1、 前 言0（C+版）NOIP 复习资料主 编 葫芦岛市一高中 李思洋完成日期 2012 年 8 月 27 日前 言 1 前 言有一天，我整理了 NOIP 的笔记，并收集了一些经典算法。不过我感觉到笔记比较凌乱，并且有很多需要修改和补充的内容，于是我又搜集一些资料，包括一些经典习题，在几个月的时间内编写出了NOIP 复习资料。由于急于在假期之前打印出来并分发给同校同学（我们学校既没有竞赛班，又没有懂竞赛的老师。我 们大家都是自学党），NOIP 复习资料 有很多的错误，还有一些想收录而未收录的内容。在“减负”的背景下，暑期放了四十多天的假。于是我又有机会认真地修订NOIP 复习资料。我编写资料的目
2、的有两个：总结我学过（包括没学会）的算法、数据结构等知识；与同学共享 NOIP 知识，同时使我和大家的 RP+。大家要清醒地认识到，NOIP 复习资料页数多，是因为程序代码占了很大篇幅。这里的内容只是信息学的皮毛。对于我们来说，未来学习的路还很漫长。基本假设作为自学党，大家应该具有以下知识和能力： 能够熟练地运用 C+语言编写程序（或熟练地把 C+语言“翻译”成 Pascal语言）； 能够阅读代码，理解代码含义，并尝试运用； 对各种算法和数据结构有一定了解，熟悉相关的概念； 学习了高中数学的算法、数列、计数原理，对初等数论有一些了解； 有较强的自学能力。代码约定N、M 、 MAX、INF 是事
3、先定义好的常数（ 不会在代码中再次定 义，除非代 码是完整的程序）。N、M、MAX针对数据规模而言，比实际最大数据规模大；INF 针对取值而言，是一个非常大，但又与 int 的最大值有一定差距的数，如 100000000。对于不同程序，数组下标的下限也是不同的，有的程序是 0，有的程序是 1。阅读程序时要注意。阅读顺序和方法没听说过 NOIP，或对 NOIP 不甚了解的同学，应该先阅读附录 E，以加强对竞赛的了解。如果不能顺利通过初赛，你就应该先补习初赛知识。这本NOIP 复习资料总结的是复赛知识。如果没有学过 C+语言，应该先选择一本 C+语言教材。一般情况下，看到“面向对象编程”一章的前一
4、页就足够了（NOIP 不用“面向对象编程”，更不用 摆弄窗口 对话框）。附录 G 介绍了一些书籍和网站。你应该选择一本书，认真地学习。再选择一个网站，作为练习的题库。第一单元对竞赛中常用的操作和简单的算法分析进行了总结，算作对 C+语言的巩固。同时，阅读这一单元之后，你应该选择一个合适的 C+代码编辑器。第二到第六单元介绍了竞赛常用的算法。阅读每一章时，应该先阅读“小结”名曰“小结”，实际上是“导读”。这五个单元除了经典习题，还有某些思想和算法的具体实现方法。这些信息可能在明处，也可能在暗处，阅读时要注意挖掘和体会。如果有时间，应该在不看解析和代码的前提下独立完成这些题。第七单元是第六单元的一
5、个部分，由于它的内容来自背包九讲，所以单独放在一个单元。从第八单元开始，到第十三单元，基本上就没有习题了。换句话说，该“背课文”了。第八单元介绍了常用的排序算法。你可以有选择地学习，但一定要掌握“STL 算法”和“快速排序”。第九单元介绍了基本数据结构，你一定要掌握第九单元前五小节的内容（本单元也有应该优先阅读的“小结”）。有余力的话，第六小节的并查集也应该掌握。前 言2第十单元介绍了与查找、检索有关的数据结构和算法。你也可以有选择地学习。第十一单元与数学有关。数学对于信息学来说具有举足轻重的地位。标有“！”的应该背下来，至于其他内容，如果出题，你应该能把它解决。第十二单元仍与数学有关。第十三
6、单元是图论。学习时要先阅读“小结”，把概念弄清楚。之后要掌握图的实现方法。接下来要掌握一些经典图论算法：Kruskal 算法、Dijkstra 算法、 SPFA、Floyd 算法、拓扑排序。附录 F 总结了 2004 年以来 NOIP 考察的知识点，可以作为选择性学习的参考。在学习算法和数据结构的同时，应该阅读和学习附录 A。如果你还有余力，你应该学习第十四单元。第十四单元的内容不是必须要掌握的，但是一旦学会，可以发挥 C+语言的优势，降低编程复杂度。临近竞赛时，应该阅读附录 B 和附录 C，以增加经验，减少失误。面临的问题1. 这是复赛复习资料需要有人能用心总结、整理初赛的知识，就像这份资料
7、一样。2. 潜在的问题还是相当多的，只是时间不够长，问题尚未暴露。3. 部分代码缺少解说，或解说混乱。4. 个人语文水平较差，资料也是如此。5. 没有对应的 Pascal 语言版本。如果有人能为 P 党写一个 Pascal 版的 STL，他的 RP 一定会爆增！6. 希望有人能用 整理资料，并以自由文档形式发布。LA T E X最后，欢迎大家以交流、分享和提高为目的修改、复制、分发本资料，同时欢迎大家将资料翻译成 Pascal 语言版供更多 OIer 阅读！谢谢大家的支持！葫芦岛市一高中 李思洋2012 年 8 月 27 日目 录 I 目 录标题上的符号：1. !：表示读者应该熟练掌握这些内容
8、，并且在竞赛时能很快地写出来。换句话说就是应该背下来。2. *：表示内容在 NOIP 中很少涉及，或者不完全适合 NOIP 的难度。3. #：表示代码存在未更正的错误，或算法本身存在缺陷。前 言 .1目 录 .I第一单元 C+语言基础 .11.1 程序结构 .11.2 数据类型 .41.3 运算符 .61.4 函数 .81.5 输入和输出! .91.6 其他常用操作! .101.7 字符串操作! .131.8 文件操作! .131.9 简单的算法分析和优化 .141.10 代码编辑器 .16第二单元 基础算法 .172.1 经典枚举问题 .172.2 火柴棒等式 .182.3 梵塔问题 .19
9、2.4 斐波那契数列 .192.5 常见的递推关系! .202.6 选择客栈 .222.7 2k进制数 .232.8 Healthy Holsteins .242.9 小结 .25第三单元 搜索 .273.1 N 皇后问题 .273.2 走迷宫 .293.3 8 数码问题 .313.4 埃及分数 .343.5 Mayan 游戏 .363.6 预处理和优化 .403.7 代码模板 .413.8 搜索题的一些调试技巧 .433.9 小结 .44第四单元 贪心算法 .464.1 装载问题 .464.2 区间问题 .464.3 删数问题 .474.4 工序问题 .474.5 种树问题 .474.6 马
10、的哈密尔顿链 .474.7 三值的排序 .494.8 田忌赛马 .504.9 小结 .50第五单元 分治算法 .515.1 一元三次方程求解 .515.2 快速幂 .515.3 排序 .515.4 最长非降子序列 .535.5 循环赛日程表问题 .535.6 棋盘覆盖 .545.7 删除多余括号 .555.8 聪明的质监员 .565.9 模板 .585.10 小结 .59第六单元 动态规划 .606.1 导例：数字三角形 .606.2 区间问题：石子合并 .636.3 坐标问题 .656.4 背包问题 .676.5 编号问题 .676.6 递归结构问题 .686.7 DAG 上的最短路径 .7
11、16.8 树形动态规划* .726.9 状态压缩类问题：过河 .746.10 Bitonic 旅行 .766.11 小结 .77第七单元 背包专题 .787.1 部分背包问题 .787.2 0/1 背包问题! .787.3 完全背包问题 .797.4 多重背包问题 .797.5 二维费用的背包问题 .807.6 分组的背包问题 .817.7 有依赖的背包问题 .817.8 泛化物品 .817.9 混合背包问题 .827.10 特殊要求 .827.11 背包问题的搜索解法 .837.12 子集和问题 .84第八单元 排序算法 .858.1 常用排序算法 .858.2 简单排序算法 .878.3
12、线性时间排序 .888.4 使用二叉树的排序算法* .898.5 小结 .90第九单元 基本数据结构 .91目 录II9.1 线性表（顺序结构） .919.2 线性表（链式结构） .919.3 栈 .939.4 队列 .949.5 二叉树 .959.6 并查集! .999.7 小结 .102第十单元 查找与检索 .10410.1 顺序查找 .10410.2 二分查找 !.10410.3 查找第 k 小元素! .10510.4 二叉排序树 .10610.5 堆和优先队列 * .10810.6 哈夫曼（ Huffman）树 .11010.7 哈希（ Hash）表 .111第十一单元 数学基础 .1
13、1611.1 组合数学 .11611.2 组合数的计算 ! .11711.3 排列和组合的产生（无重集元素）! 11711.4 排列和组合的产生（有重集元素） .12011.5 秦九韶算法 .12211.6 进制转换（正整数） .12311.7 高精度算法（压位存储）! .12311.8 快速幂 ! .12811.9 表达式求值 .12911.10 解线性方程组 * .133第十二单元 数论算法 .13512.1 同余的性质 !.13512.2 最大公约数、最小公倍数! .13512.3 解不定方程 axby c!* .13512.4 同余问题 *.13612.5 素数和素数表 .13612.
14、6 分解质因数 .137第十三单元 图与图论算法 .13913.1 图的实现 .13913.2 图的遍历 .14113.3 连通性问题 .14213.4 欧拉回路 邻接矩阵 .14613.5 最小生成树 （MST） .14713.6 单源最短路问题 （SSSP 问题） .14813.7 每两点间最短路问题（APSP 问题）!.15213.8 拓扑排序 .15213.9 关键路径 .15513.10 二分图初步 .15713.11 小结 .160第十四单元 STL 简介 .16414.1 STL 概述 .16414.2 常用容器 .16414.3 容器适配器 .17014.4 常用算法 .171
15、14.5 迭代器 .17514.6 示例：合并果子 .175附录 A 思想和技巧 .177A.1 时间/空间权衡 .177A.2 试验、猜想及归纳 .177A.3 模型化 .177A.4 随机化* .178A.5 动态化静态 .178A.6 前序和! .179A.7 状态压缩* .180A.8 抽样测试法* .182A.9 离散化* .183A.10 Flood Fill* .184附录 B 调试 .185B.1 常见错误类型 .185B.2 调试过程 .185B.3 调试功能 .185B.4 符号 DEBUG 的应用 .186B.5 代码审查表 .186B.6 故障检查表 .187B.7 命
16、令行和批处理* .188附录 C 竞赛经验和教训 .192C.1 赛前两星期 .192C.2 赛前 30 分钟 .192C.3 解题表 .193C.4 测试数据 .195C.5 交卷前 5 分钟 .196C.6 避免偶然错误 .196C.7 骗分 .197附录 D 学习建议 .198D.1 学习方法 .198D.2 学习能力 .198D.3 关于清北学堂 .198附录 E 竞赛简介 .199E.1 从 NOIP 到 IOI.199E.2 NOIP 简介 .199E.3 常用语 .201E.4 第一次参加复赛 .202附录 F NOIP 复赛知识点分布 .204附录 G 资料推荐 .205G.1
17、 书籍 .205G.2 网站 .205参考文献 .206计算机专业是朝阳还是夕阳？ .207杜子德在 CCF NOI2012 开幕式上的讲话 209多数奥赛金牌得主为何难成大器 .210第单元 C+语言基础1 第单元 C+语言基础1.1 程序结构(1) 程序框架 注释：注释有两种，一种是“/”，另一种是“/* */”。“/ ”必须单独放置一行，或代码所在行的后面；而“/*”、“*/ ”成对存在，可以插入到代码的任意位置。 引用头文件：在代码开头写“#include ”。如果想引用自己的头文件，需要把尖括号（表示只从系统目录搜索头文件）换成双引号（表示先从 cpp所在文件夹搜索，然后再到系统文件
18、夹搜索）。 命名空间：很多 C+的东西都要引用 std 命名空间，所以代码中会有“using namespace std;”。 main()：所有程序都要从 main()开始。在所有的算法竞赛中，main()的返回值必须是 0，否则视为程序异常结束，得分为 0 分。 语句和语句块：1. 语句：一般情况下，一条语句要用一个分号“;”结束。为了美观和可读性，可以把一条语句扩展成几行，也可以把多个语句写到同一行上。2. 语句块：用“”和“”包围的代码是语句块。无论里面有多少代码，在原则上，语句块所在的整体都视为一条语句。(2) 选择结构1. if 语句： if 表示判断。如果条件为真，就执行接在 i
19、f 后的语句（语句块），否则执行 else 后的语句（语句块）。如果没有 else，就直接跳过。if 有以下几种格式：if (条件) / 如果条件成立，就执行 if后面的语句或语句块。语句或语句块if (条件) / 如果条件成立，就执行 if后面的 A，否则执行B。语句或语句块Aelse语句或语句块Bif (条件1) / 实际上，这是 if语句内的if语句，即if的嵌套。所以else和if中间要有空格。语句或语句块Aelse if (条件 2)语句或语句块Belse语句或语句块N2. switch 语句：switch 表示选择。它根据条件的不同取值来执行不同的语句。格式如下：switch (表
20、达式 )case 值 1:代码段Abreak;case 值 2:代码段Bbreak;default:第单元 C+语言基础2代码段Nbreak;如果表达式的值是值 1，就执行代码段 A；如果表达式的值是值 2，就执行代码段 B否则执行代码段N。注意： default 一部分可以省略。 如果不使用 break，那么紧随其后的 case 部分代码也会被执行，直到遇到 break 或 switch 语句结束为止！ switch 结尾要有一个分号。3. if、switch 都可以嵌套使用。【问题描述】输入一个日期，判断它所在年份是否为闰年，并输出所在月份的天数。闰年的判断方法：四年一闰，百年不闰，四百年
21、又闰。int year,month,day;bool b=false;cinyearmonthday;/ 判断是否为闰年if (n%400=0)b=true;else if (n%100!=0 if (b)cout ”，还是“=”。 逆序循环时，不要把自减“-”写成自增“+ ”！【问题描述】输入 n，输出 n!（n! 123 4n）。结果保证小于 long long 的范围。当输入值为负数时结束程序。int n;long long r=1;cinn;while (n-1)r=1;for (int i=1; in;(4) goto 语句goto 语句用于无条件跳转。要想跳转，首先要定义标签（在代
22、码开头的一段标识符，后面紧跟冒号），然后才能 goto 那个标签。很多教程不提倡使用无条件跳转，因为它破坏了程序结构，还容易给代码阅读者带来麻烦。不过，这不代表 goto 没有使用价值。 goto 的一个用途是跳出多层循环：for (int i=0; i应该改成。 C 程序运行速度稍优于 C+。不过也没快多少。总之，C 能做的一切事情， C+也能做；C+能做的一切事情，C 不一定能做。1.2 数据类型(1) 基本数据类型名称 占用空间 别名 数据范围int 4 signed, signed int,long, long int2,147,483,6482,147,483,647unsigned
23、 int1 4 unsigned, unsignedlong,unsigned long int04,294,967,295char 1 char 128127unsigned char 1 unsigned char 0255short2 2 short int,signed short int32,76832,767unsigned short 2 unsigned short int 065,535long long3 8 signed long long 9,223,372,036,854,775,8089,223,372,036,854,775,8074unsigned long l
24、ong8 018,446,744,073,709,551,615bool 1 true 或 falsechar 1 128127signed char 1 128127unsigned char 1 0255float 4 3.4E +/- 38 (7 位有效数字 )double 8 long double 1.7E +/- 308 (15 位有效数字 )1 一般都使用有符号整数，除非范围不够大，或者你确定你的减法运算不会出现“小数减大数”。2 一般来说，使用 int、long long 更保险一些，除非内存不够用。3 不要使用 “_int64”！它是 Visual C+特有的关键字。4 假如
25、 a 是 long long 类型，把超过 231的值赋给它时要使用字面值 LL（ULL ）：a=123456789012345LL。第单元 C+语言基础5 (2) 变量与常量1. 定义变量：“变量类型 标识符”，如“int i;”定义了一个名字为 i 的整型变量。注意，此时 i 并未初始化，所以 i 的值是不确定的。2. 定义常量：“const 变量类型 标识符=初始值”，如：const int N=90;3. 合法的标识符： 标识符不能和关键字（在 IDE中会变色的词语）相同。 标识符只能包括字母、数字和下划线“_”，并且开头只能是字母或下划线。 标识符必须先定义后使用。 在同一作用域内，
26、标识符不能重复定义（即使在不同作用域内也不应重复，否则容易产生歧义）。 C+区分大小写。所以 A 和 a 是两个不同的标识符。(3) 数组1. 定义一个一维数组：int a10;这个数组一共 10 个元素，下标分别为 09。访问某个元素时，直接用 a 加方括号，如 a5。2. 定义一个二维数组：int b53;这个数组一共 5315 个元素，分别是 b00、b01、b02、b10b42 。访问某个元素时要用两个方括号，如 b21。多维数组的定义和使用方法与此类似。3. 数组名和元素的寻址：以上面的 a、b 为例 数组名是一个指针，指向整个数组第一个元素所在的地址。如 a 就是定义多个指针时，每个字母的前面都要有“*”。注意，如果 p 没有被初始化，它就会指向一个未知的内存空间，而错误地操作内存会导致程序崩溃！4. 指针使用实例：int a = 0, b = 1; int c = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;int *p; / 定义一个指针p= / 让p指向a(*p)=3; / 相当于a=3
