1、1第十二章 全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；三角形全等不因位置发生变化而改变。对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解
2、：长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。(3)全等三角形的周长相等、面积相等。(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3.全等三角形的判定定理：边边边（ ）：三边对应相等的两个三角形全等.S边角边（ ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.A角边角（ ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.角角边（ ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.斜边、直角边（ ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.HL4.证明两个三角形全等的基本思路：25.角平分线：画法：性质定理：角平分线上的点
3、到角的两边的距离相等.性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.证明的基本方法：明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.学习全等三角形应注意以下几个问题：(1)要正确区分“对应边”与“对边” ， “对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有
4、两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。常考例题精选3.(2015绥化中考)如图，A，B，C 三点在同一条直线上，A=C=90，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得EABBCD.4.(2015临沂中考)在 RtABC 中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在 AC 上取一点E，使 EC=BC，过点 E 作 EFAC 交 CD 的延长线于点 F，若 EF=5cm，则 AE= cm.35.(2015武汉中考)如图，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，B=C.求证：A=D.6.(2015昆明中考)已知：如图，AD，BC 相
5、交于点O，OA=OD，ABCD.求证：AB=CD.7.(2015大理中考)如图，点 B 在 AE 上，点 D 在AC 上，AB=AD，请你添加一个适当的条件，使ABCADE(只能添加一个).(1)你添加的条件是 .(2)添加条件后，请说明ABCADE 的理由.48.(2015随州中考)如图，点 F，B，E，C 在同一直线上，并且BF=CE，ABC=DEF.能否由上面的已知条件证明ABCDEF?如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使ABCDEF，并给出证明.提供的三个条件是：AB=DE；AC=DF；ACDF.9.(2015河源中考)如图，已知 A
6、B=CD，B=C，AC 和 BD 相交于点 O，E 是AD 的中点，连接 OE.(1)求证：AOBDOC.(2)求AEO 的度数.10.(2014泸州实验质检)如图所示，ABCD，E 为 AD 上一点，且 BE，CE 分别平分ABC，BCD.求证：AE=DE.5通关精选1如图，ABC EFD ，且 ABEF，EC4，CD3，则 AC( )A3 B4 C7 D8,第 1 题图) 2如图，ACBD，AOBO，CODO，D30，A 95，则AOB 等于( )A120 B125 C130 D135,第 2 题图)3如图，已知 ABCD，ADCB，则ABC CDA 的依据是( )ASAS B ASA C
7、AAS DSSS,第 3 题图)4(2015六盘水)如图，已知ABCDCB，下列所给条件不能证明 ABCDCB 的是( )AA D BAB DC CACBDBC DAC BD,第 4 题图) 5如图，ABC 和EDF 中，B D90，AE ，点B，F， C，D 在同一条直线上 ，再增加一个条件， 不能判定ABCEDF 的是( )AABED BAC EF CACEF DBFDC6,第 5 题图) 6如图，在ABC 中， B42，ADBC 于点 D，点 E 是 BD 上一点，EFAB 于点 F，若 ED EF，则AEC 的度数为 ( )A60 B62 C64 D66,第 6 题图)7如图，AD 是
8、ABC 的中线，E，F 分别是 AD 和 AD 延长线上的点，且 DE DF，连接 BF，CE. 下列说法：CEBF ；ABD 和ACD 面积相等；BFCE；BDFCDE.其中正确的有 ( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个,第 7 题图) 8如图，ABC 的三边 AB，BC ，CA 的长分别为 20，30，40，O 是ABC 三条角平分线的交点，则 SABO S BCO S CAO 等于( )A111 B123 C234 D3 45,第 8 题图)9如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心， 适当的长为半径画弧，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，再分别以点 M，N 为圆心，大于
9、 MN 的长为12半径画弧，两弧在第二象限交于点 P.若点 P 的坐标为 (2a，b1) ，则 a 与 b 的数量关系为( )Aab B2ab1 C2ab1 D2ab1,第 9 题图)10如图，在ABC 中， C90，AD 平分BAC ，DEAB 于 E，则下列结论：AD 平分CDE；BACBDE ；DE 平分ADB ；BEACAB.其中正确的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7,第 10 题图)11已知ABC DEF ，且ABC 的周长为 12 cm，面积为 6 cm2，则DEF 的周长为_cm ，面积为_cm 2.12如图，已知 AD 是ABC 的角平分线，在不添加任何辅助线的
10、前提下 ，要使AED AFD，需添加一个条件是：_,第 12 题图) 13如图，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过正方形的顶点B，D 作 BFa 于点 F，DE a 于点 E，若 DE8，BF5，则 EF 的长为_,第 13 题图)15如图，ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，CE ，BD 相交于 O，则图中全等的直角三角形有_对,第 15 题图)16如图，已知方格纸中是 4 个相同的正方形，则123_度,第 16 题图) 17如图，已知相交直线 AB 和 CD 及另一直线 MN，如果要在 MN 上找出与 AB，CD 距离相等的点，则这样的点至少有_个，最多有_8个,
11、第 17 题图)18如图，已知ABC 的三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且 DCBC ，若 BAC80，则BOD 的度数为_,第 18 题图)19 (2015昆明) 如图，点 B，E ，C，F 在同一条直线上，AD，BDEF，BECF. 求证：ACDF.20如图，工人师傅要检查人字梁的B 和C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺他是这样操作的：分别在 BA 和 CA 上取BECG ； 在 BC 上取 BDCF；量出 DE 的长为 a m，FG 的长为 b m如果 ab，则说明 B 和C 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？21如图，在ABC 中， C90，
12、AD 平分CAB ，DEAB 于点 E，点 F 在 AC 上，BEFC，求证：BDDF.922如图，在ABE 和ACF 中，EF 90 ，BC，BECF.求证：(1)1 2；(2)CM BN.23如图，点 A，E，F，C 在一条直线上，AE CF ，过点 E，F 分别作EDAC，FBAC，AB CD.(1)若 BD 与 EF 交于点 G，试证明 BD 平分 EF；(2)若将DEC 沿 AC 方向移动到图的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由24如图，在ABC 中， BC ，AB10 cm，BC8 cm，D 为 AB 的中点，点 P 在线段上以 3 cm/s 的速度由点 B 向点
13、 C 运动，同时，点 Q 在线段CA 上以相同速度由点 C 向点 A 运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动当BPD 与CQP 全等时，求点 P 运动的时间1025如图，在ABC 和 ADE 中，ABAC，AD AE，BACDAE90.(1)当点 D 在 AC 上时，如图，线段 BD，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图中的 ADE 绕点 A 顺时针旋转 角(0 90) ，如图，线段 BD， CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由2.(2015齐齐哈尔中考)在锐角三角形 ABC 中，AH 是 BC 边上的高，分别以AB，AC 为一边，向外作正方形 ABDE 和 ACFG，连接 CE，BG 和 EG，EG 与 HA 的延长线交于点 M，证明： AM 是AEG 的中线。
