1、1一元一次方程经典应用题类型知能点 1：市场经济、打折销售问题（1）商品利润商品售价商品成本价 （2）商品利润率 100%个（3）商品销售额商品销售价商品销售量（4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量（5）商品打几折出售，就是按原价的 百分之几十 出售，如商品打 8 折出售，即按原价的 80%出售1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价 60 元一双，八折出售后商家获利润率为 40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？2. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？3.一家商
2、店将一种自行车按进价提高 45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利 50 元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是 x 元，那么所列方程为（ ）A.45%（1+80% ）x-x=50 B. 80%（1+45%）x - x = 50C. x-80%（1+45%）x = 50 D.80%（1-45% ）x - x = 504某商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于 5%，则至多打几折5一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高 40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠” 经顾客投拆后，拆法部门按已得非
3、法收入的 10 倍处以每台 2700 元的罚款，求每台彩电的原售价知能点 2： 方案选择问题6某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元， 经粗加工后销售，每吨利润可达 4500 元，经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元，当地一家公司收购这种蔬菜 140 吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 吨，如果进行精加工，每天可加工 6 吨， 但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进
4、行加工的蔬菜， 在市场上直接销售方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好 15 天完成你认为哪种方案获利最多？为什么？8某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。 （1）某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 30.72 元，求 a（2）若该用户九月份的平均电费为 0.36 元，则九月份共用电多少千瓦时？ 应交电费是多少元？29某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机已知该厂家生产 3种不同型号的电视机，出厂价分别为 A 种每台 1500 元，B 种每台 2100 元，C 种每台 2500
5、 元（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案（2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B 种电视机可获利 200 元， 销售一台 C 种电视机可获利 250 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？10.小刚为书房买灯。现有两种灯可供选购，其中一种是 9 瓦的节能灯，售价为 49 元/盏，另一种是 40 瓦的白炽灯，售价为 18 元/盏。假设两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到 2800 小时。已知小刚家所在地的电价是每千瓦时 0.5 元。(1).设照明时间是 x 小时
6、，请用含 x 的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。 （费用=灯的售价+电费）(2).小刚想在这种灯中选购两盏。假定照明时间是 3000 小时，使用寿命都是 2800 小时。请你设计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由。知能点 3 储蓄、储蓄利息问题(1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税(2）利息= 本金 利率期数 本息和=本金+利息 利息税= 利息税率（20%）(3） %,10本 金每 个 期 数 内 的 利 息利 润11. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，
7、存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）12. 为了准备 6 年后小明上大学的学费 20000 元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：(1）直接存入一个 6 年期；(2）先存入一个三年期，3 年后将本息和自动转存一个三年期；(3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？13小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券 4500 元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约 4700 元，问这种债券的年利率是多少（精确到 0.01%） 14 （北京海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每
8、件 8 元，销售价是每件 10 元（销售价与进价的差价 2 元就是卖出一件商品所获得的利润） 现为了扩大销售量， 把每件的销售价降低 x%出售， 但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的 90%，则 x 应等于（ ） A1 B1.8 C2 D10一年 2.25三年 2.70六年 2.88315.用若干元人民币购买了一种年利率为 10% 的一年期债券，到期后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券（利率不变） ，到期后得本息和 1320 元。问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元？知能点 4：工程问题工作量工作效率工作时间 工作效率工作量工作时间工作时间工
9、作量工作效率 完成某项任务的各工作量的和总工作量116. 一件工作，甲独作 10 天完成，乙独作 8 天完成，两人合作几天完成？17. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 18. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ 19.一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需 4
10、小时，甲先做 30 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？20.某车间有 16 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个在这 16 名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件 已知每加工一个甲种零件可获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利 24元若此车间一共获利 1440 元， 求这一天有几个工人加工甲种零件21.一项工程甲单独做需要 10 天，乙需要 12 天，丙单独做需要 15 天，甲、丙先做 3 天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？知能点 5：若干应用问题等量关系的规律（1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示
11、相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。 增长量原有量增长率 现在量原有量增长量（2）等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变圆柱体的体积公式 V=底面积高S h r2h长方体的体积 V长宽高abc22.某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的 3 倍，如果从第一个仓库中取出 20 吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的 。问每个仓库各有多少粮食？7523.一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80毫米的长方体铁盒中的水
12、，倒入一个内径为200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到 0.1 毫米， 3.14） 24.长方体甲的长、宽、高分别为 260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为 130130mm2，又知甲的体积是乙的体积的 2.5 倍，求乙的高？4知能点 6：行程问题基本量之间的关系： 路程速度时间 时间路程速度 速度路程时间（1）相遇问题 （2）追及问题 快行距慢行距原距 快行距慢行距原距（3）航行问题 顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系25. 甲、乙两站相
13、距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140公里。 （1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 26. 甲乙两人在同一道
14、路上从相距 5 千米的 A、B 两地同向而行，甲的速度为 5 千米/小时，乙的速度为 3 千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为 15 千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？27. 某船从 A 地顺流而下到达 B 地，然后逆流返回，到达 A、B 两地之间的 C 地，一共航行了 7 小时，已知此船在静水中的速度为 8 千米/时，水流速度为 2 千米/ 时。 A、C 两地之间的路程为 10 千米，求 A、B 两地之间的路程。 29已知甲、乙两地相距 120 千米，乙的速度比甲每小时快 1 千米，甲先从 A 地出
15、发 2 小时后，乙从 B 地出发，与甲相向而行经过 10 小时后相遇，求甲乙的速度？30一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以 18 米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为 14 米/分。问：若已知队长 320 米，则通讯员几分钟返回？ 若已知通讯员用了 25 分钟，则队长为多少米？32一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要 4 小时，逆水航行需要 5 小时，水流的速度为 2 千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。知能点 7：数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为c（其中 a、b、c 均为整数，且
16、1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n 表示，连续的偶数用2n+2 或 2n2 表示；奇数用 2n+1 或 2n1 表示。33. 一个三位数，三个数位上的数字之和是 17，百位上的数比十位上的数大 7，个位上的数是十位上的数的3 倍，求这个三位数.34. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数5注意：虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实
17、际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，答案1.分析 通过列表分析已知条件，找到等量关系式 进价 折扣率 标价 优惠价 利润率60 元 8 折 X 元 80%X 40%等量关系：商品利润率=商品利润/商品进价 解：设标价是 X 元， 0%6401x解之：x=105 优惠价为 ),(858元2. 分析探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 X 元进价 折扣率 标价 优惠价 利润X 元 8
18、折 （1+40%）X 元 80%（1+40%）X15 元等量关系：（利润=折扣后价格进价）折扣后价格进价=15解：设进价为 X 元，80%X（1+40%）X=15，X=125答：进价是 125 元。3.B4解：设至多打 x 折，根据题意有 100%=5% 解得 x=0.7=70%1208x答：至多打 7 折出售5解：设每台彩电的原售价为 x 元，根据题意，有 10x（1+40%）80%-x=2700 ，x=2250答：每台彩电的原售价为 2250 元6.解：方案一：获利 1404500=630000（元）方案二：获利 1567500+（140-15 6）1000=725000（元）方案三：设精
19、加工 x 吨，则粗加工（140-x）吨依题意得 =15 解得 x=60140获利 607500+（140-60 ）4500=810000（元）因为第三种获利最多，所以应选择方案三7.解：（1）y 1=0.2x+50，y 2=0.4x（2）由 y1=y2 得 0.2x+50=0.4x，解得 x=250即当一个月内通话 250 分钟时，两种通话方式的费用相同6（3）由 0.2x+50=120，解得 x=350 由 0.4x+50=120，得 x=300因为 350300 故第一种通话方式比较合算8.解：（1）由题意，得 0.4a+（84-a）0.4070%=30.72 解得 a=60（2）设九月份
20、共用电 x 千瓦时，则 0.4060+（x-60）0.4070%=0.36x 解得 x=90所以 0.3690=32.40（元）答：九月份共用电 90 千瓦时，应交电费 32.40 元9解：按购 A，B 两种，B， C 两种，A ，C 两种电视机这三种方案分别计算，设购 A 种电视机 x 台，则 B 种电视机 y 台（1）当选购 A，B 两种电视机时，B 种电视机购（50-x）台，可得方程1500x+2100（50-x）=90000 即 5x+7（50-x）=300 2x=50 x=25 50-x=25当选购 A，C 两种电视机时，C 种电视机购（50-x）台，可得方程 1500x+2500（
21、50-x）=90000 3x+5（50-x）=1800 x=35 50-x=15当购 B，C 两种电视机时，C 种电视机为（50-y）台可得方程 2100y+2500（50-y ）=90000 21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意由此可选择两种方案：一是购 A，B 两种电视机 25 台；二是购 A 种电视机 35 台，C 种电视机 15 台（2）若选择（1）中的方案，可获利 15025+25015=8750（元）若选择（1）中的方案，可获利 15035+25015=9000（元）90008750 故为了获利最多，选择第二种方案10.答案：0.005x+49 2000 11.
22、分析 等量关系：本息和=本金（1+利率）解：设半年期的实际利率为 X，依题意得方程 250（1+X）=252.7， 解得 X=0.0108所以年利率为 0.01082=0.0216 答：银行的年利率是 2.16%为了准备 6 年后小明上大学的学费 20000 元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：(1）直接存入一个 6 年期；(2）先存入一个三年期，3 年后将本息和自动转存一个三年期；(3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？12. 分析 这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，
23、再进行比较。解：(1）设存入一个 6 年的本金是 X 元,依题意得方程一年 2.25三年 2.70六年 2.887X（1+62.88%）=20000 ，解得 X=17053(2）设存入两个三年期开始的本金为 Y 元，Y（1+2.7%3）(1+2.7%3）=20000，X=17115(3）设存入一年期本金为 Z 元 ，Z（1+2.25%） 6=20000，Z=17894所以存入一个 6 年期的本金最少。13解：设这种债券的年利率是 x，根据题意有4500+45002x（1-20%）=4700 ， 解得 x=0.03答：这种债券的年利率为 314C 点拨：根据题意列方程，得（10-8）90%=10
24、（ 1-x%）-8，解得 x=2，故选 C15. 22000 元 16. 分析 甲独作 10 天完成，说明的他的工作效率是 乙的工作效率是,10,81等量关系是：甲乙合作的效率合作的时间=1解：设合作 X 天完成, 依题意得方程 940)8(xx解 得答：两人合作 天完成 94017. 分析 设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量 +乙完成工作量= 工作总量。 解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得， 53623)5( xx解 之 得答：乙还需 天才能完成全部工程。53618. 分析 等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1 。 解：设打开丙管后 x 小时
25、可注满水池， 由题意得， 1342019)2(816 x解 这 个 方 程 得答：打开丙管后 小时可注满水池。 3419.解：设甲、乙一起做还需 x 小时才能完成工作根据题意，得 +（ + ）x=1 解这个方程，得 x= =2 小时 12 分1621415答：甲、乙一起做还需 2 小时 12 分才能完成工作20.解：设这一天有 x 名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有 5x 个，乙种零件有 4（16-x）个 根据题意，得 165x+244（16-x ）=1440 解得 x=6答：这一天有 6 名工人加工甲种零件21. 设还需 x 天。 310)3(1520152310 xxx 解 得或82
26、2.设第二个仓库存粮 xx吨 ， 则 第 一 个 仓 库 存 粮 吨 ， 根 据 题 意 得3903020)3(75 解 得23.解：设圆柱形水桶的高为 x 毫米，依题意，得 （ ） 2x=30030080 x229.3答：圆柱形水桶的高约为 229.3 毫米24.设乙的高为 xm,根 据 题 意 得 301305.315026 解 得25. （1）分析：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480 公里。 解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390,236x答：快车开出 小时两车相遇1分析：相背而行，
27、画图表示为： 等量关系是：两车所走的路程和+480 公里=600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(140+90)x+480=600 解这个方程，230x=120 x= 231答： 小时后两车相距 600 公里。 231（3）分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480 公里=600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(14090)x+480=600 50x=120 x=2.4 答：2.4 小时后两车相距 600 公里。 分析：追及问题，画图表示为：等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。 解：设 x 小时后快车追上慢车。
28、 由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 x=9.6答：9.6 小时后快车追上慢车。分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480 公里。解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 x=11.4 答：快车开出 11.4 小时后追上慢车。 26. 分析追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程=它的速度时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间解：设甲用 X 小时追上乙，根据题意列方程5X=3X+5 解得 X=2.5，狗的总路程：152.5=37.5答：狗的总路程是 3
29、7.5 千米。27. 分析 这属于行船问题，这类问题中要弄清：（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；（2）逆水速度=船在静水中的速度水流速度。相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7 小时。 甲 乙 60 甲 乙 甲 乙 9解：设 A、B 两码头之间的航程为 x 千米，则 B、C 间的航程为(x-10)千米， 由题意得， 5.3272810xx解 这 个 方 程 得答：A、B 两地之间的路程为 32.5 千米。 28解：设第一铁桥的长为 x 米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米， 过完第一铁桥所需的时间为 分过60x完第二铁桥所需的时间为 分依题意，可列出方程2506+ = 解方
30、程 x+50=2x-50 得 x=10060x52x-50=2100-50=150答：第一铁桥长 100 米，第二铁桥长 150 米29设甲的速度为 x 千米/小时。 则 615120)(102 xx30 （1）设通讯员 x 分钟返回.则 x=90483（2）设队长为 x 米。则 90251418x31设两个城市之间的飞行路程为 x 千米。则 24831762436052 xxx32设甲、乙两码头之间的距离为 x 千米。则 。 x=804x33.分析 由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为 x，则百位上的数为 x+7，个位上的数是 3x，等量关系为三个数位上的数字和为 17。
31、解：设这个三位数十位上的数为 X，则百位上的数为 x+7，个位上的数是 3xx+x+7+3x=17 解得 x=2x+7=9， 3x=6 答：这个三位数是 92634. 等量关系：原两位数+36=对调后新两位数解：设十位上的数字 X，则个位上的数是 2X，102X+X=（10X+2X）+36 解得 X=4，2X=8，答：原来的两位数是 48。一元一次方程应用题1列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意 （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系 （3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程 （4）解方程：解所列的方程，求
32、出未知数的值 （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案2.和差倍分问题增长量原有量增长率 现在量原有量增长量103.等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变圆柱体的体积公式 V=底面积高Sh r2h长方体的体积 V长宽高abc4数字问题一般可设个位数字为 a，十位数字为 b，百位数字为 c十位数可表示为 10b+a， 百位数可表示为 100c+10b+a然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程5市场经济问题（1）商品利润商品售价商品成本价 （2）商品利润率 100%个（3）商品销售额商品销售价商品销售量
33、（4）商品的销售利润（销售价成本价）销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售6行程问题：路程速度时间 时间路程速度 速度路程时间（1）相遇问题： 快行距慢行距原距（2）追及问题： 快行距慢行距原距（3）航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系7工程问题：工作量工作效率工作时间 完成某项任务的各工作量的和总工作量18储蓄问题利润 100% 利息本金利率期数个个1将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需 4 小时，甲先做 30 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？2兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2 倍？3将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米，300 毫米和 80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到 0.1 毫米， 3.14）
