1、第七章 平面向量1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律3掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件4了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式7掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形向量 概 念 向 量 的 模 相 等 的 向 量单 位 向 量零 向 量运 算 向 量 的 加 法向 量
2、 的 减 法实 数 与 向 量 的 乘 积向 量 的 数 量 积 平 面 向 量 的 坐 标 运 算平 移 公 式线 段 的 定 比 分 点解 三 角 形 余 弦 定 理正 弦 定 理 任 意 三 角 形 的 面 积 公 式向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介主要考查：1平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则2向量的坐标运算及应用3向量和其它数学知识的结合如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用4正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常
3、常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明第 1 课时 向量的概念与几何运算基础过关知识网络考纲导读高考导航1向量的有关概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量，叫单位向量 叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量 且 的向量叫相等向量2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按 法则或 法则进行加法满足 律和 律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 3实数与向量的积 实数 与向量 的积是一个向量，记作 它的长度与方向规定如下：aa | | a 当 0 时， 的方向与 的方向 ；a当 0 时， 的方向与 的方向 ；
4、当 0 时， a ( ) a( ) ( ) b 共线定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 使得 a4 平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平1e2面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，使得 a 设 、 是一组基底， ， ，则 与 共线的充要条件是 1e2a21eyxb21eyxab例 1已知ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点设 ， ，求 aABbCBE解： ( ) BEAB41ACB43a1b变式训练 1.如图所示，D 是 ABC 边 AB 上的中点，则向量 等于（ ）DA C2B BA1C 2D BA1典型例题
5、ADB C解:A例 2. 已知向量 ， ， ，其中 、 不共线，求实数 、 ，213ea213eb219ec1e2使 bc解: 2 9 (22) (33) 222，且a1e21e2e339 2，且 1变式训练 2：已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点，点 P 为平面上任意一点，求证：PODCPBA4证明 2 ， 2 4BDPOABCD例 3. 已知 ABCD 是一个梯形，AB、CD 是梯形的两底边，且 AB2CD，M、N 分别是 DC和 AB 的中点，若 ， ，试用 、 表示 和 aAbab解：连 NC，则 ；NCCNABM4141 abBC21变式训练 3：如图所示，OADB 是
6、以向量 ， 为邻边的平行四边形，又 OabM31， ，试用 、 表示 ， ， BC1Dab解: ， ，OM6a5bON32 N21例 4. 设 ， 是两个不共线向量，若 与 起点相同，tR ，t 为何值时， ，t ， ( )abab ab31ab三向量的终点在一条直线上？解：设 ( R)化简整理得：)(31bat 0)31()32(bta ，不 共 线与 ba213032tt故 时， 三向量的向量的终点在一直线上21t )(1,bat变式训练 4：已知 ，设 ，如果,OABCcODdEetR3,2,acbd，那么 为何值时， 三点在一条直线上？()ett解：由题设知， ， 三点在一条23,(3
7、)CDdcbaetatb,CDE直线上的充要条件是存在实数 ，使得 ，即 ，kkk整理得 .(3)()tkat若 共线，则 可为任意实数；,bt若 不共线，则有 ，解之得， .302k65tBO ADC NM综上， 共线时，则 可为任意实数； 不共线时， .,abt,ab65t1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意 与 O 的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明 ABCD，需证 ，且 AB 与ABCDCD 不共线要证 A、B、C 三点共线，则证 即可ABC4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，
8、特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点第 2 课时 平面向量的坐标运算1平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底，对于一个向量 ，有且只有ij a一对实数 x、y，使得 x y 我们把(x 、y)叫做向量 的直角坐标，记作 aij a并且| | a2向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系3平面向量的坐标运算：若 (x 1、y 1)， (x 2、y 2)， R，则：b ab 已知 A(x1、y 1)，B(x 2、y 2)，则 AB4两个向量 (x 1、y 1)和 (x 2、y 2)共线的充要条件是 ab例 1.已知点 A（2，
9、3） ，B（1，5） ，且 ，求点 C 的坐标AC31B解 (1， )， (1, )，即 C(1, )CO31变式训练 1.若 ， ，则 = . ,8(7,2)3解: 提示：(3,2)9,6AB例 2. 已知向量 (cos ，sin )， (cos ，sin )，| | ，求 cos() 的值a2b2ab52解:| | cos cos()ab552cos(37变式训练 2.已知 2 ( 3，1) ，2 (1，2) ，求 ababab小结归纳典型例题基础过关解 (1，1)， (1 ，0) ， (0，1)abab例 3. 已知向量 (1, 2)， (x, 1) ， 2 ， 2 ，且 ，求 xa1e
10、eab1e2解: (1 2x，4) ， (2x，3)， 3(12x)4(2x) x1e2e变式训练 3.设 (ksin, 1)， (2 cos, 1) (0 )， ，求证：k abab3证明: k k 0 ksinco23sin)3co(23例 4. 在平行四边形 ABCD 中，A(1 ，1)， (6，0) ，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CMAB与 BD 交于点 P(1) 若 (3，5)，求点 C 的坐标；AD(2) 当| | |时，求点 P 的轨迹B解：(1)设点 C 的坐标为(x 0，y 0)，)5,1(5,9,6()5,30yx得 x010 y06 即点 C(10，6)(2) 点
11、 D 的轨迹为 (x1) 2(y1) 236 (y1)ABM 为 AB 的中点 P 分 的比为B1设 P(x，y)，由 B(7，1) 则 D(3x14，3y2)点 P 的轨迹方程为 )1(4)()5(22yx变式训练 4.在直角坐标系 x、y 中，已知点 A(0，1) 和点 B(3，4)，若点 C 在AOB 的平分线上，且| | 2，求 的坐标OC解 已知 A (0，1)，B (3，4) 设 C (0，5)，D (3，9)则四边形 OBDC 为菱形 AOB 的角平分线是菱形 OBDC 的对角线 OD 210C )5103,(32OD1认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相
12、转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化2由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算第 3 课时 平面向量的数量积小结归纳基础过关A M BCDP1两个向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，过 O 点作 ， ，则AOB abAaOBb(0180) 叫做向量 与 的 当 0时， 与 ；当 180时， 与ab ba；如果 与 的夹角是 90，我们说 与 垂直，记作 b a2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则数量 b叫做 与 的数量积（或内积） ，记作 ，
13、即 规定零向量与任一向量的abab数量积为 0若 (x 1, y1)， (x 2, y2)，则 ab3向量的数量积的几何意义：| |cos 叫做向量 在 方向上的投影 ( 是向量 与 的夹角 )bbab 的几何意义是，数量 等于 aab4向量数量积的性质：设 、 都是非零向量， 是单位向量， 是 与 的夹角eab eae b 当 与 同向时， ；当 与 反向时， aababab cos | | b5向量数量积的运算律： ；a ( ) ( )bab ( ) ac例 1. 已知| | 4，| |5，且 与 的夹角为 60，求：(2 3 )(3 2 )bababab解:(2 3 )(3 2 )4a变
14、式训练 1.已知| |3，| | 4，| |5，求|2 3 |的值ababab解: 56典型例题例 2. 已知向量 (sin ，1)， (1 ，cos )， ab2(1) 若 ab，求 ；(2) 求| |的最大值解：(1)若 ，则0cosin即 而 ，所以1tan)2,(4(2) )sin(23)cos(in3b当 时， 的最大值为4a1变式训练 2：已知 ， ，其中 (cs,i)(cos,i)b0(1)求证： 与 互相垂直；ab(2)若 与 的长度相等，求 的值( 为非零的常数 )kk证明： 22222()cosin)(cosin0ab与 互相垂直ab（2） ,k(cos,sin)k, ,2
15、1cos()kabk 21cos()akbk而 2 21cos()，cos()0例 3. 已知 O 是ABC 所在平面内一点，且满足( )( 2 )0，判断OBCOAABC 是哪类三角形解:设 BC 的中点为 D，则( )( )0 2 0 BCAD ABCOCBA2AD是等腰三角形变式训练 3：若 ，则ABC 的形状是 . 1,2),3(,5)A解: 直角三角形.提示： ,3,0,BC例 4. 已知向量 (cos, sin) 和 ( sin, cos) (, 2)且| | ，求 cos(mn2 nm528)的值.82解: (cos sin , cossin)由已知(cos sin )2(cos
16、sin) 2nm2 518化简：cos 57)4(又 cos2 2516)4cos(1)8( (, 2) cos 0 2516)4cos()8(cos 25164cos1)82(5变式训练 4.平面向量 ，若存在不同时为 的实数 和 ，使3(3,)(,)ab 0kt, 且 ，试求函数关系式 .2(3)xatb,yktxy()kft解：由 得13,(,)20,|2,|1abb2 22(3)(0,(3)(3)0atbkatktktatb 33114,)(44kf1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法2注意 与 ab 的区别 0 ，或 a
17、baba0b3应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合第 4 课时 线段的定比分点和平移1 设 P1P2 是直线 L 上的两点，点 P 是 L 上不同于 P1、P 2 的任意一点，则存在一个实数 使 ， 叫做 2设 P1（x 1、y 1） ，P 2（x 2、y 2） ，点 P（x、y）分 的比是 时，定比分点坐标公式为：21，中点坐标公式： 。3 平移公式：将点 P（x、y）按向量 （h、k）平移得到点 P（x，y） ，则 a小结归纳典型例题基础过关例 1. 已知点 A(1, 4) ，B(5, 2)，线段 AB 上的三等分点依次为 P1、P 2，求 P1、P 2
18、 的坐标及 A、B 分 所成的比.21P解 P 1(x2) P 2(3, 0) (2) , 21变式训练 1.设|AB|5，点 p 在直线 AB 上，且|PA| 1，则 p 分 所成的比为 AB解: 64或例 2. 将函数 y2sin（2x ）3 的图象 C 进行平移后得到图象 C，使 C 上面的一点 P（65、2）移至点 P（ 、1） ，求图像 C对应的函数解析式64解: C：y2sin(2x )23变式训练 2：若直线 2xyc0 按向量 (1, 1) 平移后与圆 x2y 25 相切，则 c 的值a为 （ ）A8 或2 B6 或4C4 或6 D2 或8解: A例 3. 设 (sinx1,
19、cosx1)， ，f (x) ，且函数 yf (x)的图象是由a )2,(bbaysinx 的图象按向量 平移而得，求 .cc解: ( ) (kz)c2,4k变式训练 3：将 ysin2x 的图象向右按 作最小的平移，使得平移后的图象在k , k a 2(kZ)上递减，则 a解:( ，0)4例 4. 已知ABC 的顶点 A(0、0)，B(4、8)，C(6、4) ，点 M 内分 所成的比为 3，N 是ABAC 边上的一点，且AMN 的面积等于ABC 的面积的一半，求 N 点的坐标解:由 |ACBNMSACN21得 32| N(4 ， ) 8变式训练 4.已知ABC 的三个顶点为 A（1，2） ，
20、B （4，1） ，C（3，4） (1)求 AB 边上的中线 CM 的长及重心 G 的坐标；(2)在 AB 上取一点 P，使过 P 且平行于 BC 的直线 PQ 把ABC 的面积分成 45 两部分（三角形面积：四边形面积） ，求点 P 的坐标解: )34,()7,38(26pGCM1在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比 2平移公式反映了平移前的点 P(x、y)和平移后的点 P(x、y)，及向量 (h，k) 三者之间a的关系它的本质是 平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆Pa平面向量章节测试题一、选择题1. 若 A（2，-1） ，B（-
21、1，3） ，则 的坐标是 ( )ABA.（1，2） B.（-3， 4） C. （3，-4） D. 以上都不对2.与 a=（4，5）垂直的向量是 ( )A.（-5k,4k） B. (-10， 2） C. ( ) D.（5k, -4k）54,k3. ABC 中, =a, =b,则 等于 ( )BCABA.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a 4.化简 (ab) (2a+4b)+ (2a+13b)的结果是 ( )52315A. a b B.0 C. a+ b D. a b151515.已知|p|= ,|q|=3, p 与 q 的夹角为 ,则以 a=5p+2q,b=p3q 为邻边的平行四边
22、形的一条对24角线长为 ( )A.15 B. C. 16 D.14156.已知 A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 p ,则 k 的值为 ( )ABA. B. C. D.109091091097. 已知ABC 的三个顶点，A、B 、C 及平面内一点 P 满足 ，则点 P 与PCABABC 的关系是 ( )A. P 在ABC 的内部 B. P 在ABC 的外部 C. P 是 AB 边上的一个三等分点 D. P 是 AC 边上的一个三等分点8.已知ABC 的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M 是 BC 边上一点,且ABM 的面积是ABC
23、面积的 ,则线段 AM 的长度是 ( )41A.5 B. C. D.85258529.设 e1,e2 是夹角为 450 的两个单位向量,且 a=e1+2e2,b=2e1+e2,则|a+b| 的值 ( )A. B.9 C. D.3 98310.若|a|=1,|b|= ,(a-b)a,则 a 与 b 的夹角为 ( )A.300 B.450 C.600 D.75011.把一个函数的图象按向量 a=( ,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为 y=sin(x+ )-3 62,则原函数的解析式为 ( )A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx12.在ABC 中， =c, = a, =b,则下列推导中错误的是 ( )ABCAA.若 ab0,则ABC 为钝角三角形 B. 若 ab=0,则 ABC 为直角三角形C. 若 ab=bc,则ABC 为等腰三角形 D. 若 c( a+b+c)=0,则ABC 为等腰三角形二、填空题小结归纳
