1、12018 年成人高考专升本高等数学考试复习教程及重点分析资料汇编函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 21)(Dxgfy3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f -1(y)y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x 1、
2、x 2D当 x1x 2时,若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D 内单调增加( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D 内单调减少( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D 内严格单调增加( )；2若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D 内严格单调减少( )。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+)周期：T最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.
3、幂函数： y=x n , (n 为实数)3.指数函数： y=a x , (a0、a1)4.对数函数： y=log a x ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX32.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数1.2 极 限一、 主要内容极限的
4、概念1. 数列的极限: Aynlim称数列 以常数 A 为极限 ;ny或称数列 收敛于 A.n定理: 若 的极限存在 必定有界.nyny2.函数的极限：当 时， 的极限：x)(xfAxfAxfxx )(lim)(lim当 时， 的极限：0)(fAxfx)(li0左极限： fx)(lim0右极限： Afxli04函数极限存的充要条件：定理： AxfxfAxfxx )(lim)(li)(lim0002 无穷大量和无穷小量1.无穷大量： )(limxf称在该变化过程中 为无穷大量。fX 再某个变化过程是指：, xxx 000, xxx2.无穷小量： 0)(limf称在该变化过程中 为无穷小量。xf3
5、.无穷大量与无穷小量的关系：定理： )0(,)(1lim0)(li xfxfxf4.无穷小量的比较： li,li若 ,则称 是比 较高阶的无穷小量；0li若 （c 为常数） ，则称 与 同阶的无穷小量；lim若 ，则称 与 是等价的无穷小量，记作：；1li若 ,则称 是比 较低阶的无穷小量。li5定理：若： ；， 21则： 2121limli两面夹定理1 数列极限存在的判定准则：设： （n=1、2、3）nnzxy且： annlimli则： xnli2 函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点（点 x0 除外）有： )()()(xhfg且： Axx limli00则： fx
6、)(li0极限的运算规则若： BxvAxu)(lim,)(li则： BAxvu)(lim)(lili6 BAxvxuxvu )(lim)(li)(lim BA)(li)(li 0li推论： )()(21 xuxunlimli)(lim21 n )(lili xucxuc nnli)(li两个重要极限1 或 1sinlm0xx 1)(sinlm0)( xx2 exx)(li exx10)(li1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在 处连续： 在 的邻域内有定义，0x)(xf01o 0)(limli00 xffyxx2o )()(li00ffx左连续： )()(li00xffx7右连
7、续： )()(lim00xffx2. 函数在 处连续的必要条件：0定理： 在 处连续 在 处极限存在)(xf0)(xf03. 函数在 处连续的充要条件：0x定理： )()(lim)(li)()(lim00 000 xffxfxff xxx 4. 函数在 上连续：ba,在 上每一点都连续。)(xf,在端点 和 连续是指：ab左端点右连续；)(limfxfax右端点左连续。libfbxa+ 0 b- x5. 函数的间断点：若 在 处不连续，则 为 的间断点。)(xf00x)(f间断点有三种情况：1o 在 处无定义；)(xf082o 不存在；)(lim0xfx3o 在 处有定义，且 存在，)(f )
8、(lim0xfx但 。)(li0fxfx两类间断点的判断：1o 第一类间断点：特点： 和 都存在。)(lim0xfx)(li0xf可去间断点： 存在，但)(li0xfx，或 在 处无定义。)()(lim00xffx)(xf02o 第二类间断点：特点： 和 至少有一个为，)(lim0xfx)(li0xf或 振荡不存在。)(li0fx无穷间断点： 和 至少有一个为)(lim0xfx)(li0xf9函数在 处连续的性质0x1. 连续函数的四则运算：设 ，)()(lim00 xfxfx )()(lim00 xgx1o )()()()(li 000 fgfx 2o )()()(lim000 xgfxfx
9、 3o )()(li00xgffx )(lim0xx2. 复合函数的连续性：)(),(),( xfyxufy )lim,lim0)(000 fufxxux 则： )(li)(li 000 xfffxx 3. 反函数的连续性：)(),(),( 001xfyxfxfy )()(lim)()(lim011000 yffff yx 10函数在 上连续的性质,ba1.最大值与最小值定理：在 上连续 在 上一定存在最大值与最小值。)(xf,ba)(xf,bay y+M Mf(x) f(x) 0 a b xm-M0 a b xa) 有界定理：在 上连续 在 上一定有界。)(xf,ba)(xf,ba3.介值定理：
