1、第 1 页（共 14 页）一元二次方程基础练习一选择题（共 10 小题）1如果关于 x 的方程（m3） x+3=0 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为（ ）A3 B3 C 3 D都不对2方程 3x24=2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A3，4， 2 B3，2， 4 C3， 2，4 D2，2，03若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2+ axa2=0 的一个根，则 a 的值为（ ）A1 或 4 B 1 或4 C1 或 4 D1 或 44方程（x1） 2=2 的根是（ ）A1， 3B1， 3 C ， D ，5一元二次方程 x26x5=0 配方可变形为（ ）A （x
2、3 ） 2=14 B （x 3） 2=4 C （x+3） 2=14 D （x+3） 2=46方程 x2x6=0 的解是（ ）Ax 1=3，x 2=2 Bx 1=3，x 2=2 C无解 Dx 1=6，x 2=17若关于 x 的一元二次方程方程（k1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk58一元二次方程 x24x=12 的根是（ ）Ax 1=2，x 2=6 Bx 1=2， x2=6 Cx 1=2，x 2=6 Dx 1=2，x 2=69某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的
3、百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是（ ）A560（1+x） 2=315 B560 （1 x） 2=315 C560（1 2x） 2=315 D560（1x 2）=31510某经济技术开发区今年一月份工业产值达 50 亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为 175 亿元，若设平均每月的增长率为 x，根据题意可列方程（ ）第 2 页（共 14 页）A50（1+x） 2=175 B50 +50（1+x） 2=175C50（1+x）+50（1+x） 2=175 D50+50（1+x）+50（1+x） 2=175二填空题（共 6 小题）11一元二次方程 x2
4、3x2=0 的解是_12若方程 x27x+12=0 的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是_13若一元二次方程 x2+4x+c=0 有两个不相等的实数根，则 c 的值可以是_（写出一个即可） 14已知 x1，x 2 是一元二次方程 x22x1=0 的两根，则 + =_15已知一元二次方程 x2+3x4=0 的两根为 x1、x 2，则 x12+x1x2+x22=_16用一条长 40cm 的绳子围成一个面积为 64cm2 的矩形设矩形的一边长为 xcm，则可列方程为_三解答题（共 7 小题）17解方程：2x 27x+3=018阅读下面的材料，回答问题：解方程 x45x
5、2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2=y，那么 x4=y2，于是原方程可变为 y25y+4=0 ，解得 y1=1，y 2=4当 y=1 时，x 2=1，x=1；当 y=4 时，x 2=4，x=2；原方程有四个根：x 1=1，x 2=1，x 3=2，x 4=2请你按照上述解题思想解方程（x 2+x） 24（x 2+x） 12=019欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为 50 元/件，原来售价为 110 元/ 件，每天可以出售 40 件，经市场调查发现每降价 1 元，一天可以多售出 2 件（1）若想每天出售 50 件，应降价多少元？（2）如果每天的利润要比原
6、来多 600 元，并使库存尽快地减少，问每件应降价多少元？（利润=销售总价 进货价总价）20先阅读后解题若 m2+2m+n26n+10=0，求 m 和 n 的值解：m 2+2m+1+n26n+9=0即（m+1） 2+（n3） 2=0第 3 页（共 14 页）（m+1） 20， （n3） 20（m+1） 2=0， （n 3） 2=0m+1=0，n3=0m=1，n=3利用以上解法，解下列问题：已知 x2+5y24xy+2y+1=0，求 x 和 y 的值21某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/ 件，并且两次降价的百分率相同（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该
7、种商品进价为 300 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次降价销售的总利润不少于 3210 元问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？22已知：如图，在 RtABC 中，B=90，AB=6cm ， BC=8cm，点 P 由点 A 出发沿 AB方向向点 B 匀速移动，速度为 1cm/s，点 Q 由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速移动，速度为 2cm/s，如果动点 P，Q 同时从 A，B 两点出发，几秒钟后，PBQ 的面积为 8cm223某商场销售一种名牌衬衣，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降低措施，经调查发
8、现，如果每件衬衣每降 4 元，商场平均每天可多售出 8 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衣应降价多少元？第 4 页（共 14 页）2016 年 09 月 24 日一元二次方程基础练习参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1 （2016德州校级自主招生）如果关于 x 的方程（m3） x+3=0 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为（ ）A3 B3 C 3 D都不对【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数据此即可得到 m27=2，m30，即可求得
9、m 的范围【解答】解：由一元二次方程的定义可知 ，解得 m=3故选 C【点评】要特别注意二次项系数 m30 这一条件，当 m3=0 时，上面的方程就是一元一次方程了2 （2016 春嵊州市校级期中）方程 3x24=2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A3，4， 2 B3，2， 4 C3， 2，4 D2，2，0【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且 a0） 在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项【解答】解：方程 3x24=2x 可变形为方程 3x2+2x4=0，
10、二次项系数是 3、一次项系数是 2、常数项是4，故选：B【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是首先把所给的方程化为ax2+bx+c=0 的形式，再找二次项系数、一次项系数、常数项第 5 页（共 14 页）3 （2016攀枝花）若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2+ axa2=0 的一个根，则 a 的值为（ ）A1 或 4 B 1 或4 C1 或 4 D1 或 4【分析】把 x=2 代入已知方程，列出关于 a 的新方程，通过解新方程可以求得 a 的值【解答】解：根据题意，将 x=2 代入方程 x2+ axa2=0，得：43aa2=0，即 a2+3a4=0，左边因式分解得：（
11、a1） （a+4）=0，a1=0，或 a+4=0，解得：a=1 或 4，故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根4 （2015诏安县校级模拟）方程（x 1） 2=2 的根是（ ）A1， 3B1， 3 C ， D ，【分析】根据平方根的定义首先开方，求得 x1 的值，进而求得 x 的值【解答】解：x1= x=1 故选 C【点评】运用直接开平方法解一元二次方程，就是根据平方根的定义把一元二次方程转化为一元一次方程求解5 （2016新疆）一
12、元二次方程 x26x5=0 配方可变形为（ ）A （x3 ） 2=14 B （x 3） 2=4 C （x+3） 2=14 D （x+3） 2=4【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上 32，这样方程左边就为完全平方式【解答】解：x 26x5=0，x26x=5，第 6 页（共 14 页）x26x+9=5+9，（x3） 2=14，故选：A【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以 a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半6 （2015 秋綦江区期末）方程 x2x6=0 的解是（ ）Ax 1=3，x
13、 2=2 Bx 1=3，x 2=2 C无解 Dx 1=6，x 2=1【分析】利用公式法即可求解【解答】解：a=1，b= 1，c= 6=1+24=250x=解得 x1=3，x 2=2；故选 B【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，对于公式正确记忆是解题关键7 （2016桂林）若关于 x 的一元二次方程方程（k 1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk5【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】
14、解：关于 x 的一元二次方程方程（k1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根， ，即 ，解得：k5 且 k1故选 B【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于 k 的一元一次不等式组本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键8 （2016沈阳）一元二次方程 x24x=12 的根是（ ）Ax 1=2，x 2=6 Bx 1=2， x2=6 Cx 1=2，x 2=6 Dx 1=2，x 2=6第 7 页（共 14 页）【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可【解答】解：方程整理得：x 24x
15、12=0，分解因式得：（x+2） （x6） =0，解得：x 1=2，x 2=6，故选 B【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键9 （2016呼伦贝尔）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是（ ）A560（1+x） 2=315 B560 （1 x） 2=315 C560（1 2x） 2=315 D560（1x 2）=315【分析】设每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格=降价前的价格（1降价的百分率） ，则第一次降价后的价格是
16、560（1x） ，第二次后的价格是 560（1 x） 2，据此即可列方程求解【解答】解：设每次降价的百分率为 x，由题意得：560（1x） 2=315，故选：B【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可10 （2016天门模拟）某经济技术开发区今年一月份工业产值达 50 亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为 175 亿元，若设平均每月的增长率为 x，根据题意可列方程（ ）A50（1+x） 2=175 B50 +50（1+x） 2=175C50（1+x）+50（1+x） 2=175 D50+50（1+
17、x）+50（1+x） 2=175【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，本题可先用 x 表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程【解答】解：二月份的产值为：50（1+x） ，三月份的产值为：50（1+x） （1+x）=50（1+x） 2，故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x） 2=175故选：D【点评】本题主要考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可二填空题（共 6 小题）第 8 页（共 14 页）11 （2014 秋 大石桥市校级月考）一元二次方程
18、x23x2=0 的解是 x= 【分析】找出 a，b，c 的值，计算出根的判别式的值大于 0，代入求根公式即可求出解【解答】解：这里 a=1，b= 3，c= 2，=9+8=17，x= ，故答案为：x= 【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键12 （2016杭州校级模拟）若方程 x27x+12=0 的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是 5 【分析】先用二次三项式的因式分解法求出一元二次方程的解，然后用勾股定理求出斜边的长【解答】解：解方程 x27x+12=0解得 x=3，x=4；由勾股定理得：斜边长= =5故这个直角三角形的斜边长是
19、5【点评】本题主要考查的是用因式分解法求一元二次方程的解，以及勾股定理的应用13 （2016三明）若一元二次方程 x2+4x+c=0 有两个不相等的实数根，则 c 的值可以是 1 （写出一个即可） 【分析】直接利用根的判别式，得出0，进而求出 c 的值【解答】解：一元二次方程 x2+4x+c=0 有两个不相等的实数根，=16 4c0，解得：c4，故 c 的值可以是 1故答案为：1【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出符号是解题关键一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与 =b24ac 有如下关系： 当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时
20、，方程无实数根14 （2016遵义）已知 x1，x 2 是一元二次方程 x22x1=0 的两根，则 + = 2 第 9 页（共 14 页）【分析】利用韦达定理求得 x1+x2=2，x 1x2=1，然后将其代入通分后的所求代数式并求值【解答】解：一元二次方程 x22x1=0 的两根为 x1、x 2，x1+x2=2，x1x2=1， + = =2故答案是：2【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法15 （2016宜宾）已知一元二次方程 x2+3x4=0 的两根为 x1、x 2，则 x12+x1x2+x22= 13 【分析】根据根与系数的关系
21、得到 x1+x2=3，x 1x2=4，再利用完全平方公式变形得到x12+x1x2+x22=（x 1+x2） 2x1x2，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得 x1+x2=3，x 1x2=4，所以 x12+x1x2+x22=（x 1+x2） 2x1x2=（3） 2（4）=13故答案为 13【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 16 （2016梅州）用一条长 40cm 的绳子围成一个面积为 64cm2 的矩形设矩形的一边长为 xcm，则可列方程为 x（20 x）=64 【分析】本题可根据
22、长方形的周长可以用 x 表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程【解答】解：设矩形的一边长为 xcm，长方形的周长为 40cm，宽为=（20 x） （cm ） ，得 x（20x）=64故答案为：x（20x）=64第 10 页（共 14 页）【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab 来解题的方法三解答题（共 7 小题）17 （2016深圳校级模拟）解方程：2x 27x+3=0【分析】本题可以运用因式分解法解方程因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为 0，再分别使各一次因式等于 0 即可求解【解答】解：原方程可变形为（2x
23、1） （x 3）=02x1=0 或 x3=0， 【点评】根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法18 （2015 春 北京校级期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程 x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2=y，那么 x4=y2，于是原方程可变为 y25y+4=0 ，解得 y1=1，y 2=4当 y=1 时，x 2=1，x=1；当 y=4 时，x 2=4，x=2；原方程有四个根：x 1=1，x 2=1，x 3=2，x 4=2请你按照上述解题思想解方程（x 2+x） 24（x 2+x） 12=0【分析】设 y=x2+x，将原方程转化为关于 y 的一元二次方程，通过解方程求得 y 即 x2+x的值，然后再来解关于 x 的一元二次方程【解答】解：y=x 2+x，则由原方程，得y24y12=0，整理，得（y6） （ y+2） =0，解得 y=6 或 y=2，当 y=6 时，x 2+x=6，即（x+3） （x2）=0，解得 x1=3，x 2=2当 y=2 时，x 2+x=2，即 x2+x+2=0，该方程无解综上所述，该方程的解为：x 1=3，x 2=2
