1、1不等式专题复习知识回顾一不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：(3)加法法则： (同向可加)(4)乘法法则：(同向同正可乘)(5)倒数法则：(6)乘方法则： (7)开方法则： 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式二解不等式1.一元二次不等式 的解集：0或022 acbxacbxa2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过；（3）根据曲线显现 ()fx的
2、符号变化规律，写出不等式的解集。如 ： x12033、分式不等式的解法（转化为常规不等式）()0()()0()0;fxgfxfxfxgg 注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理4、不等式的恒成立问题：应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题2若不等式 Axf在区间 D上恒成立,则等价于在区间 D上 minfxA若不等式 B在区间 上恒成立,则等价于在区间 上 aB三、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法3、线性规划的有关概念：线性约束条件 线性目标函数 线性规划问题 可行解、可行域和最优解：4、求线性目标函数在
3、线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by 0， 在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解四均值不等式1若 a,bR,则 a2+b22 ab,当且仅当 a=b 时取等号 .2如果 a,b 是正数，那么 ).“(号时 取当 且 仅 当 baab变形： a+b ； ab2a, 当且仅当 a=b 时取等号.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的重要条件“一正，二定，三
4、取等”3.常用不等式有：（1） 221abab(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2） a、 b、 cR， 22cbca（当且仅当 abc时，取等号） ；（3）若 0,m，则 bam（糖水的浓度问题） 。典例剖析题型一：不等式的性质31. 对于实数 cba,中，给出下列命题： 2则若 ； bac则若 ,2； ,0ba则若 ； 10则若 ； ba则若 ； ba则若 ,； bcac则若 ,； ，则 0,ab。其中正确的命题是_题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设 2a， 12pa， 24aq，试比较 qp,的大小3. 比较 1+ 3logx与 )10(2lx
5、x且 的大小4. 若 )2lg(),l(g21,lg,1 baRbaQbaPba ，则 RQP,的大小关系是 .题型三：解不等式5. 解不等式 6. 解不等式 2(1)0x。7. 解不等式 2513x48. 不等式 210axb的解集为x|-1x2，则 a=_, b=_9. 关于 的不等式 的解集为 ),1(，则关于 x的不等式 02xba的解集为_10.解关于 x 的不等式 2()0ax题型四：恒成立问题11. 关于 x 的不等式 a x2+ a x+10 恒成立，则 a 的取值范围是_ 12. 若不等式 21xm对 1x的所有实数 x都成立，求 m的取值范围.13. 已知 0,xy且 19
6、xy，求使不等式 xym恒成立的实数 的取值范围。三基本不等式题型五：求最值14. （直接用注正数）求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx12x 2 1x15. （配凑项）（1）已知 54x，求函数 1425yx的最大值。5（2）当 时，求 (82)yx的最大值。16.求2710()xyx的值域。注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数 ()afx的单调性。17. 求函数254xy的值域。18. （条件不等式）（1） 若实数满足 2ba，则 ba3的最小值是 .（2） 已知 0,xy，且 19xy，求 xy的最小值。（3） 已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x
7、的最大值.y 22 1 y 2（4） 已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y 的最小值.1ab6题型六：利用基本不等式证明不等式19、已知 a, b 都是正数，并且 a b，求证：a 5 + b5 a2b3 + a3b219. 正数 a，b，c 满足 a bc 1，求证：(1a)(1 b)(1 c )8abc16 （12 分）设 a0, b0，且 a + b = 1，求证： 25)1()(2ba题型七：均值定理实际应用问题：20. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2的三级污水处理池（平面图如图） ，如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米
8、248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。四.线性规划7题型八：目标函数求最值21. 满足不等式组 0,8732yx，求目标函数 yxk3的最大值22、已知实系数一元二次方程 2(1)10xab的两个实根为 1x、 2,并且 102x, 则 ba的取值范围是 23、已知 ,xy满足约束条件：034xy,则 2yx的最小值是24、已知变量230, .1xyxy满 足 约 束 条 件 若 目 标 函 数 zaxy（其中a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为 。825、已知实数 xy， 满足12xm， ，如
9、果目标函数 zxy的最小值为 1，则实数m等于（ ）题型九：实际应用22. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本 20 元，售价30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10 个，售价不超过 350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？9易错点剖析1、抓住两边结构进行合理转化 抓住两边结构进行转化是不等式应用的重要一环，根据结论与条件，要想促使结论与条件的“沟通” ，必须仔细分析结构特点，选用恰当的不等式或变式；例 1、正数 、 满足 =1， 的最大值 。aba)1(ba分析（1）本题是求“积”的最大值，常规是向“和”或
10、“平方和”转化，并根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。（2）要利用 =1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式也就顺理成章了。解： ， 当且仅当 23)1()1(baba 1)(ba即 时取得“=” 。 的最大值是 2)(a23例 2、已知正数 、 满足 =1， 求 最小值；b22)1(b分析：将条件与结论放在一起，可以看出，要想从条件式推出结论式，必须完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化，再利用条件，就必须完成从“平方和”向“和”的转化。显然，不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件，都离不开变式。解： ， )(22ba )1()(2)1( 22bab
11、a， 31(2 9当且仅当 时取得“= 。 最小值是 22)()( 9。注：转化中必要的“技术处理” 对均值不等式的应用，除了要会从结构入手分析外，必要的“技术处理”还必须掌握如： “配系数” （将“ ”写成“ ”或“ ”） ；xx21x21“拆项” （将“ ”写成“ ”） ；32)(“加、减凑项” （将“ ”写成“ ” ） ；x1x“升降幂” （ ） 等都是常用的“技术处理”方法。2)(,0a例 3、 已知 ，求证：,ba bab分析：从结构特点和字母的次数看与变式吻合，可从此式入手。解： 若 b0,则 ， a22ab由 + 。ab10例 4、已知 求 的最小值。0ba)(162ba分析：本
12、题求“和”的最小值，但“积”并不是定值，故需要进行“拆项”变形等“技术处理” ，注意到 ，容易找到解题的突破口解：由 ，0ba4)()( 2a于是 = ，当且仅当 )(1624162a162264ab即 时取“=” 的最小值是 16。,ba )(2ba另外也可由 = = )(162ab16来求得此最小值。)(4ba二、 使用均值定理的注意事项（易错提醒）1、应用均值不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件 “一正、二定、三相等” ， 即涉及的变量都是正数， 其次是和（平方和）为定值或积为定值， 然后必须注意等号可以成立。 如 的最小值是 5 x22sin4i； 但使用均值不等式容易误解为是 4，因为 不成立（不能取“=” ） 。2、在使用均值不等式时，要注意它们多次使用再相加相乘的时候，等号成立的条件是否一致。如例 4，要保证两次均值不等式的取等条件相同（同时满足） 。3、在使用均值定理求最值的时候，如果等号成立的条件不具备，应考虑用函数的单调性来解决。如求 的最小值，可利用函数x22sin4i的单调性来解决。xf4)(三、 应用举例：循序渐进，学会变型（配套训练）1.求 的最小值。 （ 2 ）1,22y2.求 的最大值。 （ ）2xx 213.求函数 的值域。 （ - 1 ， ）1y 3不等式专题检测一、选择题： 1若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是 （ ）Rcba,ba
