1、 1【经典例题】【例 1】 （2012 湖北）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A1- B - C D 2 12 1 2 1 【答案】A【解析】令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为 S1，围成 OC 为 S2，作对称轴 OD，则过 C 点S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面积，S 2= ( )2- = 在扇形 OAD 中 为扇 2 12 12 12 12 -28 S12 形面积减去三角形 OAC 面积和 ， = 1 2- - = ，S 1+S2= ，扇
2、形 OAB 面积 S22 S12 18 18 S22 -216 -24 S= ，选 A 4 【例 2】 （2013 湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)( )A. B. C. D. 126125 65 168125 75【答案】B【解析】X 的取值为 0，1，2，3 且 P(X0) ，P(X1) ，P(X2) ，P(X3) ，故 E(X)027125 54125 36125 81251 2 3 ，选 B.27125 54125 36125 8125 65【例 3】
3、（2012 四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( )A. B. C. D. 14 12 34 78【答案】C【解析】设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮， 由题意 满足条件0 x 4，0 y 4， )2的关系式为2xy2.根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为 16 平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为 12 平方单位，故概率为 .1216 34【例 4
4、】 （2009 江苏）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 【答案】0.2【解析】从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2【例 5】 （2013 江苏）现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7 ，n9)可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为_【答案】2063【解析】基本事件共有 7963 种，m 可以取 1，3，5，7
5、，n 可以取 1，3，5，7，9.所以 m，n 都取到奇数共有 20种，故所求概率为 .2063【例 6】 （2013 山东）在区间3，3 上随机取一个数 x，使得 |x1|x2|1 成立的概率为_【答案】13【解析】当 x2 时，不等式化为 x1x21，此时恒成立，|x1|x2|1 的解集为 .在1， )上使不等式有解的区间为 ，由几何概型的概率公式得 P . 3， 3 1， 33 13 （ 3） 13【例 7】 （2013 北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3
6、 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留2 天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设 X 是此人停留 期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【答案】 ； ；3 月 5 日213 1213【解析】设 Ai 表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i1，2，13)根据题意，P(Ai) ，且 AiAj(ij) 113（1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染” ，则 BA5A8.3所以 P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8) .213（2）由题意可知，X 的所有可能取值为
7、0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7 A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11) ，413P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13) ，413P(X0)1P(X1)P(X2) .513所以 X 的分布列为X 0 1 2P 513 413 413故 X 的期望 E(X)0 1 2 .513 413 413 1213（3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大【例 8】 （2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可23以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以获得 3 分；未中
8、奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖25中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求 X3 的概率；（2）若 小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】 ；方案甲1115【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响记“这 223 25人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 的对立事件为“X5” ，因为 P(X5) ，所以 P(A)1P(X5) ，23 25 415 1115即这两人的累计得分 X
9、3 的概率为 .1115（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2)由已知可得，X1B ，X2B ，(2，23) (2， 25)所以 E(X1)2 ，E(X2)2 ，23 43 25 45从而 E(2X1)2E(X1) ，E(3X2)3E(X2) .83 1254因为 E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大方法二：（1）由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影响23 25记“这
10、两人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 包含有“X0” “X2” “X3”三个两两互斥的事件，因为 P(X0) ，P(X2) ，P(X3) ，(123) (1 25) 15 23 (1 25) 25 (1 23) 25 215所以 P(A)P(X0)P(X2)P(X3) ，1115即这两人的累计得分 X3 的概率为 .1115（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为 X2，则 X1，X2 的分布列如下：X1 0 2 4P 19 49 49所以 E(X1)0 2 4 ，19 49 49 83E(X2)0 3 6 .925 1225 425 1
11、25因为 E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大【例 9】 （2013 浙江）设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分（1）当 a3，b2，c 1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随机变量 为取出此2 球所得分数之和，求 的分布列；（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等 )1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E ，D ，求53 59abc.【答案】321【解析】 （1）由题意得，2，3，4，5，6.P(2) ，3366 14P(
12、3) ，23266 13P(4) .231 2266 518P(5) ，22166 19P(6) ，1166 136所以 的分布列为X2 0 3 6P 925 1225 4255 2 3 4 5 6P 14 13 518 19 136（2）由题意知 的分布列为 1 2 3P aa b c ba b c ca b c所以 E ，aa b c 2ba b c 3ca b c 53D1 2 2 2 3 2 ，53 aa b c 53 ba b c 53 ca b c 59化简得 解得 a3c，b2c，2a b 4c 0，a 4b 11c 0， )故 abc321.【例 10】 （2009 北京理）某
13、学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 3，遇到红灯时停留的时间都是 2min.（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望.【答案】 ；478【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A 的概率
14、为1143327P.（2）由题意，可得 可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）.事件“ 2k”等价于事件“该学生在路上遇到 k次红灯” （ k0，1，2，3，4） ，4410,12343kkPC，即 的分布列是0 2 4 6 8P1683817116 的期望是1632818046873E.【课堂练习】1.（2013 广东）已知离散型随机变量 X 的分布列为X 1 2 3P 35 310 110则 X 的数学期望 E(X)( )A. B2 C. D332 522.（2013 陕西）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE
15、 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A1 B 1 B2 D4 2 2 43在棱长分别为 1，2，3 的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于 3 的概率为( )A B C D47 37 27 3144 （2009 安徽理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A 175 B 275 C 375 D 755.（2009 江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品
16、厂制作了 3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品 5袋，能获奖的概率为（ ）A 18 B 381 C 481 D 501 . 6.（2009 辽宁文）ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为A 4 B 4 C 8 D 8 ABC DEF77.（2009 上海理）若事件 E与 F相互独立，且 14PEF，则 PEFI的值等于A 0 B 16 C 14 D 28 （2013 广州）在区间1，5和2，4 上分别取一个数，记为 a，b，则方程 1 表示焦点在 x 轴上且
17、离心率小x2a2 y2b2于 的椭圆的概率为( )32A B C D12 1532 1732 31329已知数列a n满足 ana n1 n1(n2，nN )，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a，b，c，则满足集合a ，b，ca 1，a 2，a 3(1ai6，i1，2，3)的概率是( )A B C D172 136 124 11210.（2009 湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是 0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。11.（2013 新课标
18、全国）从 n 个正整数 1，2，3，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 ，则 n_11412.（2013 福建）利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a 10”发生的概率为_13.（2013 辽宁）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个 班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_14在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 C，并以线段 AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于 25 cm2 与 49 cm2之间的概率为_15.（2013
19、全国）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果相互独立，第 1 局甲当裁判12（1）求第 4 局甲当裁判的概率；.（2）X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望16.（2013 辽宁）现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答（1）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；（2）已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的35概率都是 ，且各题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题的个
20、数，求 X 的分布列和数学期望4517.（2013 江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以 O 为起点，再从A1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图 15) 这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 X.若 X0 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求 X 的分布列和数学期望8图 1518.（2013 天津）一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1，2，3，4；白色卡片 3 张，编号分别为 2，3，4.从盒子中任取 4 张卡片（假设取到任何
21、一张卡片的可能性相同） （1）求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率；（2）在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望19.（2013 重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下表， 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额一等奖 3 红 1 蓝 200 元二等奖 3 红 0 蓝 50 元三等奖 2 红
22、1 蓝 10 元（1）求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E(X)20.（2013 安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责已知该系共有 n 位学生，每次活动均需该系 k 位学生参加(n 和 k 都是固定的正整数) 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生，且所发信息都能收到记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 X.（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使 P(Xm)取得最大值的整数 m. 【课后作业】1
23、.（2009 江西文）甲、乙、丙、丁 4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这 4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为A 16 B 1 C 13 D 122.（2009 广东文）广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以 A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A B21 C22 D23 20.3 （2009 安徽文）考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个
24、三角形全等的概率等于 A1 B C D 0 . ABC DEF94在长为 3m 的线段 上任取一点 , 则点 与线段两端点 、 的距离都大于 1m 的概率是ABPABA B. C D11312235在棱长为 2 的正方体 中，点 为底面 的中心，在正方体 内随机取1DOC1ABCD一点 ，则点 到点 的距离大于 1 的概率为POA B C D126166甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是A甲 B 乙 C 丙 D丁7.（2008 山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1，2，3，18 的 18
25、名火炬手.若从中任选 3 人，则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为（ ）A B C D516810640818.（2008 江西）电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为（ ）A B C D802139.（2009 山东理）在区间-1，1 上随机取一个数 x， cos2的值介于 0 到 21之间的概率为( ).A 31 B C D 3 10.（2010 湖北理）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A，B 中至少
26、有一件发生的概率是（ ）A B C D 51212712411.（2009 安徽）从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_12如图， 两点之间有 4 条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为,1，2，3，4.从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是 13、 （2009 广东）某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（15 号，610 号，196200甲 乙 丙 丁平均环数 x8.98.2方差
27、 2s35156AB1234图 3图10号）.若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是 ，若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取 人. 14某校高三级要从3名男生 和2名女生 中任选3名代表参加学校的演讲比赛.cba、 ed、（1）求男生 被选中的概率； a（2）求男生 和女生 至少有一人被选中的概率 . d15.（2013 湖南）某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示：（这里
28、，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米）.（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望16某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人视觉记忆能力 视觉 偏低 中等 偏高 超常偏低 0 7 5 1中等 1 8 3 b偏高 2 a0 1听觉记忆能力 超常 0 2 1 1由于部分数据丢失，只知道从这 40 位学生中随机抽取一个，视觉记
29、忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 25（1）试确定 、 的值； ab（2）从 40 人中任意抽取 1 人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率 17.（2013 新课标全国卷）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n4.再从这批产品中任取 1 件作检验；若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相12互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为 100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元 )，求 X 的分布列及数学期望18.（2013 山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独立12 23（1）分别求甲队以 30，31，32 胜利的概率；X 1 2 3 4Y 51 48 45 42听觉
