1、1圆梦教育中心 立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究1 球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图 1 所示，正方体 ,设正方体的棱长为 ， 为棱的中点，1DCBAaGHFE,为球的球心。O常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 和其内切圆，则 ；2arJ二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 和其外接圆，则 ；EFHGaROG2三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 和其外接圆，则 .1AC231aA通过这三种类型
2、可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 。例 1 棱长为 1 的正方体 1ABCD的 8 个顶点都在球 O的表面上， EF， 分别是棱 A， D的中点，则直线 EF被球 O截得的线段长为（ ）2A 2 B 1 C 21D 21.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为 ,abc其体对角线为 l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径
3、 22.lcR例 2 在长、宽、高分别为 2，2，4 的长方体内有一个半径为 1 的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ) A. B.4 C. D.103 83 731.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法。设正三棱柱 的高为 ，底面边长为 ，1CBAha如图 2 所示， 和 分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高D1的中点 ， ，借助直角三角形 的勾股定理，可求1OaADRh3,2 OD3。223ahR例 3 正四棱柱 1ABCD的各顶点都在半径为 R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值
4、，为 .2 球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。如图 4，设正四面体 的棱长为 ，内切球半径为 ，外接球的半径为 R，取ABCSar的中点为 ， 为 在底面的射影，连接 为正四面体的高。在截面三角形ABDESEDC,4,作一个与边 和 相切，圆心在高 上的圆，即为内切球的截面。SDCSDCSE因为正四面体
5、本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为 。此时， O则有2233aRrarCE， =，解得：,3,2, aESrOERS6,.412ar这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心 O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例 4 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )A. 326 B. 2+263 C. 4+263 D. 4326球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的 3 倍.2.2 球与三条
6、侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：5一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图 5，三棱锥 的外接球的球心和正方体11DAB的外接球的球心重合，设 ，则 。1DCBA aA1aR23二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心， （ 为长方体的体对角线长） 。4222lcba例 5 在正三棱锥 SABC中， MN、 分别是棱 SCB、 的中点，且
7、 AMN,若侧棱 23SA,则正三棱锥 外接球的表面积是 。2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，6一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径 R这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例 6 在三棱锥 PABC 中，PAPB=PC= 3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A B. 3 C. 4 D. 32.4 球
8、与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解。例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。7如图 8，三棱锥 ,满足 面 ， ，取 的中点为 ，由直角三角形的ABCSSABCSCO性质可得： ,所以 点为三棱锥 的外接球的球心,则 2SCR. OAB例 7 矩形 ABCD中， 4,3,BC沿 A将矩形 BCD折成一个直二面角 BACD,则四面体 的外接球的体积是( )A. 125 B. 9125 C. 6125 D. 31253 球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空
9、间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例 8 在半径为的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球的半径的最大值为（）84 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24ra.例 8 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A. B. C. D. cm
10、310c10cm210c309综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.10外接球内切球问题1. （陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱
11、锥的体积是（ ）A 43 B 3 C 43 D 123 答案 B2. 直三棱柱 1CA的各顶点都在同一球面上，若 1ABC, 120BAC，则此球的表面积等于 。 解:在 B中 2, 120BC,可得 23C,由正弦定理,可得 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O，球心为 ，在 RTOB中，易得球半径 5R，故此球的表面积为 240R. 3正三棱柱 1ABC内接于半径为 2的球，若 ,A两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 答案 84.表面积为 23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B 13 C 23 D 23答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以由2384a知，1a，则此球的直径为 2，故选 A。5.已知正方体外接球的体积是 3，那么正方体的棱长等于（ ）A.2 2 B. C. 324 D. 34
