1、1必修五解三角形和数列综合练习解三角形一、选择题1在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 b2c 2a 2bc，则角 A 等于( )(A) (B) (C) (D)633652在ABC 中，给出下列关系式：sin(AB )sinC cos(AB)cos C 2cossinCBA其中正确的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)33在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a3，sin A ，sin(AC) ，则 b 等于( )43(A)4 (B) (C)6 (D)38 8274在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，
2、若 a3，b4，sin C ，则此三角形的面积是( )3(A)8 (B)6 (C)4 (D)35在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若(abc)( bca)3bc，且 sinA2sin BcosC，则此三角形的形状是( )(A)直角三角形 (B)正三角形(C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形二、填空题6在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a ，b2，B45，则角 A_.7在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2，b3，c ，则角 C_.198在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，
3、b，c，若 b3，c4，cosA ，则此三角形的面积为53_.9已知ABC 的顶点 A(1，0)，B(0，2) ，C (4，4)，则 cosA_.10已知ABC 的三个内角 A，B，C 满足 2BAC ，且 AB1，BC4，那么边 BC 上的中线 AD 的长为_.三、解答题11在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 a3，b4，C 60.(1)求 c；(2)求 sinB.12设向量 a，b 满足 ab3，|a| 3，|b|2.(1)求a，b ；(2)求|ab| .213设OAB 的顶点为 O(0， 0)，A(5，2) 和 B(9，8)，若 BDOA 于 D.(1)求高线 B
4、D 的长；(2)求OAB 的面积.14在ABC 中，若 sin2Asin 2Bsin 2C，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理 ，其中 R 为ABC 外接圆半径)cbasinisin15如图，两条直路 OX 与 OY 相交于 O 点，且两条路所在直线夹角为 60，甲、乙两人分别在 OX、OY 上的A、B 两点，| OA |3km，| OB |1km，两人同时都以 4km/h 的速度行走，甲沿 方向，乙沿 方向.XOY问：(1)经过 t 小时后，两人距离是多少(表示为 t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 .cabCB2cos(
5、1)求角 B 的值；(2)若 b ，ac 4，求ABC 的面积.133数列一、选择题1在等差数列a n中，已知 a1a 24，a 3a 412，那么 a5a 6 等于( )(A)16 (B)20 (C)24 (D)362在 50 和 350 间所有末位数是 1 的整数和( )(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773若 a，b，c 成等比数列，则函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴的交点个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定4在等差数列a n中，如果前 5 项的和为 S520，那么 a3 等于( )(A)2 (B)2 (C)4 (D)45若a n是等
6、差数列，首项 a10，a 2007a 20080，a 2007a20080，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数 n 是 ( )(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015二、填空题6已知等比数列a n中，a 33，a 10384，则该数列的通项 an_.7等差数列a n中，a 1a 2a 324，a 18a 19a 2078 ，则此数列前 20 项和 S20_.8数列a n的前 n 项和记为 Sn，若 Snn 23n1，则 an_.9等差数列a n中，公差 d0，且 a1，a 3，a 9 成等比数列，则 _.1074963a10设数列a n是首项为 1 的正数数列，且
7、(n1) a na a n1 an0( nN *)，则它的通项公式 an_.21n三、解答题11设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a3a 7a 108 ，a 11a 44，求 S13.12已知数列a n中，a 11，点(a n，a n1 1)( nN *)在函数 f(x)2x1 的图象上.(1)求数列a n的通项公式； (2)求数列a n的前 n 项和 Sn；(3)设 cnS n，求数列c n的前 n 项和 Tn.13已知数列a n的前 n 项和 Sn满足条件 Sn3a n2.(1)求证：数列a n成等比数列；(2)求通项公式 an.414某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船，
8、用于捕捞，第一年需各种费用 12 万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加 4 万元，该船每年捕捞的总收入为 50 万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用( 不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利( 即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以 8 万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？15已知函数 f(x) (x2) ，数列a n满足 a11，a nf( )(nN *).412 1a(1)求 an；(2)设 bna a a ，是否存在最小正整数 m，使对任意 nN *有 bn 成立？若存在，求出212n21n 25mm
9、 的值，若不存在，请说明理由 .16已知 f 是直角坐标系平面 xOy 到自身的一个映射，点 P 在映射 f 下的象为点 Q，记作 Qf(P).设 P1(x1，y 1)，P 2f(P 1)，P 3f(P 2)，P nf(P n 1)，.如果存在一个圆，使所有的点 Pn(xn，y n)(nN *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 Pn(xn，y n)的一个收敛圆.特别地，当 P1f(P 1)时，则称点 P1 为映射 f下的不动点.若点 P(x，y)在映射 f 下的象为点 Q(x 1， y).(1)求映射 f 下不动点的坐标；(2)若 P1 的坐标为(2，2)，求证：点 Pn(xn，y n)(
10、nN *)存在一个半径为 2 的收敛圆.5解三角形1B 2C 3D 4C 5B提示：5化简(abc)( bca)3bc ，得 b2c 2a 2bc，由余弦定理，得 cosA ，所以A60.12因为 sinA2sinBcosC，ABC 180，所以 sin(BC)2sinBcosC，即 sinBcosCcosBsinC2sinBcosC.所以 sin(BC)0，故 BC .故ABC 是正三角形.二、填空题630 7120 8 9 1052453三、解答题11(1)由余弦定理，得 c ；13(2)由正弦定理，得 sinB .9212(1)由 ab| a|b|cosa，b ，得a，b60；(2)由向
11、量减法几何意义，知|a |，|b|，| a b|可以组成三角形，所以|a b|2|a| 2| b|22|a| |b|cosa，b7，故|a b | .713(1)如右图，由两点间距离公式，得 ，29)0()5(2OA同理得 .3,14B由余弦定理，得 ,22cosAO所以 A45.故 BDABsinA 2 .9(2)SOAB OABD 2 29.11914由正弦定理 ，RCcBbasinisin6得 .CRcBbARasin2,si,sin2因为 sin2Asin 2Bsin 2C，所以 ，)()(即 a2b 2c 2.所以 cosC 0，abc2由 C(0，)，得角 C 为锐角.15(1)设
12、 t 小时后甲、乙分别到达 P、Q 点，如图，则|AP| 4t，| BQ|4t，因为|OA|3，所以 t h 时，P 与 O 重合.4故当 t0， 时，|PQ|2(3 4t) 2(14t) 22 (34t )(14t)cos60；当 t h 时，|PQ| 2(4t3) 2(1 4t )22(4t3)(14t)cos120 .故得|PQ| (t 0).748t(2)当 t 时，两人距离最近，最近距离为 2km.1216(1)由正弦定理 ，RCcBbAa2sinisin得 a2RsinA，b2RsinB，c2R sinC.所以等式 可化为 ，aCos CRABsin2sicos即 ，ini2c2s
13、inAcosBsinCcosBcosC sinB，故 2sinAcosBcos CsinBsinCcosBsin(BC )，因为 AB C，所以 sinAsin(BC )，故 cosB ，21所以 B120.(2)由余弦定理，得 b213a 2c 22accos120，即 a2c 2ac13又 ac4，解得 ，或 .31c所以 SABC acsinB 13 .22437数列一、选择题1B 2A 3A 4D 5C二、填空题632 n3 7180 8a n 9 10a n (nN *)2(,1n761提示：10由(n1) a na a n 1an0，得(n1)a n1 na n(an1 a n)0
14、，21n因为 an0，所以(n1)a n1 na n0，即 ，所以 .32231 三、解答题11S 13156.12(1)点(a n，a n1 1)在函数 f(x)2x1 的图象上，a n1 12a n1，即 an1 2a n.a 11，a n0， 2，na n是公比 q2 的等比数列，a n2 n1 .(2)Sn .1)(n(3)c nS n2 n1，T nc 1c 2c 3c n(21)(2 21) (2 n1)(22 22 n)n 2 n1 n2.n1)(13当 n1 时，由题意得 S13a 12，所以 a11；当 n2 时，因为 Sn3a n2，所以 Sn1 3a n1 2；两式相减得
15、 an3a n3a n1 ，即 2an3a n1 .由 a110，得 an0.所以 (n2，nN *).n由等比数列定义知数列a n是首项 a11，公比 q 的等比数列.23所以 an( )n1 2314(1)设第 n 年所需费用为 an(单位万元)，则a112，a 216，a 320，a 424(2)设捕捞 n 年后，总利润为 y 万元，则y50n12 n 4 982n 240n98)1(8由题意得 y0，2n 240n980，10 n10 .5151nN *，3n17，即捕捞 3 年后开始盈利.(3)y2n 240n982(n10) 2102，当 n10 时，y 最大 102即经过 10
16、年捕捞盈利额最大，共盈利 1028110(万元) .15(1)由 anf ( )，得 (an1 0) ，1n421na 为等差数列， ( n1)42n2n1a 11，a n (nN *).341(2)由 ，1854122 nnabn 得 bnb n1 )9812()2(9854 nn)(27)8(23nN *，b nb n1 0，b nb n1 (nN *)， bn是递减数列.b n的最大值为 .45231a若存在最小正整数 m，使对任意 nN *有 bn 成立，25m只要使 b1 即可，m .254970对任意 nN *使 bn 成立的最小正整数 m816(1)解：设不动点的坐标为 P0(x
17、0，y 0)，由题意，得 ，解得 ，y 00，021yx21所以此映射 f 下不动点为 P0( ，0).(2)证明：由 Pn1 f(P n)，得 ，nnyx21所以 xn1 (x n )，y n1 yn.2因为 x12，y 12，所以 xn 0，y n0，9所以 .21,21nnyx由等比数列定义，得数列x n (nN *)是公比为1，首项为 x1 的等比数列，23所以 xn (1) n1 ，则 xn (1) n1 .223同理 yn2( )n1 .所以 Pn( ( 1) n1 ，2( )n1 ).3设 A( ，1)，则| APn| .221(n因为 02( )n1 2，所以112( )n1 1，所以|AP n| 23故所有的点 Pn(nN *)都在以 A( ，1) 为圆心，2 为半径的圆内，即点 Pn(xn，y n)存在一个半径为 2 的收敛1圆.10
