，21）已知 O（0，0） ，B（1，0） ，C（b，c）是OBC 的三个顶点如图 83.（）写出OBC 的重心 G，外心 F，垂心 H 的坐标，并证明 G、F、H 三点共线；（）当直线 FH 与 OB 平行时，求顶点 C 的轨迹72.（2002 江苏，20）设 A、B 是双曲线 x2 1 上的
21、两点，点 N（1，2）是线段 ABy的中点（）求直线 AB 的方程；（）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点，那么 A、B、C、D 四点是否共圆，为什么?73.（2002 上海，18）已知点 A（ ，0）和 B（ ，0） ，动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为332，点 C 的轨迹与直线 y=x 2 交于 D、E 两点，求线段 DE 的长74.（2001 京皖春，22）已知抛物线 y22px（p0）.过动点 M（a，0）且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B，|AB|2p.（）求 a 的取值范围；（）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N
22、，求NAB 面积的最大值.75.（2001 上海文，理，18）设 F1、F 2 为椭圆 1 的两个焦点，P 为椭圆上的一点已知 P、F 1、F 2492y是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|PF 2|，求 的值|2176.（2001 全国文 20，理 19）设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，图 82图 839 / 52点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴.证明直线 AC 经过原点 O.77.（2001 上海春，21）已知椭圆 C 的方程为 x2+ =1，点 P（a，b）的坐标满足 a2+ 1，过点 P 的直yb线 l 与椭圆交于 A
23、、B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点，求：（1）点 Q 的轨迹方程；（2）点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数 .78.（2001 广东河南 21）已知椭圆 +y2=1 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交x于 A、B 两点，点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴.求证：直线 AC 经过线段 EF 的中点.79.（2000 上海春，22）如图 84 所示，A、F 分别是椭圆 1 的一2)(16)(xy个顶点与一个焦点，位于 x 轴的正半轴上的动点 T（t，0 ）与 F 的连线交射影 OA 于 Q求：（1）点 A、F 的坐标及直线 TQ 的方程；（2）OT
24、Q 的面积 S 与 t 的函数关系式 S=f（t ）及其函数的最小值；（3）写出 S=f（ t）的单调递增区间，并证明之80.（2000 京皖春，23）如图 85，设点 A 和 B 为抛物线 y24px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线81.（2000 全国理，22）如图 86，已知梯形 ABCD 中，|AB| 2|C| ，点 E 分有向线段 所成的比为 ，AC双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当 时，求双曲线离心率 e 的取值范围324图 85 图 86 图 8782.（2000 全国文，22）如图 87，已知梯形
25、ABCD 中|AB| 2|CD|，点 E 分有向线段 所成的比为 ，双AC18曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点求双曲线离心率83.（2000 上海，17）已知椭圆 C 的焦点分别为 F1（ ，0）和 F2（2 ，0） ，长轴长为 6，设直线2y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标84.（1999 全国，24）如图 88，给出定点 A（a，0） （a0）和 直线 l：x=1.B 是直线 l 上的动点，BOA 的角平分线交 AB 于点 C.求点 C 的轨迹方程， 并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系.注：文科题设还有条件 a185.（1999 上海，2
26、2）设椭圆 C1 的方程为 =1（ab0） ，2yx曲线 C2 的方程为图 84图 8810 / 52y= ，且 C1 与 C2 在第一象限内只有一个公共点 P.x（）试用 a 表示点 P 的坐标.（）设 A、B 是椭圆 C1 的两个焦点，当 a 变化时，求ABP 的面积函数 S（a）的值域；（）设 miny 1，y 2， yn为 y1，y 2，y n 中最小的一个.设 g（a）是以椭圆 C1 的半焦距为边长的正方形的面积，求函数 f（a）=ming（a） ，S（a） 的表达式.86.（1998 全国理，24）设曲线 C 的方程是 y=x3x，将 C 沿 x 轴、y 轴正向分别平行移动 t、s
27、 单位长度后得曲线 C1.（）写出曲线 C1 的方程；（）证明曲线 C 与 C1 关于点 A（ ）对称；2,st（）如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点，证明 s= t 且 t0.4387.（1998 全国文 22，理 21）如图 89，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l 1l 2，点Nl 1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若AMN 为锐角三角形，| AM|=，| AN|=3，且| BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程.788.（1998 上海理，20） （1）动直线 y=a 与抛物线 y2= （x2）相交于 A 点，
28、动点 B 的坐标是（0，3a） ，求1线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程；（2）过点 D（2，0）的直线 l 交上述轨迹 C 于 P、Q 两点，E 点坐标是（1，0） ，若EPQ 的面积为 4，求直线 l 的倾斜角 的值.89.（1997 上海）抛物线方程为 y2=p（x+1） （p0） ，直线 x+y=m 与 x 轴的交点在抛物线的准线的右边.（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为 Q、R，OQOR ，求 p 关于 m 的函数 f（m）的表达式；（3） （文）在（2）的条件下，若抛物线焦点 F 到直线 x+y=m 的距离为 ，求此直线的方程；2（理）在（2）的条件下，若 m 变化，使得原点 O 到直线 QR 的距离不大于 ，求 p 的值的范围.90.（1996 全国理，24）已知 l1、l 2 是过点 P（ ，0）的两条互相垂直的直线，且 l1、l 2 与双曲线2y2x 21 各有两个交点，分别为 A1、B 1 和 A2、B 2.（）求 l1 的斜率 k1 的取值范围；图 89
