1、1一元二次方程及其应用一、选择题1. （2016湖北随州3 分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014 年约为 20 万人次，2016 年约为 28.8 万人次，设观赏人数年均增长率为 x，则下列方程中正确的是（ ）A20（1+2x）=28.8 B28.8（1+x） 2=20C20（1+x） 2=28.8 D20+20（1+x）+20（1+x） 2=28.8【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设这两年观赏人数年均增长率为 x，根据“2014 年约为 20 万人次，2016 年约为28.8 万人次” ，可得出方程【解答】解：设观赏人数年均增长率为 x，那么依题意得
2、 20（1+x） 2=28.8，故选 C2. （2016江西3 分）设 、 是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个根，则 的值是（ ）A2B1C2D1【考点】根与系数的关系【分析】根据 、 是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个根，由根与系数的关系可以求得 的值，本题得以解决【解答】解：、 是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个根，= ，故选 D3. （2016辽宁丹东3 分）某公司今年 4 月份营业额为 60 万元，6 月份营业额达到 100万元，设该公司 5、6 两个月营业额的月均增长率为 x，则可列方程为 60（1+x）2=100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设平均
3、每月的增长率为 x，根据 4 月份的营业额为 60 万元，6 月份的营业额为100 万元，分别表示出 5，6 月的营业额，即可列出方程【解答】解：设平均每月的增长率为 x，根据题意可得：60（1+x） 2=100故答案为：60（1+x） 2=1004.（2016四川攀枝花） 若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 x2+ axa 2=0 的一个根，则a 的值为（ ）A1 或 4 B1 或4 C1 或4 D1 或 4【考点】一元二次方程的解【分析】把 x=2 代入已知方程，列出关于 a 的新方程，通过解新方程可以求得 a 的值【解答】解：根据题意，将 x=2 代入方程 x2+ axa 2=0，得
4、：43aa 2=0，即 a2+3a4=0，左边因式分解得：（a1）（a+4）=0，a1=0，或 a+4=0，解得：a=1 或4，2故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根5（2016广西桂林3 分）若关于 x 的一元二次方程方程（k1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk5【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等
5、的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程方程（k1）x 2+4x+1=0 有两个不相等的实数根， ，即 ，解得：k5 且 k1故选 B6.（2016贵州安顺3 分）已知命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b 的值可以是（ ）Ab=3Bb=2Cb=1Db=2【分析】根据判别式的意义，当 b=1 时0，从而可判断原命题为是假命题【解答】解：=b 24，当 b=1 时，0，方程没有实数解，所以 b 取1 可作为判断命题“关于 x 的一元二次方程
6、x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题的反例故选 C【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可7（2016 广西南宁 3 分）二次函 数 y=ax2+bx+c（a0）和正比例函数 y= x 的图象如图所示，则方程 ax2+（b ）x+c=0（a0）的两根之和（ ）A大于 0 B等于 0 C小于 0 D不能确定
7、【考点】抛物线与 x 轴的交点【分析】设 ax2+bx+c=0（a0）的两根为 x1，x 2，由二次函数的图象可知3x1+x20，a0，设方程 ax2+（b ）x+c=0（a0）的两根为 a，b 再根据根与系数的关系即可得出结论【解答】解：设 ax2+bx+c=0（a0）的两根为 x1，x 2，由二次函数的图象可知 x1+x20，a0， 0设方程 ax2+（b ）x+c=0（a0）的两根为 a，b，则 a+b= = + ，a0， 0，a+b0故选 C【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键8. （2016云南省昆明市4 分）一
8、元二次方程 x24x+4=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D无法确定【考点】根的判别式【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根【解答】解：在方程 x24x+4=0 中，=（4） 2414=0，该方程有两个相等的实数根故选 B9.(2016 河北 3 分） a， b， c 为常数，且（ a-c） 2a2+c2，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D有一根为 0答案：解析：由（ a-c） 2a2+c2得出，因此 ，所以两根，故选项。
9、知识点：根的判别式 ，大于零，根；等于零同根；小于零，无根。10 （2016四 川 泸 州 ） 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2（ k 1） x+k2 1=0 有实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 （ ）A k 1 B k 1 C k 1 D k 1【 考 点 】 根 的 判 别 式 【 分 析 】 直 接 利 用 根 的 判 别 式 进 而 分 析 得 出 k 的 取 值 范 围 【 解 答 】 解 ： 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2（ k 1） x+k2 1=0 有 实 数 根 ， =b2 4ac=4（ k 1） 2 4（ k2 1） =
10、8k+8 0，解 得 ： k 1故 选 ： D11.（2016湖北荆门3 分）已知 3 是关于 x 的方程 x2（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（ ）A7 B10 C11 D10 或 114【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质【分析】把 x=3 代入已知方程求得 m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可【解答】解：把 x=3 代入方程得 93（m+1）+2m=0，解得 m=6，则原方程为 x
11、27x+12=0，解得 x1=3，x 2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长，当ABC 的腰为 4，底边为 3 时，则ABC 的周长为 4+4+3=11；当ABC 的腰为 3，底边为 4 时，则ABC 的周长为 3+3+4=10综上所述，该ABC 的周长为 10 或 11故选：D12 （2016湖北荆门3 分）若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方程x2+mx=7 的解为（ ）Ax 1=0，x 2=6 Bx 1=1，x 2=7 Cx 1=1，x 2=7 Dx 1=1，x 2=7【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法【分析】先根据二次函数
12、y=x2+mx 的对称轴是 x=3 求出 m 的值，再把 m 的值代入方程x2+mx=7，求出 x 的值即可【解答】解：二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3， =3，解得 m=6，关于 x 的方程 x2+mx=7 可化为 x26x7=0，即（x+1） （x7）=0，解得 x1=1，x 2=7故选 D13.（2016内蒙古包头3 分）若关于 x 的方程 x2+（m+1）x+ =0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 m 的值是（ ）A B C 或 D1【考点】一元二次方程的解【分析】由根与系数的关系可得：x 1+x2=（m+1） ，x 1x2= ，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为
13、1 或1，然后把1 分别代入两根之和的形式中就可以求出 m 的值【解答】解：由根与系数的关系可得：x1+x2=（m+1） ，x 1x2= ，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为 1 或1，若是 1 时，即 1+x2=（m+1） ，而 x2= ，解得 m= ；若是1 时，则 m= 故选：C14. （2016山东潍坊3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 x+sin=0 有两个相等的实5数根，则锐角 等于（ ）A15 B30 C45 D60【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出 sin= ，再由 为锐角，即可得出结论【解答】解：关于 x 的
14、一元二次方程 x2 x+sin=0 有两个相等的实数根，= 4sin=24sin=0，解得：sin= ， 为锐角，=30故选 B二、填空题1（2016山东省菏泽市3 分）已知 m 是关于 x 的方程 x22x3=0 的一个根，则2m24m= 6 【考点】一元二次方程的解【专题】推理填空题【分析】根据 m 是关于 x 的方程 x22x3=0 的一个根，通过变形可以得到 2m24m 值，本题得以解决【解答】解：m 是关于 x 的方程 x22x3=0 的一个根，m 22m3=0，m 22m=3，2m 24m=6，故答案为：6【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
15、件2.（2016 河南）若关于 x 的一元二次方程 x2+3xk=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k 【考点】根的判别式；解一元一次不等式【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出0，代入数据即可得出关于 k 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+3xk=0 有两个不相等的实数根，=3 241（k）=9+4k0，解得：k 故答案为：k 【点评】本题考查了根的判别式 以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于 k 的一元一次不等式本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不
16、等式或不等式组）是关键63. （2016山东省德州市4 分）方程 2x23x1=0 的两根为 x1，x 2，则 x12+x22= 【考点】根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系得出“x 1+x2= = ，x 1x2= = ”，再利用完全平方公式将 x12+x22转化成 2x 1x2，代入数据即可得出结论【解答】解：方程 2x23x1=0 的两根为 x1，x 2，x 1+x2= = ，x 1x2= = ，x 12+x22= 2x 1x2= 2（ ）= 故答案为： 【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是求出x1+x2= ，x 1x2= 本题属于基础题，难度不大，解决该题型
17、题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将原代数式转化成只含两根之和与两根之积的代数式是关键4 （2016四 川 宜 宾 ） 已 知 一 元 二 次 方 程 x2+3x 4=0 的 两 根 为 x1、 x2， 则x12+x1x2+x22= 13 【 考 点 】 根 与 系 数 的 关 系 【 分 析 】 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 到 x1+x2= 3， x1x2= 4， 再 利 用 完 全 平 方 公 式变 形 得 到 x12+x1x2+x22=（ x1+x2） 2 x1x2， 然 后 利 用 整 体 代 入 的 方 法 计 算 【 解 答 】 解 ：
18、 根 据 题 意 得 x1+x2= 3， x1x2= 4，所 以 x12+x1x2+x22=（ x1+x2） 2 x1x2=（ 3） 2 （ 4） =13故 答 案 为 135（2016四川攀枝花） 设 x1、x 2是方程 5x23x2=0 的两个实数根 ，则 + 的值为 【考点】根与系数的关系【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x2、x 1x2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可【解答】解：方程 x1、x 2是方程 5x23x2=0 的两个实数根，x 1+x2= ，x 1x2= ， + = = = 7故答案为： 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系
19、数的关系：若方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 6. （2016湖北黄石3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x2m+1=0 的两实数根之积为负，则实数 m 的取值范围是 m 【分析】设 x1、x 2为方程 x2+2x2m+1=0 的两个实数根由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于 m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：设 x1、x 2为方程 x2+2x2m+1=0 的两个实数根，由已知得： ，即解得：m 故答案为：m 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于 m 的一元一次不等式组本题属于基础题
20、，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于 m 的一元一次不 等式组是关键7.（2016四川眉山3 分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高据调查，2016 年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为 100 套，3 月份的住房销售量为 169 套假设该公司这两个月住房销售量的增长率为 x，根据题意所列方程为 100（1+x） 2=169 【分析】根据年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为 100 套，3 月份的住房销售量为169 套设该公司这两个月住房销售量的增长率为 x，可以列出相应的方程【解答】解：由题意可得，100（1
21、+x） 2=169，故答案为：100（1+x） 2=169【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的方程8. （2016四川眉山3 分）设 m、n 是一元二次方程 x2+2x7=0 的两个根，则 m2+3m+n= 5 【分析】根据根与系数的关系可知 m+n=2，又知 m 是方程的根，所以可得 m2+2m7=0，最后可将 m2+3m+n 变成 m2+2m+m+n，最终可得答案【解答】解：设 m、n 是一元二次方程 x2+2x7=0 的两个根，m+n=2，m 是原方程的根，m 2+2m7=0，即 m2+2m=7，m 2+3m+n=m2+2m+m+n=72=5，故
22、答案为：5【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把 m2+3m+n 转化为 m2+2m+m+n 的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答8三、解答题1 （2016四川南充） 已知关于 x 的一元二次方程 x26x+（2m+1）=0 有实数根（1）求 m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为 x1，x 2，且 2x1x2+x1+x220，求 m 的取值范围【分析】 （1）根据判别式的意义得到=（6） 24（2m+1）0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到 x1+x2=6，x 1x2=2m+1，再利用 2x1x2+x1+x220 得到2（2m+1）+620
23、，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的 m 的取值范围【解答】解：（1）根据题意得=（6） 24（2m+1）0，解得 m4；（2）根据题意得 x1+x2=6，x 1x2=2m+1，而 2x1x2+x1+x220，所以 2（2m+1）+620，解得 m3，而 m4，所以 m 的范围为 3m4【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 也考查了根与系数的关系2 （2016四川内江 12 分） 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园 ，其中一边靠墙，另外三边周长为 30 米的篱笆围成已知墙长
24、为 18 米(如图 14 所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米(1)若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x；(2)若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时，直接写出 x 的取值范围18m苗圃园图 14考点应用题，一元二次方程，二次函数。解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(302 x)米依题意可列方程x(302 x)72，即 x215 x360 2 分解得 x13， x212 4 分(2)依题意，得 8302 x18解得 6 x11面积 S x(302 x)2
25、( x 15)2 (6 x11)当 x 15时， S 有最大值， S 最大 ； 6 分9当 x11 时， S 有最小值， S 最小 11(3022)88 8 分(3)令 x(302 x)100，得 x215 x500解得 x15， x210 10 分 x 的取值范围是 5 x10 12 分3.（2016黑龙江齐齐哈尔5 分）先化简，再求值：（1 ） ，其中 x2+2x15=0【 考点】分式的化简求值【分析】先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据 x2+2x15=0 得出 x2+2x=15，代入代数式进行计算即可【解答】解：原式= = = ，x 2+2x15=0，x 2+2x=15，原式=
26、4 （2016湖北荆州12 分）已知在关于 x 的分式方程 和一元二次方程（2k）x 2+3mx+（3k）n=0中，k、m、n 均为实数，方程的根为非负数（1）求 k 的取值范围；（2）当方程有两个整数根 x1、x 2，k 为整数，且 k=m+2，n=1 时，求方程的整数根；（3）当方程有两个实数根 x1、x 2，满足 x1（x 1k）+x 2（x 2k）=（x 1k） （x 2k） ，且 k 为负整数时，试判断|m|2 是否成立？请说明理由【分析】 （1）先解出分式方程的解，根据分式的意义和方程的根为非负数得出 k 的取值；（ 2）先把 k=m+2，n=1 代入方程化简，由方程有两个整数实根
27、得是完全平方数，列等式得出关于 m 的等式，由根与系数的关系和两个整数根 x1、x 2得出 m=1 和1，分别代入方程后解出即可（3）根据（1）中 k 的取值和 k 为负整数得出 k=1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出 m 的值，做出判断【解答】解：（1）关于 x 的分式方程 的根为非负数，x0 且 x1，又x= 0，且 1，解得 k1 且 k1，又一元二次方程（2k）x 2+3mx+（3k）n=0 中 2k0，k2，10综上可得：k1 且 k1 且 k2；（2）一元二次方程（2k）x 2+3mx+（3k）n=0 有两个整数根 x1、x 2，且 k=m+2，n=1时，把 k=m
28、+2，n=1 代入原方程得：mx 2+3mx+（1m）=0，即：mx 23mx+m1=0，0，即=（3m） 24m（m1） ，且 m0，=9m 24m（m1）=m（5m+4） ，x 1、x 2是整数，k、m 都是整数，x 1+x2=3，x 1x2= =1 ，1 为整数，m=1 或1，把 m=1 代入方程 mx23mx+m1=0 得：x 23x+11=0，x23x=0，x（x3）=0，x1=0，x 2=3；把 m=1 代入方程 mx23mx+m1=0 得：x 2+3x2=0，x23x+2=0，（x1） （x2）=0，x1=1，x 2=2；（3）|m|2 不成立，理由是：由（1）知：k1 且 k1
29、 且 k2，k 是负整数，k=1，（2k）x 2+3mx+（3k）n=0 且方程有两个实数根 x1、x 2，x 1+x2= = =m ，x 1x2= = ，x1（x 1k）+x 2（x 2k）=（x 1k） （x 2k） ，x12x 1k+x22x 2k=x1x2x 1kx 2k+k2，x12+x22x 1x2+k2，（x 1+x2） 22x 1x2x 1x2=k2，（x 1+x2） 23x 1x2=k2，（m） 23 =（1） 2，m24=1，m2=5，m= ，|m|2 不成立【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：解分式方程时分母不能为 0；一元二次方程有两个整数根时，根的判别式为完全平方数5.（2016内蒙古包头）一幅长 20cm、宽 12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3：2设竖彩条的宽度为 xcm，图案中三条彩条所占面积为 ycm2（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
