1、第五章第五章 拉普拉斯方程与泊松方程拉普拉斯方程与泊松方程5.1 二维拉普拉斯方程5.2 三维拉普拉斯方程5.3 泊松方程与格林函数先求其本征解。设函数 u(x,t) 具有变量分离形式：，则上述方程可以写为：5.1 二维拉普拉斯方程5.1.1 矩形区域的拉普拉斯方程其分布如下页左图所示，右图则为偏微分方程工具箱算出的结果。用偏微分方程工具箱求解 Laplace方程的步骤1、在 matlab命令窗中键入： pdetool2、在弹出界面中用第二行的左边 5个按钮之一 选定求解边界 .3、 用第二行的左边第 6个按钮 设定边界条件 .4、 用第二行的左边第 7个按钮 设定求解方程(如选椭圆形并设定系
2、数） .5、 用第二行的左边第 8、 9个按钮 剖分求解区域网格 .6、 用第二行的左边第 11个按钮 画图 .5.1.2 圆形区域拉普拉斯方程，阳光照射的圆柱其中： 半径为 a,表面熏黑的长圆柱体，在温度为零度的空气中受到垂直于柱轴的阳光照射，热流的强度为 q, 求柱内温度分布。因温度分布式稳定的，该问题的定界问题为：该问题的解析解为 ： %ex401(p91) clear;a=1; H=1.5; k=0.3; h=0.2; q=5; N=20;r=0:0.05:1; phi=0:pi/30:2*pi; TH,R=meshgrid(phi,r); %构造网格X,Y=pol2cart(TH,R
3、); u=q/H/pi+1/(k+H*a)*q/2*R.*sin(TH);for n=1:N dd=2*q/pi/a(2*n-1)/(2*n*k+a*H)/(1-4*n2);zz=dd*R.(2*n).*cos(2*n*TH); u=u+zz;end;figure(1);surfc(X,Y,u);figure(2);contour3(X,Y,u,20);求上述温度分布的程序如下，相应的分度分布如下页上面两图，用偏微分方程工具箱所得分布可作为对比5.1.3 云与大地之间的电缆带电的云与大地之间存在一个均匀的电场，平行与大地的电缆相当于一根无穷长导体。在平行于电场的方向作垂直于电缆的截面，研究该截面上的电势分布。该问题可以用如下方程加以描述：选择偏微分方程工具箱求解，注意：求解区域是两区域之差；区域内选择椭圆型方程。
