1、高一数学必修一专题复习第 - 1 -页 /共 58 页北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解第一章 集合与函数概念知识架构第一讲 集合集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念高一数学必修一专题复习第 - 2 -页 /共 58 页知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的 3 种表示方法：列举法 、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言 符号语言属于 不属于 4.常见集合的符
2、号表示数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集符号 N或ZQRC二： 集合间的基本关系表示关系 文字语言 符号语言相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同BA且 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素或 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一元素不是A 的元素空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A， B（ ）三：集合的基本运算两个集合的交集: B= xB且 ;两个集合的并集: A= 或 ;设全集是 U,集合 U,则 CxUA且交 并 补|,ABxB且 |,AxB或 UCxA且高一数学必修一专题复习第 - 3 -页 /共 58 页
3、方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如 )(xfy、 )(xfy、 )(),xfy等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合21,1
4、,9432MN则 MN=（ ） A. ；B. ),0(3；C. ,；D. ,错解 误以为集合 表示椭圆 1492yx，集合 表示直线 123yx，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选 B正解 C； 显然 3xM， RN，故 ,M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。3集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即 A（2）任何集合都是它本身的子集，即（3）子集、真子集都有传递性，即若 B， C，则 A4集合的运算性质（1）交集： AB； ； ； B，BA ；高一数学必修一专题复习第 - 4 -页 /共 58 页（2）并集
5、： AB； ； A； B，BA ；（3）交、并、补集的关系 CU； U )()()(BCA； )()()(BCAU热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型 1：集合元素的基本特征例 1（2008 年江西理）定义集合运算： |,ABzxyAB设,20,AB，则集合 的所有元素之和为（ ）A0 ；B 2；C3；D6解题思路 根据 的定义，让 x在 中逐一取值，让 y在 中逐一取值， xy在值就是的元素解析 ：正确解答本题, 必需清楚集合 AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=420，故应选择 D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要
6、充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型 2：集合间的基本关系例 2数集 ZnX,)12(与 ZkY,)14(之的关系是（ ）A Y；B ； C X；D 解题思路 可有两种思路：一是将 和 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集 与 之间必然有关系，如果 A 成立，则 D 就成立，这不可能；同样，B 也不能成立；而如果 D 成立，则 A、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是 C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。新题导练 1第二十九届
7、夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A=参加北京奥运会比赛的运动员，集合 B=参加北京奥运会比赛的男运动员，集合 C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（ ）A B B. C C. CBA D. A解析 D；因为全集为 ，而 =全集=2 (2006山东改编）定义集合运算: Byxy,z2,设集合1,0, 3,2,则集合 的所有元素之和为 解析18，根据 的定义，得到 1,60，故 的所有元素之和为 18高一数学必修一专题复习第 - 5 -页 /共 58 页3 (2007湖北改编）设 P和 Q是两个集合，定义集合 QPQx且,| ，如果1log3
8、xP， 1x,那么 等于 解析 ；因为 )3,0(log3， )1,(x，所以),(Q4研究集合 42xyA， 42xyB， 4),(2xyC之间的关系解析 与 C， B与 都无包含关系，而 A；因为 表示2xy的定义域，故 R； 2xy表示函数 2xy的值域，),4； 4),(2xy表示曲线 4上的点集，可见， BA，而A与 C， B与 都无包含关系考点二：集合的基本运算例 3 设集合 0232x， 0)5()1(22axxB（1 ） 若 ，求实数 a的值；（2 ）若 AB，求实数 的取值范围若 A，解题思路 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析 因为
9、 2,1032x，（1 ）由 BA知， ，从而得 0)5()142a，即0342a，解得 1a或 3当 时， 2,042x，满足条件；当 时， B，满足条件所以 1a或 3（2 ）对于集合 ，由 )3(8)5(4)1(2aa因为 AB，所以 当 0，即 3时， B，满足条件；当 ，即 a时， 2，满足条件；高一数学必修一专题复习第 - 6 -页 /共 58 页当 0，即 3a时， 2,1AB才能满足条件，由根与系数的关系得 75521)(2a，矛盾故实数 a的取值范围是 3a【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集
10、合本身和空集这两种特殊情况.新题导练 6若集合 RxyS,3， RxyT,12，则 TS是（ ）A. ；B. T； C.；D. 有限集解析 A；由题意知，集合 xyS,3表示函数 xy,3的值域，故集合 ),0(S； R12表示函数 R12的值域，1T，故 T7已知集合 2),(yxM， 4),(yxN，那么集合 NM为（ ）A. ,3yx；B. 13；C. ,；D. 13解析D； N表示直线 yx与直线 yx的交点组成的集合，A、B、C 均不合题意。8集合 |10Axa, 2|30B,且 ,求实数 a的值.解析 0,2；先化简 B 得, ,.由于 AB,故 1或 2A.因此 或 ,解得 1a
11、或 2.容易漏掉的一种情况是: A的情形, 此时 0.故所求实数 a的值为 0,12.备选例题 1：已知 xyM， 1),(2yxN，则 NM中的元素个数是（ ）A. 0；B. ；C. ；D.无穷多个解析 选 A;集合 表示函数 1xy的值域,是数集, 并且 R,而集合 表示满足12yx的有序实数对的集合,即表示圆 12y上的点,是点集。所以，集合 与集高一数学必修一专题复习第 - 7 -页 /共 58 页合 N中的元素均不相同，因而 NM，故其中元素的个数为 0误区分析 在解答过程中易出现直线 1xy与圆 12y有两个交点误选 C；或者误认为 1xy中 R，而 2x中 ，从而 ,NM有无穷多
12、个解而选 D。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。备选例题 2：已知集合 A和集合 B各有 12 个元素， BA含有 4 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 C的个数：() ，且 中含有 3 个元素；() （ 表示空集）解法一因为 、 各有 12 个元素， 含有 4 个元素，因此， BA的元素个数是 201故满足条件()的集合 的个数是 3C上面集合中，还满足 A的集合 的个数是 38因此，所求集合 C的个数是 43820解法二由题目条件可知，属于 B而不属于 A的元素个数是 8412因此，在 B中只含有 中 1 个元素的所要求的集合 C的个数为
13、 21含有 A中 2 个元素的所要求的集合 C的个数为 182含有 中 3 个元素的所要求的集合 的个数为 3所以，所求集合 C的个数是 0412821812抢分频道基础巩固训练：1 （09 年吴川市川西中学 09 届第四次月考）设全集R,(3)0,1UAxBx, 则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A 0；B ；C 3x；D 1x解析 C；图中阴影部分表示的集合是 A，而 0，故13x2. （韶关 09 届高三摸底考）已知 2(1),logxBx 则 AB=A (0,1)；B (,2)；C )0,(；D ,0解析 A；因为 x， xB，所以 10xA3. （苏州 09 届高三调研考）集合 1
14、,的所有子集个数为 解析 8；集合 1,0的所有子集个数为 8234.（09 年无锡市高三第一次月考）集合 A中的代表元素设为 x，集合 B中的代表元素设为y，若 Bx且 y，则 与 B的关系是 UBA高一数学必修一专题复习第 - 8 -页 /共 58 页解析 AB 或 ；由子集和交集的定义即可得到结论5(2008 年天津)设集合 RTSaxTxS ,8|,32| ，则 a的取值范围是（ ）A 13a；B 1a C 或 ；D 或解析 A； 532|xxS或 ， 8|ax， S所以 58a，从而得 综合提高训练：6 01mP, 恒 成 立对 于 任 意 实 数 xmxRQ042则下列关系中立的是
15、( ) A ; B P;C ;D P解析A；当 0时，有 0)4()4(2，即1mRQ；当 0时， mx也恒成立，故，所以 PQ7.设 )(2)(Nnf， 5,4321， 7,6543，记nP， nf)(，则 )()(PCQPNN( )A. 3,0; B. ,1; C. ,; D. ,解析 A；依题意得 20P， 3,1Q，所以 0)(N，)(CQN，故应选 A8 （09 届惠州第一次调研考）设 A、B 是非空集合，定义ABxx且，已知 A= 2|xyx，B= |2,0xy，则 AB 等于（ ）A 0,；B 0,12,；C 0,1,；D 0,1(,)解析 D； 2xx，A=0，2， 2x，B=
16、（1，） ，AB=0, ） ，AB=（1，2，则 AB ,(,)高一数学必修一专题复习第 - 9 -页 /共 58 页第 2 讲 函数与映射的概念知识梳理1函数的概念(1)函数的定义：设 BA、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的每一个数 x，在集合 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 到 B的一个函数，通常记为 xfy),(2)函数的定义域、值域在函数 Af),(中， x叫做自变量， x的取值范围 A叫做 )(xfy的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做函数值， 函数值的集合 f)(称为函数 的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2映射的概
17、念设 BA、 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 到 B的映射，通常记为f:重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题 1：已知函数 )(xfy的定义域为 ba， ，求 )2(xfy的定义域误解因为函数 的定义域为 ， ，所以 b，从而 2bxa故 )2(xfy的定义域是 2,正解因为 f的定义域为 ba， ，所以在函数 )2(xfy中， x，
18、从而 bxa，故 )(xfy的定义域是 ,ba即本题的实质是求 2中 的范围问题 2：已知 )(fy的定义域是 b， ，求函数 )(xfy的定义域误解因为函数 x的定义域是 a， ，所以得到 ba2，从而高一数学必修一专题复习第 - 10 -页 /共 58 页2bxa，所以函数 )(xfy的定义域是 2,ba正解因为函数 )(xfy的定义域是 ， ，则 x，从而 2bxa所以函数 )的定义域是 2,ba即本题的实质是由 求 的范围即 )(xf与 )2f中 x含义不同2 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为） “二次函数型” 的函数常用配方法，如求函数4cossin2xy，可变为 2)
19、1(cos4cs2sinxxy 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 )3(lg21就是利用函数 u21log和 32的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 212xy的值域由 22xy得 01)(yxy，若 ，则得 ，所以0是函数值域中的一个值；若 ，则由 0)1(4)1(22yy得0213213yy且，故所求值域是 3,3（4）分离常数法：常用来求“分式型” 函数的值域。如求函数 1cos2xy的值域，因为1cos51cos3xxy，而 2,0(1cosx，所以 25,(5，故2,(（5）利用基本不等式求值域：如求函数 432xy的值域当 0x时， y；当 0x时， ，若 0，则 424xx若 x，则 4)(2)4( xxx ，从而得所求值域是 43,（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数 )2,1(2xy的值域因 )14(283xxy，故函数 4x在 (上递减、
