1、第 1 页（共 21 页）2015 年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分,共 40 分）1若集合 ， ，则 AB=（ ）2Ax3BxA B3 52xC Dx 32圆心为 且过原点的圆的方程是（ ）1,A B221xy2211xyC D 3下列函数中为偶函数的是（ ）A B C D2sinyx2cosyxlnyx2xy4某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 人，则该样本的老年教师人数为30（ ）类别 人数老年教师 90中年教师 18青年教师 6合计 430A B C D9010185执行如图所示的程序框图，输出的
2、 值为（ ）k第 2 页（共 21 页）A B C D34566设 是非零向量， “ ”是“ ”的（ ）,abababA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A B C D12328某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）第 3 页（共 21 页）年 月 日201512350年 月 日 486注：“累计里程 ”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每千米平均耗油量为 （ ）10A 升 B 升 C 升 D 升681012二
3、、填空题9复数 的实部为 1i10 三个数中最大数的是 32,log511在 中， ，则 = ABC23,6,3abAB12已知 是双曲线 的一个焦点，则 = 2,0210yxb13如图， 及其内部的点组成的集合记为 ， 为 中任意一点，ABD(,)Pxy则 的最大值为 23zxy14高三年级 位学生参加期末考试，某班 位学生的语文成绩，数学成绩26737与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 第 4 页（共 21 页）三、解答题（共 分）8
4、015已知函数 2sin3sixfx（ ）求 的最小正周期；1（ ）求 在区间 上的最小值2fx20,316已知等差数列 满足 .na12430,2a（1）求 的通项公式；n（2）设等比数列 满足 ，问： 与数列 的第几项相等？nb237,b6bna17某超市随机选取 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的10情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买 甲 乙 丙 丁10 27 30 85 9 （1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；第 5 页（共 21 页）（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 种商品的概率；3（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商
5、品的可能性最大？18如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，VABCVABCVAB 且 ， ， 分别为 ， 的中点ACB2OM（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面CVAB（3）求三棱锥 的体积V19设函数 2ln(0)xfk（1）求 的单调区间和极值；f（2）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点fxfx1,e20已知椭圆 : ，过点 且不过点 的直线与椭圆 交C23y(,0)D(2,)EC于 两点，直线 与直线 交于点 ,ABAExM（1）求椭圆 的离心率；（2）若 垂直于 轴，求直线 的斜率；xB（3）试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由BMDE第 6 页（
6、共 21 页）2015 年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分,共 40 分）1 （2015北京）若集合 A=x|5x 2，B=x|3x3，则 AB=（ ）Ax |3x2 B x|5x2 Cx|3 x3 Dx|5x3【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可【解答】解：集合 A=x|5x2，B=x |3x 3，则 AB=x |3x2故选：A2 （2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）A （x 1） 2+（y1 ） 2=1 B （x+1） 2+（y+1） 2=1 C （x+1） 2+（y+1）2=2 D （ x1） 2+（y 1） 2=2【分
7、析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程【解答】解：由题意知圆半径 r= ，圆的方程为（x1） 2+（y1） 2=2故选：D3 （2015北京）下列函数中为偶函数的是（ ）Ay=x 2sinx By=x 2cosx Cy=|lnx| Dy=2 x【分析】首先从定义域上排除选项 C，然后在其他选项中判断 x 与 x 的函数值关系，相等的就是偶函数【解答】解：对于 A， （x） 2sin（x）=x 2sinx；是奇函数；对于 B， （x） 2cos（x） =x2cosx；是偶函数；第 7 页（共 21 页）对于 C，定义域为（ 0，+ ） ，是非奇非偶的函数；对于 D，定义域为 R，但是
8、 2（x） =2x2 x，2 x2 x；是非奇非偶的函数；故选 B4 （2015北京）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为（ ）类别 人数老年教师 900中年教师 1800青年教师 1600合计 4300A90 B100 C180 D300【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为 900：1600=9：16，即可得出结论【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为 900：1600=9：16，因为青年教师有 320 人，所以老年教师有 180 人，故选：C5 （2015北京）执行如图所示的程
9、序框图，输出的 k 值为（ ）第 8 页（共 21 页）A3 B4 C5 D6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，k 的值，当 a= 时满足条件 a ，退出循环，输出 k 的值为 4【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a= ，k=1不满足条件 a ，a= ，k=2不满足条件 a ，a= ，k=3不满足条件 a ，a= ，k=4满足条件 a ，退出循环，输出 k 的值为 4故选：B6 （2015北京）设 ， 是非零向量， “ =| | |”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件第 9 页（共 21 页）【分
10、析】由 便可得到 夹角为 0，从而得到 ，而 并不能得到 夹角为 0，从而得不到 ，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项【解答】解：（1） ； 时，cos =1； ； ；“ ”是“ ”的充分条件；（2） 时， 的夹角为 0 或 ； ，或 ；即 得不到 ；“ ”不是“ ”的必要条件；总上可得“ ”是“ ”的充分不必要条件故选 A7 （2015北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A1 B C D2第 10 页（共 21 页）【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥
11、的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中 PB平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形PB=1，AB=1 ，AD=1 ，BD= ，PD= = PC=该几何体最长棱的棱长为：故选：C8 （2015北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015 年 5 月 1 日 12 350002015 年 5 月 15 日 48 35600注：“累计里程 ”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100千米平均耗油量为 （ ）A6 升 B8 升 C10 升 D12 升【分析】由表格信息，得到该车加了 48 升的汽油，跑了 600 千米，由此得到该车每 100 千米平均耗油量【解答】解：由表格信息，得到该车加了 48 升的汽油，跑了 600 千米，所以该车每 100 千米平均耗油量 486=8；故选：B
