1、1第一章习题详解1 求下列复数 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：z1) i23解： 13249231iiiii 实部： 1iRe虚部： 32iIm共轭复数： 12ii模： 3312i辐角： karctgkarctgkiiArg 2321321 arg2) i13解： 25213132 iiiiiii 实部： iRe虚部： 2513iIm共轭复数： ii模： 2342531i辐角： karctgkarctgkiiArg 2352351 arg23) i2543解： 267276iiii 实部： 543iRe虚部： 13262iIm共轭复数： 7543ii模： 295622i辐角： karctg
2、karctgiArg 27627543 4) ii218解： ii3144实部： 218iRe虚部： iIm共轭复数： ii31428模： 021辐角： karctgkarctgkiiiiArg 23213244218218 arg2 当 、 等于什么实数时，等式 成立？xy iiyx35解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： iiii 8213182yxyx即 、 时，等式成立。133 证明虚数单位 有这样的性质：i ii1证明： ii21i0i14 证明1) z2证明：设 ，则iyxiyxz2222 yxz yiiyz22) 2121z证明：设 ， ，则有：iyx2iyxz
3、21212121121 yixyixz 2yiyiy2121zz3)证明：设 ， ，则有：11ierz22ierz212121 21212 iiii erer211211 iiiiirez212z4) 0221z,证明：设 ， ，则有：11ier22ierz2121212 iii erz421212121 iii ererrz1z5) z证明：设 ，则有iyxziyxz6) iz2121Im,Re证明：设 ，则iyxzyzxiiRezyiyizi Im21215 对任何 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些 值才成立？, z解：设 ，则有：iyxz222 yxi2222 yxiyiy
4、xz 2z00故当 ，即 是实数时， 成立。0yiyx2z6 当 时，求 的最大值，其中 为正整数， 为复数。1zaznna解： an即z1nzazn1azn1的最大值是na7 判定下列命题的真假：1) 若 为实常数，则 ；cc解：真命题。因为实数的共轭复数就是它本身。2) 若 为纯虚数，则 ；zz解：真命题。设 ，则 ，显然 。0yiiyz53) ；i2解：假命题。两个不全为实数的复数不能比较大小。4) 零的幅角是零解：假命题。复数 的幅角是任意的，也是无意义的。05) 仅存在一个数 ，使得 ；zz1解：假命题。有两个数 ，使 成立。i,z16) ；2121zz解：假命题。设有两个数 ，使
5、不成立。izi21, 2121zz7) iz解：真命题。 izi18 将下列复数化为三角表示式和指数表示式：1) i解： ，1r2iargieiisnco2) 1解： ，r1argieisnco3) 31i解： ，2ir3131arctgiarg331ieiisnco4) 0is解： 222111 sincossincosnco r 22 22ics62421222 sinsisinco 21 tgarcrctgatarctgiosiarg 22221 ieii snnsincos另： 12cosiisicoi 2222 ieii nsncoinssni另： sicosisicoico 000
6、1 i2222202 ieii nnsiconsini5) i1解： iii 122，r 41argarargi2421ieii sncos6) 3sin3c5解： 10252iieoiieii 9333 sncossc195191032 sincoinoeii 9 将下列坐标公式写成复数的形式：1) 平移公式： 1byax解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得： 11iaixi7即： Az12) 旋转公式： cossini11yxy解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得： 111111 ixyixiyiix sncosnco11iiyxyss ieyii
7、11cizz1sno10 一个复数乘以 ，它的模与辐角有何改变？i解：设 ire2i2iireriz即：一个复数乘以 ，它的模不变，辐角减小 。211 证明： ，并说明其几何意义。212121 zzz证明： 21222211zz2122221 zz 11zz212221 zz 几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的 2 倍。12 证明下列各题：1) 任何有理分式函数 可以化为 的形式，其中 与 为具有实系数的 与 的有zQPRiYXXYxy理分式函数；证明：设 ，则：yxiz,， ivuP11 yxivuz,22其中， ， ， ， 皆为关于 的实系数多项式。y,2yx
8、,18iYXvuivuiiyxivuzQP 22112212211,其中： ， 21X21YiYzQPR为具有实系数的关于 的有理分式函数。Y, yx,2) 如果 为 1)中的有理分式函数，但具有实系数，那么 ；zR iXz证明：因为 为具有实系数的有理分式函数，所以212211 vuiiyxivuzQPz ,iYXvui2112其中： ，21X21vu3) 如果复数 是实系数方程 的根，那么 也是它的根。iba 0110 nnazza iba证明：令 nzzf110因为 是方程 的根， ifibfif又因为的系数为实数， ibafia因此 。即 也是方程 的根。即实系数多项式的复根必共轭成对
9、出现。0ibafb0zf13 如果 ，证明：itez1) ntncos21证明： iteznttinttinteenititn cosscoscointit 211 2) tizns2证明： ite9ntitinttinteeznititn sscoscointit 211 14 求下列各式的值：1) 53i解： 62ie iiei ii 163653236555 snco2) 61i解： 42ieiiieiii 82382123466 snco3) 6解： ie1ni2616543210,即： ， ， ， ， ，iw30i1iw212iw213iw4i2154) 31i解： 42ienii2
10、31631210,即： ， ，120sicoewi 127261761 sincoewi4564562 insi15 若 ,试求 的值。nnii1解： 10 42421 niii nn scosnco iii nn4sisi04si k4kn4,210161) 求方程 的所有根；083z解： 338iez32niez10,即： ， ，0ii 2iez 3135iezi2) 求微分方程 的一般解。8y解：微分方程 的特征方程为： 。由前题得： ， ，0 083r0ir21r312ir微分方程 有三个线性无关的特解： ， ，8y xiey310xey21xiey31微分方程 有三个线性实数特解： ， ，0 xcossin一般解为： cecyx3221 inos Rc321,17 在平面上任意选一点 ，然后在复平面上画出下列各点的位置：z zz1,解：18 已知两点 与 （或已知三点 ） ，问下列各点 位于何处？1z2321,zz1) ；21解： 位于 与 连线的中点。z12z2) ，其中 为实数；解： 位于 与 连线上，其中 。z12z21z
