1、21.1 二次根式知识点1.二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。因此，一般地，我们把形如 （a0）的式子叫做二次根式， “ a”称为二次根号。 二次根式 的特点：a（1）在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。（2）被开方数 a0，即必须是非负数。（3）a 可以是数，也可以是式。（4）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。2.二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。3.二次根式的相关等式： (a 0) a2)0(2aa相关例题1.二次根式的概念例题一： 下列各式中 ， 二次根式14,20
2、,1,31522 mbab的个数是（）考点： 二次根式的概念 分析： 二次根式的被开方数应为非负数，找到根号内为非负数的根式即可解答： 解：3a， 有可能是负数，-144 是负数不能作为二次根式的被开方12b数，所以二次根式的个数是 3 个。点评： 本题考查二次根式的概念，注意利用一个数的平方一定是非负数这个知识点变式一:下列各式中， ， ， ， ， ， 一定是azy6a32962x12x二次根式的有()个。解：被开方数 a 有可能是负数，不一定是二次根式； 被开方数 y+z 有可能是负数，不一定是二次根式； 被开方数 一定是非负数，所以一定是二次根式； 6被开方数 一定是正数，所以一定是二次
3、根式； 32a被开方数 一定是非负数，所以一定是二次根式； 22)(96xx被开方数 有可能是负数，不一定是二次根式； 一定是二次根式的有 312个，故选 C 点评： 用到的知识点为：二次根式的被开方数为非负数；一个数的偶次幂一定是非负数，加上一个正数后一定是正数2.二次根式中字母的取值范围的基本依据例题二：函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 _ 31x考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于0，列不等式即可求解 解答： 解：依题意，得 x30， 解得 x3 点评： 本题考查的是函数自变量
4、取值范围的求法函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数变式二：若式子 有意义，则 x 的取值范围是_ x1考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 分析： 根据二次根式及分式有意义的条件解答即可 解答： 解：根据二次根式的性质可知：x+10，即 x1， 又因为分式的分母不能为 0， 所以 x 的取值范围是 x1 且 x0 点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子 （a0）叫二次根式； a性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则
5、二次根式无意义； 当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零3.二次根式的相关等式例题三：对任意实数 a，则下列等式一定成立的是（ ） A B C D a2a2a2考点： 二次根式的性质与化简 专题： 计算题 分析： 根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断 解答： 解：A、a 为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a 为正数时不成立，故本选项错误； C、 ，故本选项错误 2D、故本选项正确 故选 D 点评： 本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键练习题 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、 、 、 （x0） 、23
6、1x02、当 x 是多少时， 在实数范围内有意义？33、当 x 是多少时， + 在实数范围内有意义？2x14、下列式子中，是二次根式的是（ ）A- B C Dx735下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B C D41681x6已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ）A5 B C D以上皆不对7形如_的式子叫做二次根式8面积为 a 的正方形的边长为_9负数_平方根10、计算1 （ ） 2（x0） 2 （ ） 2 3 （ ） 2 a21a4 （ ） 229课后作业1某工厂要制作一批体积为 1m3 的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要， 底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2当
7、x 是多少时， +x2 在实数范围内有意义？x3若 + 有意义，则 =_x32x4.使式子 有意义的未知数 x 有（ ）个2(5)A0 B1 C2 D无数 5.已知 a、b 为实数，且 +2 =b+4，求 a、b 的值5a1026、计算（1 ） （ ） 2 （2）-（ ） 2 （3） （ ） 2 （4） （-3 ） 29163(5) (23)(3)练习题与课后作业答案练习题 1、 解：二次根式有： 、 （x0） 、 、- 、 （x0，y0） ；2x02不是二次根式的有： 、 、 、 31x4y2、 解：由 3x-10 ，得：x ， 当 x 时， 在实数范围内有意义313x3、 解：依题意，得
8、201x由得：x- 32由得：x-1当 x- 且 x-1 时， + 在实数范围内有意义323x14 A 5D 6B7 （a0 ） 8 9没有a10、解：（1）因为 x0，所以 x+10（ ） 2=x+11x（2）a 20，（ ） 2=a2a（3）a 2+2a+1=（a+1） 2又（a+1） 20， a2+2a+10 ， =a2+2a+121a（4）4x 2-12x+9=（2x ） 2-22x3+32=（2x-3） 2又（2x-3） 204x 2-12x+90，（ ） 2=4x2-12x+92419x作业题1设底面边长为 x，则 0.2x2=1，解答：x= 52依题意得： ，30x3x当 x-
9、且 x0 时， x 2 在实数范围内没有意义3233. 134B5a=5，b=-46、 （ 1） （ ） 2=9 （2 ）-（ ） 2=-3 （3） （ ） 2= 6= 91643（4 ） （-3 ） 2=9 =6 (5)-6321.2 二次根式的乘除法知识点1.二次根式的乘法 )0,(baba,o2.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式： )0,(bab),(（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。3. 化简二次根式的步骤：（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。（2）应用 ba（3）将平方式（或平方数）应用 把这个因式（或因数）开出)0(2a来，将二次根式化简。相关例题
10、二次根式的乘法及其化简例 4计算（1） （2） （3） （4 ） 571927126分析：直接利用 （a0，b0）计算即可a解：（1） =573（2 ） = =391（3 ） = =927293（4 ） = =16变式四 化简（1 ） （2） （3）96168810（4 ） （5）xy4分析：利用 = （a0，b0 ）直接化简即可ab解：（1） = =34=12916（2） = =49=368（3） = =910=90 1010（4） = = =3xy29xy232xy32xy（5） = = =3626二次函数的除法及其化简例题五 计算：（1） （2 ） （3） （4 ）1318168分析：上
11、面 4 小题利用 = （a0，b0 ）便可直接得出答案b解：（1） = = =2 2314（2） = = =2838423（3 ） = = =2146164（4 ） = = =282变式五 化简：（1） （2） （3） （4）3642649ba296xy25169xy分析：直接利用 = （a0 ，b0 ）就可以达到化简之目的b解：（1） =3648（2） = 29ba23ba（3） = 264xy28xy（4） =25169xy2513xy练习题1计算 的结果是（ ） 1235A B C D2772272阅读下列运算过程：，132523分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_.1321210254已知 x=3，y=4，z=5 ，那么 的最后结果是_yzx5. 已知 ，且 x 为偶数，求（1+x） 的值96x2541x6. 观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：= = -1，12(21)2= = - ，3(3)322同理可得： = - ，143从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
