1、第六章 圆第二十三讲 圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、 圆的定义及性质：1、 圆的定义：形成性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段 OA 叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的 叫做弦弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类 3、圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的 弦，弦不一定是直径；3、圆
2、不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、 垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距） 。3、垂径定理常用作计算，在半径 r、弦 a、弦心 d 和弓高 h 中已知其中两个量可求另外两个量。 】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心
3、角2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、 圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论 1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论 2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 ，90 0 的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有 个，是 类，它们的关系是 ，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、 圆内接四边形：
4、定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做 。性质：圆内接四边形的对角 。【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】【重点考点例析】考点一：垂径定理例 1（2015舟山）如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O于点 E，连结 EC若 AB=8，CD=2，则 EC 的长为（ ）A2 B8 C2 D25 1013对应训练1（2015南宁）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且AE=CD=8，BAC= BOD，则O 的半径为（ ）12A4 B5 C4 D32考点二：圆周角定理例 2 （2015 自贡）如图，在平面直角坐标系中
5、，A 经过原点 O，并且分别与 x 轴、y轴交于 B、C 两点，已知 B（ 8，0） ，C （0，6） ，则A 的半径为（ ）A3 B4 C5 D8对应训练2 （2015珠海）如图，ABCD 的顶点 A、B、D 在O 上，顶点 C 在O 的直径 BE 上，ADC=54，连接 AE，则AEB 的度数为（ ）A36 B46 C27 D63【2016 中考名题赏析】1.(2016 兰州，10,4 分)如图，四边形 ABCD 内接于 O, 四边形 ABCO 是 平行四边形，则 ADC= （）（A）45 （B) 50(C) 60 (D) 752. (2016四 川 自 贡 )如图， O 中，弦 AB 与
6、 CD 交于点 M，A=45 ，AMD=75 ，则B 的度数是（ ）A15 B25 C30 D753. （2016四川成都3 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，若 OCA=50，AB=4，则 的长为（ ）A B C D 4. （2016四川达州3 分）如图，半径为 3 的A 经过原点 O 和点 C（0，2） ，B 是 y 轴左侧A 优弧上一点，则 tanOBC 为（ ）A B2 C D5 （2016山东烟台）如图，O 的半径为 1，AD，BC 是O 的两条互相垂直的直径，点P 从点 O 出发（ P 点与 O 点不重合） ，沿 OCD 的路线运动，设 AP=x，sin APB=y，
7、那么 y 与 x 之间的关系图象大致是（ ）A B C D6（2016 山东省聊城市，3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，F 是 上一点，且 =，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC若ABC=105 ， BAC=25，则E 的度数为（ ）A45 B 50 C55 D60 7 （2016.山东省泰安市，3 分）如图，ABC 内接于 O，AB 是O 的直径， B=30，CE 平分ACB 交O 于 E，交 AB 于点 D，连接 AE，则 SADE：S CDB 的值等于（ ）A1： B1： C1：2 D2：38（2016黑龙江大庆）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=
8、10 ，一圆弧过点 B 和点C，且与 AD 相切，则图中阴影部分面积为 2 （2016湖北鄂州）如图，AB6，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，1120，P 是直线 l 上一点。当APB 为直角三角形时，AP .【真题过关】一、选择题1 （2015厦门）如图所示，在O 中， ，A=30 ，则B=（ ）ABCA150 B75 C60 D151B2 （2015昭通）如图，已知 AB、CD 是O 的两条直径，ABC=28，那么BAD=（ ）A28 B42 C56 D843（2015湛江）如图，AB 是O 的直径，AOC=110，则D=（ ）A25 B35 C55 D703B4（2015宜昌
9、）如图，DC 是O 直径，弦 ABCD 于 F，连接 BC，DB，则下列结论错误的是（ ）A BAF=BF COF=CF DDBC=90D4C5（2015温州）如图，在O 中，OC弦 AB 于点 C，AB=4 ，OC=1 ，则 OB 的长是（ ）A B C D3515176 （2015兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8cm，水面最深地方的高度为 2cm，则该输水管的半径为（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm7（201徐州）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 P若 CD=8，OP=3，则O 的半径为（ ）A10 B8 C5 D38
10、（2015温州）在ABC 中，C 为锐角，分别以 AB，AC 为直径作半圆，过点B，A，C 作 ，如图所示若 AB=4，AC=2，S 1-S2= ，则 S3-S4 的值是（ ）A B C D 294234459（2015南通）如图RtABC 内接于O ，BC 为直径，AB=4，AC=3 ，D 是 的AB中点，CD 与 AB 的交点为 E，则 等于（ ）DA4 B3.5 C3 D2.89C10（2015乐山）如图，圆心在 y 轴的负半轴上，半径为 5 的B 与 y 轴的正半轴交于点A（0， 1） ，过点 P（0，-7）的直线 l 与B 相交于 C，D 两点则弦 CD 长的所有可能的整数值有（ ）
11、A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10C11（2015安徽）如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆O 上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）A当弦 PB 最长时， APC 是等腰三角形B当APC 是等腰三角形时，POACC当 POAC 时，ACP=30D当ACP=30时，BPC 是直角三角形二、填空题12（2015张家界）如图，O 的直径 AB 与 弦 CD 垂直，且BAC=40，则BOD= 13（2015盐城）如图，将O 沿弦 AB 折叠，使 经过圆心 O，则OAB= AB14 （2015绥化）如图，在O 中，弦 AB 垂直平分半径 OC，垂足为 D，若O 的半径为 2，则弦 AB
12、的长为 15（2015株洲）如图 AB 是O 的直径，BAC=42 ，点 D 是弦 AC 的中点，则DOC 的度数是 度16（2015扬州）如图，已知O 的直径 AB=6，E、F 为 AB 的三等分点，M、N 为上两点，且MEB=NFB=60，则 EM+FN= AB17（2015广州）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，P 与 x 轴交于 O，A 两点，点 A 的坐标为（6，0） ，P 的半径为，则点 P 的坐标为 1318 （2015娄底）如图，将直角三角板 60角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与O 相交于 A、B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点
13、（与 A、B 不重合） ，则APB= 三、解答题19（2015深圳）如图所示，该小组发现 8 米高旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动小刚身高 1.6 米，测得其影长为2.4 米，同时测得 EG 的长为 3 米，HF 的长为 1 米，测得拱高（弧 GH 的中点到弦 GH 的距离，即 MN 的长）为 2 米，求小桥所在圆的半径20（2015资阳）在O 中， AB 为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连结 CD（1）如图 1，若点 D 与圆心 O 重合，AC=2 ，求O 的半径 r；（2）如图 2，若
14、点 D 与圆心 O 不重合，BAC=25，请直接写出DCA 的度数21（2015贵阳）已知：如图，AB 是O 的弦，O 的半径为 10，OE 、OF 分别交 AB于点 E、F，OF 的延长线交O 于点 D，且 AE=BF， EOF=60（1）求证：OEF 是等边三角形；（2）当 AE=OE 时，求阴影部分的面积 （结果保留根号和 ）22（2015黔西南州）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 与点 E，点 P 在O 上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若 BC=3，sinP= ，求O 的直径35第二十四讲 与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、 点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有
15、种，若圆的半径为 r 点 P 到圆心的距离为 d则：点 P 在圆内 点 P 在圆上 点 P 在圆外 2、 过三点的圆：过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的 。三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等【名师提醒：锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 钝角三角形的外心在三角形 】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，直线和圆没有公共点时，
16、叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线。2、设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则：直线 l 与O 相交d r,直线 l 与O 相切d r直线 l 与O 相离d r3、 切线的性质和判定：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离 d=r 来判定相切】4、 切线长定理：切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长
17、。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角5、 三角形的内切圆：与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 三角形内心的形成：是三角形 的交点内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 【名师提醒：三类三角形内心都在三角形 若ABC 三边为 a、b、c 面积为 s，内切圆半径为 r，则 s= ，若ABC 为直角三角形，则 r= 】三、 圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有 种，若O 1 半径为 R，O 2 半径为 r，圆心距为 d，则O 1 与O 2 外离 O 1 与O 2 外切 O 1 与O 2 相交
18、 O 1 与O 2 内切 O 1 与O 2 内含 【名师提醒：两圆相离（无公共点）包含 和 两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆 此时 d= 】四、 反证法：假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法证题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】考点一：切线的性质例 1 （2015义乌）已知直线 PD 垂直平分O 的半径 OA 于点B，PD 交O 于点 C、D，PE 是O 的切线，E 为切点，连结AE，交 CD 于点 F（1）若O 的半径为 8，求 CD 的长；（2）证明：PE=PF ；（3）若 PF=13，sinA= ，求 EF 的长513对应训练1 （2015扬州）如图，ABC 内接于O ，弦 ADAB 交 BC 于点 E，过点 B 作O 的切线交 DA 的延长线于点 F，且ABF=ABC（1）求证：AB=AC；（2）若 AD=4，cos ABF= ，求 DE 的长45考点二：切线的判定例 2 （2015 自贡）如图，点 B、C 、D 都在O 上，过点 C 作ACBD 交 OB 延长线于点 A，连接 CD，且CDB= OBD=30，
