1、学习特训营中考数学高分专题精讲精品讲义、第一高分专题 数与式1第一关：考点精讲考点 1 有理数、实数的概念【知识要点】1、 实数的分类：有理数，无理数。2、 实数和数轴上的点是_对应的，每一个实数都可以用数轴上的_来表示，反过来，数轴上的点都表示一个_。3、 _叫做无理数。一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的数并不都是无理数（如 ） ，也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如 ） 。4 【典型考题】1、 把下列各数填入相应的集合内： 51.0,2.,8,321,5,.7 有理数集 ，无理数集 正实数集 2、 在实数 中，共有_个无理数27,64,2,0,433、 在
2、 中，无理数的个数是_5sin321.4、 写出一个无理数_，使它与 的积是有理数【复习指导】解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。考点 2 数轴、倒数、相反数、绝对值【知识要点】1、 若 ，则它的相反数是_，它的倒数是_。0 的相反数是_。0a2、 一个正实数的绝对值是_；一个负实数的绝对值是_；0 的绝对值是_。)_(|x3、 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与_的距离。【典型考题】1、_的倒数是 ；0.28 的相反数是_。212、 如图 1，数轴上的点 M 所表示的数的相反数为_M3、 ,则 的值为_0|2|)(nmnm4、
3、 已知 ，且 ，则 的值等于_1,4|yxxy5、 实数 在数轴上对应点的位置如图 2 所示，下列式子中正确的有（ ）cba 0caacbacbA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个6、 数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离是_数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是_。数轴上表示 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是_，如果|AB|=2,那么x _x【复习指导】1、 若 互为相反数，则 ；反之也成立。若 互为倒数，则 ；反之也成立。ba, 0baba, 1ab2、 关于绝对值的化简（1） 绝对值的化简，应先判断绝对值符号内的数或式的值是正、负或 0，然后再根据定义把绝对值符
4、号去掉。（2） 已知 ，求 时，要注意)(|xxx考点 3 平方根与算术平方根【知识要点】-1 0 1 2 3图 1 -2 -1 0 1 2a图 23bc21、 若 ，则 叫 做的_，记作_；正数 的_叫做算术平方根，0 的算术平)0(2axxaa方根是_。当 时， 的算术平方根记作_。2、 非负数是指_，常见的非负数有（1）绝对值 ；（2）实数的平方 ；（3）算术平0_| 0_2a方根 。)(_3、 如果 是实数，且满足 ，则有cba, 0|2cba _,cba【典型考题】1、下列说法中，正确的是（ ）A.3 的平方根是 B.7 的算术平方根是37C. 的平方根是 D. 的算术平方根是515
5、222、 9 的算术平方根是_3、 等于_84、 ，则03| yx_xy考点 4 近似数和科学计数法【知识要点】1、 精确位：四舍五入到哪一位。2、 有效数字：从左起_到最后的所有数字。3、 科学计数法：正数：_负数：_【典型考题】1、 据生物学统计，一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为 420 万个，用科学计算法可以表示为_2、 由四舍五入得到的近似数 0.5600 的有效数字的个数是_，精确度是_3、 用小数表示： _5107考点 5 实数大小的比较【知识要点】1、 正数0 负数；2、 两个负数绝对值大的反而小；3、 在数轴上，右边的数总大于左边的数；4、 作差法： .,0,
6、00 babababa 则； 若则； 若， 则若【典型考题】1、 比较大小： 。_21_|3；2、 应用计算器比较 的大小是_5与3、 比较 的大小关系：_4,14、 已知 中，最大的数是_2,1,0xx， 那 么 在考点 6 实数的运算【知识要点】1、 。是 正 整 数 ）；时 ，当 naan_(_02、 今年我市二月份某一天的最低温度为 ，最高气温为 ，那么这一天的最高气温比最低气温高C5C13_3、 如图 1，是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为-1 时，则输出的数值为_4、 计算（1） |21)3204()(0输入 x 输出(3（2） 30cos2)1(0考点 7 乘法公式与整
7、式的运算【知识要点】1、 判别同类项的标准，一是_；二是_。2、 幂的运算法则：（以下的 是正整数）nm,； ； ； ；_)(nma_)(2a_)(3nab )0_()4(aanm5b3、 乘法公式：； ；)()1()(2 _)(32b4、 去括号、添括号的法则是_【典型考题】1、下列计算正确的是（ ）A. B. C. D.532x632x 623)(x23x2、 下列不是同类项的是（ ）A. B. C. D与nm与 ba241与 221y与3、 计算： )(2)1(a4、 计算： 4yxyx考点 8 因式分解【知识要点】因式分解的方法：1、 提公因式：2、 公式法： _2;_2 baba【典
8、型考题】1、 分解因式 ，2mn4222、 分解因式 _1x考点 9：分式【知识要点】1、 分式的判别：（1）分子分母都是整式， （2）分母含有字母；2、 分式的基本性质： )0(mab3、 分式的值为 0 的条件：_4、 分式有意义的条件：_5、 最简分式的判定：_6、 分式的运算：通分，约分【典型考题】1、 当 x_时，分式 有意义52x2、 当 x_时，分式 的值为零43、 下列分式是最简分式的是（ ）4A. B. C. Dab2axy3612x12x4、 下列各式是分式的是（ ）A. B. C. D1265、 计算： x16、 计算：2a考点 10 二次根式【知识要点】1、 二次根式：
9、如 )0(a2、 二次根式的主要性质：（1） （2）)_()(2)0_(|2aa（3） （4）)0,(baab ,bb3、 二次根式的乘除法),_( )0,_(aa4、 分母有理化：5、 最简二次根式：6、 同类二次根式：化简到最简二次根式后，根号内的数或式子相同的二次根式7、 二次根式有意义，根号内的式子必须大于或等于零【典型考题】1、下列各式是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.2x332x52、 下列根式与 是同类二次根式的是（ ）8A. B. C. D. 63、 二次根式 有意义，则 x 的取值范围_4x4、 若 ，则 x_65、 计算： 326、 计算： )0(4522a7、
10、 计算： 51058、 数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简：.222)()1()( ba数与式考点分析及复习研究（答案）考点 1 有理数、实数的概念1、 有理数集 51.0,28,345.7无理数集 ,1正实数集 51.0,2.,8,3,45 2、 23、 24、 答案不唯一。如（ ）2考点 2 数轴、倒数、相反数、绝对值1、 ，8.02、 53、 14、 85、 C6、 3 ，4 ； ， |x13或考点 3 平方根与算术平方根1、 B2、 33、 24、 6考点 4 近似数和科学计数法1、 个60.2、 4，万分位3、 0.00007考点 5 实数大小的比较1、 ， 2、 3 3、 4
11、124、 x1考点 6 实数的运算1、 C82、 13、 （1）解：原式4 （2）解：原式12234 3考点 7 乘法公式与整式的运算1、 C2、 B3、 )12()(2aa解：原式 )= )(= 24a4、 )(42yxyx(第 8题 ) 1解：原式 )(442yx 2考点 8 因式分解1、 )(,banm2、 1)(x考点 9：分式1、 52、 3、 D4、 A5、 x解：原式 )1()1(x)1(x)1(2x6、 12a解：原式 )(1)(2a1)(2a考点 10 二次根式1、 B2、 A 3、4x4、 25、 323解：原式6、 )0(422a解：原式 537、 1058、 222)(
12、)()( baba解： ,0,1,0ba原式 12第二关：难题透视例 1 根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是000 110 010 111 001 111A100，011 B011，100 C011，101 D101，110【考点要求】本题考查以计算机语言为背景，用符号来表示数字的问题利用符号来表示数字 0 和 1，要求能实现符号与数字的相互转化【思路点拨】通过观察，不难发现两个并排的短横表示 0，而一条长横表示 1，所表示的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这 011 和 100 【答案】选 B【方法点拨】部分学生不能够读懂题意，无法做出正确选择，往往会随便猜出
13、一个答案突破方法：根据表格中所提供的信息，找出规律，容易发现短横与长横所表示的不同意义然后对照分析出两个安全空格中所应填写的数字解题关键：对题目中提供的信息要仔细观察分析，理解其表示的意义例 2 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图 1-1 方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块（用含 的代数式表示） n n(第 8题 ) 1【考点要求】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论【思路点拨】根据图形可得出以下数据：第 1 个图形，黑色瓷砖 4 块；第 2 个图形，黑色瓷砖 7 块；第 3 个图形，黑色瓷砖 10 块不难看出，每幅图形中
14、的黑色瓷砖依次增加 3 块，如果把第一个图形中的黑色瓷砖表示为13，则第 2 个图形中的黑色瓷砖可表示为 132所以第 n 个图形中的黑色瓷砖为 1+3n【答案】黑色瓷砖 10 块，第 n 个图形中的黑色瓷砖为 1+3n【方法点拨】部分学生缺乏一定的图形鉴别能力，不知如何分析突破方法：抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律，结合图形，观察其变化规律例 3 下列运算中，计算结果正确的是（ ）A. B.62x 22nnxxC. D.94)( 63【考点要求】本题考查整式运算公式【思路点拨】同底数幂的乘法法则是底数，不变指数相加，而除法可能转化为乘法进行，幂的乘方是底数不变，指数相乘A 项结果应等于 ，C
15、 项结果应等于 ，而 D 项无法运算5x64x【答案】选 B【方法点拨】部分学生对幂运算公式掌握不够熟练，容易前生计算错误突破方法：加强相关练习，熟悉乘法公式例 4 我国自行研制的“神舟 6 号飞船”载人飞船于 2005 年 10 月 12 日成功发射，并以每秒约 7.820185 公里的速度，在距地面 343 公里的轨道上绕地球一圈只需 90 分钟，飞行距离约 42229000km请将这一数字用科学记数法表示为_km(要求保留两位有效数字)【考点要求】本题考查了学生科学记数法以及有效数字的知识【思路点拨】用科学记数法表示绝对值较大的数时，关键是 10 的指数，可归纳为指数 n 等于原数整数部
16、分的位数减一所以这一数字可表示为 4.2107【答案】4.210 7【方法点拨】部分学生在用科学记数法表声学家较大或者较小的数时，对于 10 的指数容易弄错突破方法：掌握规律，记住幂的指数的确定方法解题关键：科学记数法 中，a 是整数数位只有一位的数，10 的指数是由小数点移动的位数决定的，也可以10n简单的记作用原数的数位减去 1 所得到的数值例 5 分解因式： = 2b【考点要求】本题考查多项式的因式分解【思路点拨】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分组，本题应采用一三分组法进行分解原式 22()(1)abab(1)()ab【答案】填 (1)()
17、a【规律总结】部分学生含四项的多项式分解感到有一些困难突破方法：在无法用提公因式或者直接运用公式进行因式分解时，往往还会进行分组分解解题关键：分组分解一般是对含四项的多项式而言的，常见的有两种分组方法：二二分组，一三分组，有时还需要对原式的各项进行必要的交换例 6 有一道题“先化简，再求值： ，其中 ”小玲做题时把“ ”错抄成2241()xx3x3x了“ ”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？3x【考点要求】本题考查的是分式的化简求值，同时也考查了学生辨析正误的学习能力【思路点拨】把原式化简，可得 因为 ，所以无论是“2224(4)xx22(3)(”或“ ”，代入化简后的式子中，
18、所求得的值都是相等的因而即使代错数值，结果仍然是正确3x3x的【方法点拨】部分学生不熟悉这种题型，因而不知如何下手，举棋不定突破方法：平时要注意多加积累，熟悉（2） （3）图 1-12各种不同形式的问题，同时要能有一定创新思维，能应对新问题解题关键：解这类问题时，先按常规方法正确求解，再比较分析为什么会出现值代错了但结果正确的原因例 7 已知 ，化简 的结果是（ ）,4abm(2)abA6 B2m8 C2m D2m【考点要求】本题考查多项式的求值运算，不仅考查了学生整式乘法运算，同时还要求具备整体思想，这也是数学解题中常用的一种技巧【思路点拨】原式按多项式乘法运算后为 ，再将 代入，可得2m
19、()4,4abm【答案】选 D【方法点拨】部分学生想通过由已知条件求出 a、b 的值，然后再代入求值，一种情况是无法解得结果，另一种是会用含 m 的式子表示 a、b，但解题过程较繁琐，且容易出错突破方法：运用整体思想解题，能发现原式乘开后可用含 和 的式子表示，再将已知条件代入即可a解题关键：许多类似的求代数式值的问题，往往不是直接将字母的值代入，而是利用整体代入求值例 8 如图 1-2，时钟的钟面上标有 1，2，312 共计 12 个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是 【考
20、点要求】本题考查对数字的观察及推理能力【思路点拨】钟面上的数字之和为 78，依题意，三部分之和相等，则每部分之和只能为 783=26，而图中钟面上的 1、2、11、12 之和已经为 26，所以所画的这条线只能在图中这条直线的下方，即过 4 和 5，8 和 9 之间画直线【答案】3、4、9、10，5、6、7、8【误区警示】本题部分学生不知从何处入手，或者漫无目标的尝试去画，这样费时较多，而且容易达到目标突破方法：仔细阅读，认真分析，理清题意可减少尝试分割的次数例 9 我们把分子为 1 的分数叫做单位分数如 ， ， ，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分1234数的和，如 ， ， ，236
21、450（1）根据对上述式子的观察，你会发现 ，请写出，所表示的数；1A（2）进一步思考，单位分数 （n 是不小于 2 的正整数） ，请写出，所表示的式，并加以验证1A【考点要求】本题考查学生对新信息的理解与运用【思路点拨】通过对三组式子的观察，不难找出规律等式右边的第一个分母是左边的分母加 1，第二个分母是前两个分母的乘积，如果设左边的分母为 n，则右边第一个分母为（n1） ，第二个分母为 n（n1） 所以问题（1）中，表示的数为 6，表示的数为 30；问题（2）中， 表示的式为 ，表示的式为 1n)(验证： ，所以上述结论成立)()()1(nn n1)(【答案】 （1）表示的数为 6， 表示
22、的数为 30；（2） 表示的式为 ，表示的式为 1)1(n【方法点拨】部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律突破方法：对比已知的三个式子，进行比较分析，可以看出每个等式中的各个分子都是 1，而分母也特殊关系，得到这些信息后，完成解题不再困难解题关键：当题中有一组并列条件时，往往将它们放在一起进行观察、比较、分析，从中发现重要信息例 10 阅读下面的材料，回答问题：点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为 当 A、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1-3， ；当 A、B 两点都不在原点时：Oab（1）如图 1-4，点 A、B 都在原点的右边
23、， ；Obab图 1-23O（A）0 bB图 1-3O0 bB图 1-4aA（2）如图 1-5，点 A、B 都在原点的左边， ；()OAaab（3）如图 1-6，点 A、B 在原点的两边， ABBb aA图 1-5O0b aA图 1-6O0综上，数轴上 A、B 两点之间的距离 ABb回答下列问题：（1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 ；数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是 （2）数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是 如果 ，那么 x= 2AB【考点要求】本题通过阅读材料，引出数轴上两点 A、B 的距离公式 ，再引出相关
24、问题，考查学生阅ab读材料，获取新的信息和结论，然后应用所得结论，解答新问题的能力【思路点拨】依据阅读材料，所获得的结论为 ，结合各问题分别代入求解 （1）ab；（2） ；因为 ，所以 ，所以253,(5)3,1()4(1)x2AB2x或 所以 或 1x2x3【答案】 （1）3，3，4；（2） 或 【误区警示】部分学生因为题目较长，阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题突破方法：反复阅读材料，从中获取重要结论，帮助解题难点突破方法总结实数是初中数学基础知识，中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到，在解决实数问题时，要注意以下几点：1.要准确掌握各个概念概念是组成数学知识的基本元素实数一章中的概
25、念较多，基础性强，对后续学习影响大，不少概念还含有运算性质如相反数、倒数、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、科学记数法等，所以必须要弄清各个概念的区别或者联系，防止应考过程中出现混淆2.要熟练各种运算明白各种运算法则和运算性质，要通过一定量的练习使实数的有关运算形成一定的运算技能3.在解答有关实数的选择题、填空题和计算题时，一般采用直接求解法对于体现创新意识的探索规律型问题，可采用图示、猜想、归纳、计算验证等各种方法整式和分式是代数中的重要内容，填空、选择题以基本概念为主，而解答题则以化简、求值为主一般要注意如下内容：1.要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项，分式的通分和约分、最简分式等概念的内涵特别要关注简单整式和分式的运算2.运用公式或法则进行计算，首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征，在此基础上正确选用公式或法则进行计算3.灵活运用分式的基本性质、变号法则、因式分解、整体变换等解题技能进行分式的约分和通分运算B
