1、12017 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1） 【2017 年北京，理 1，5 分】若集合 ， ，则 =（ ）21|Ax1|3Bx或 AB（A） （B ） （C ） （D）|2x3| 3|1x【答案】A【解析】 ，故选 ABx（2） 【2017 年北京，理 2，5 分】若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是1ia a（ ）（A） （B ） （C） （D）,1,1,1,【答案】B【解析】 ，因为对应的点在第二象限
2、，所以 ，解得： ，故选i1izaa 10aaB（3） 【2017 年北京，理 3，5 分】执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）s（A）2（B）（C ）（D ）25385【答案】C【解析】 时， 成立，第一次进入循环 ， 成立，第二次进入循环， 0k31,2ks3， 成立，第三次进入循环 ， 否，输出21,s15,2s，53s故选 C（4） 【2017 年北京，理 4，5 分】若 ， 满足 则 的最大值为（ ）xy32xy， ， xy（A）1 （B）3 （C）5 （D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域， 表示斜率为 的一组平行线，当过点 时，2zxy123,C目标函数取得最大值 ，故
3、选 Dmax39（5） 【2017 年北京，理 5，5 分】已知函数 ，则 （ ）1()3()xf()fx（A）是奇函数，且在 R 上是增函数 （B）是偶函数，且在 R 上是增函数 （C）是奇函数，且在 R 上是减函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减函数【答案】A【解析】 ，所以函数是奇函数，并且 是增函数， 是减函数，根133xxxf fx 3x13x据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选 A2（6） 【2017 年北京，理 6，5 分】设 m， n 为非零向量，则 “存在负数 ，使得 ”是“ ”的（ mn0）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）
4、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 ，使 ，即两向量反向，夹角是 ，那么 ，反过来，0n 0180cos18nn若 ，那么两向量的夹角为 ，KS5U 并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得mn 09, ，所以是充分不必要条件，故选 A（7） 【2017 年北京，理 7，5 分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）（A） （B） （C） （D）232232【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线， ，故选 B22l（8） 【2017 年北京，理 8，5 分】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 约为 ，而M36
5、1可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 则下列各数中与 最接近的是（ ）801N（参考数据： ）30.4lg（A） （B） （C） （D）310531739310【答案】D【解析】设 ，两边取对数， ，所36180MxN61361880lglgl6lg893.2x以 ，即 最接近 ，故选 D93.29310第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9） 【2017 年北京，理 9，5 分】若双曲线 的离心率为 ，则实数 21yxm3m【答案】2【解析】 132m（10） 【2017 年北京，理 10，5 分】若等差数列 和等比数列 满足
6、a1=b1=1，a 4=b4=8，则 = nan 2a【答案】1【解析】 3 2138, ()dqdqb（11） 【2017 年北京，理 11，5 分】在极坐标系中，点 A 在圆 上，点 P 的坐标为2cos4in0，则 的最小值为_1,0AP【答案】1【解析】 ，所以 2 22:40(1)()1Cxyxymin|21PACr（12） 【2017 年北京，理 12，5 分】在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于xOOx轴对称若 ， = y1sin3cos()【答案】 793【解析】 2227sini,coscos()csosincosinsi19（13） 【2017 年北
7、京，理 13，5 分】能够说明“设 a，b，c 是任意实数若 abc，则 a+bc” 是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为_【答案】-1，-2，-3【解析】 123,1(2)3（14） 【2017 年北京，理 14，5 分】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3 记 Q1 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1，Q 2，Q 3 中最大的是_记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1
8、，p 2，p 3 中最大的是_【答案】 ； .【解析】作图可得 中点纵坐标比 ， 中点纵坐标大，所以第一位选 ，分别作 ， ， 关于原1AB2AB3 11B23点的对称点 ， ， ，比较直线 ， ， 斜率，可得 最大，所以选 2312AB32Ap三、解答题：共 6 题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） 【2017 年北京，理 15，13 分】在 中， ， C607ca（1）求 的值；sinC（2）若 ，求 的面积7aAB解：（1） ，由正弦定理得： 3c33sini7214A（2） ， ， 为锐角，由 得： ，760CCsinC13cos4Csini()sin()BA
9、sicoiA327又 ， 37ca12ABCSa 4736（16） 【2017 年北京，理 16，14 分】如图，在四棱锥 中，底面 为PBCDAB正方形，平面 平面 ，点 在线段 上， 平面 ，PDM/M， 6A4（1）求证： 为 的中点；M（2）求二面角 的大小；BA（3）求直线 与平面 所成角的正弦值C解：（1）取 、 交点为 ，连结 面 ， 面NPD ACPBD面 面 ， ，PD 在 中， 为 中点， 为 中点 MB（2）解法一：取 中点为 ， 中点为 ，连结 ， ， ，AOBEOE，O又面 面 ，面 面 ， 面 ，CPAD CAPABCD以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标
10、，可知 ， ，Dxyz 20， ， 20A， ，240B， ，易知面 的法向量为 ，且 ，2P， ， 01m， ， ， ，设面 的法向量为 ，4， ， PBDnxyz， ，4，204xzy12n， ， 22211cosmn，由图可知二面角的平面角为锐角，二面角 大小为 BPDA60解法二：过点 作 ，交 于点 ，连结 ， 平面 ， ，AHPDEPDBA 平面 ， ， 即为二面角 的平面角，BH，可求得 ， ， OE 43A4tan360E（3）解法一：点 ， ， ，由（2）题面 的一个法向量21M， ， 40C， ， MC， ， BDP，12n， ，设 与平面 所成角为 ， MCBDP2231
11、6sinco 994n， （ ）解法二：记 ，取 中点 ，连结 ， ， ，取 中点 ，连 ，易证点 是 中AFANMFNFGMGFN点， ，平面 平面 ， ， 平面 ， 平面GOABCDPOAABCDBD连结 ， ， ， ， ， ，C132P3626422P由余弦定理知 ， ， cosDBsinB1sinPDBSB设点 到平面 的距离为 ， ，又 ，求得 ，Ph13PDCPDVh 3CPDBCDVSO 2h记直线 与平面 所成角为 ， MCB26sin9M（17） 【2017 年北京，理 17，13 分】为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不
12、服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标 和 的数据，xy并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者（1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（2）从图中 A，B，C，D 四人中随机 KS5U选出两人，记为选出的两人中指标 x 的值大于 17 的人数，求 的分布列和数学期望 ；E（3）试 判 断 这 100 名 患 者 中 服 药 者 指 标 数 据 的 方 差 与 未 服 药 者 指 标 数 据 的 方 差 的 大 小 （ 只 需 写 出 结 论 ）yy解：（1）50 名服药者中指标 的值小于 60 的人有 15 人，故随机抽取 1 人，此
13、人指标 的值小于 60 概率为y y50（2） 的可能取值为：0，1，2， ， ，2106CP12463CP2416CPGNFPH MBCDA50 1 2P16231612()063E（3）从图中服药者和未服药者指标 数据的离散程度观察可知，服药者的方差大。y（18） 【2017 年北京，理 18，14 分】已知抛物线 过点 过点 作直线 与抛物线 交于2:Cypx1,P10,2lC不同的两点 ， ，过点 作 轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A，B，其中 O 为原点MNx（1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A 为线段 BM 的中点解：（1）由抛物线 过点
14、，代入原方程得 ，所以 ，原方程为 2ypx(1,)21=p122yx由此得抛物线焦点为 ，准线方程为 044x（2）解法一： 轴，设 ，根据题意显然有 ，若要证 为BMx1211,ABxyNy10xA中点，只需证 即可，左右同除 有 ，即只需证明 成立2ABM1x12Myx2OABOMk其中 ，当直线 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足1,OPONkk题意，所以直线 斜率存在且不为零设直线 ，联立 有 ，02ykx2ykx2104kx考虑 ，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以 14 12k由韦达定理可知： ， 12kx124xk221 121OBMONyxkkxx将
15、代入上式，有2124kk k即 ，所以 恒成立， 为 中点，得证ONMOBOAk ABMyAB解法二：当直线 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 斜率存MN在且不为零设 为点 ，过 的直线 方程为 ，设 ，显10,2QN102ykx12(,)(,)xy然，均不为零联立方程 得 ，考虑 ，由题可知有两交点，所以判别12,x21yxk21()04kx6式大于零，所以 由韦达定理可知： ， 12k12kx由题可得 横坐标相等且同为 ，且 ， 在直线 上，,AB12:ONylBON又 在直线 ： 上，所以 ，若要证明 为 中点，OPyx12(,),xAxAM只需证 ，
16、即证 ，即证 ，将 代入上式，2ABMy121yx1212yx12ykx即证 ，即 ，121()()kxkx()()0k将代入得 ，化简有 恒成立，所以 恒成立，所以 为 中04k2ABMyABM点（19） 【2017 年北京，理 19，13 分】已知函数 xfecos（ ）（1）求曲线 在点 处的切线方程；yfx,f（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值02解：（1） ， ，()ecosxf ()1,()ecosin1e(cosin)1xxxff x 在 处的切线方程为 ，0in0,()f (0(0)yf即 y（2）令 ， ，()e(csi)xgxfxecsi)+e(sic)2esinxx
17、 xg 时， ， 在 上单调递减，022ein0g()02 时， ，即 ， 在 上单调递减x()xffx()fx02 时， 有最大值 ； 时， 有最小值 0f(01f2x()f ecos（20） 【2017 年北京，理 20，13 分】设 和 是两个等差数列，记 nab12ma,n nbnab，其中 表示 这 个数中最大的数(1,23)n12max,s12,s（1）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；nanb3,cnc（2）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，使得MmnMm是等差数列12,mc解：（1）易知 ， ， 且 ， ， ，a3a1b235b110cb
18、a，212xx1b3 3a42c下面我们证明，对 且 ，都有 当 且 时，*Nn 1nc*Nkkn ，1ka1k1n2 且 ， 02 10kbbba 因此，对 且 ， ，则 * 1nca1nc7又 ，故 对 均成立，从而 为等差数列21c1nc*Nnnc（2）设数列 与 的公差分别为 ， ，下面我们考虑 的取值对 ， ，nabadb 1ban2，nba考虑其中任意项 （ 且 ） ，i *i1i i 1ban1()()baid下面我们分 ， ， 三种情况进行讨论0ada0ad1）若 ，则 1i bnid若 ，则 ，则对于给定的正整数 而言，b 10i n1ncba此时 ，故 为等差数列11ncn
19、c若 ，则0bdi babind则对于给定正整数 而言， 此时 ，故 为等差数1na11nbcdanc列此时取 ，则 是等差数列，命题成立1m123c2）若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为负数的一次函数0adabd故必存在 ，使得当 时，*Nnm 0abdn则当 时， （ ， ） n 11i abid *Ni1in 因此，当 时， 此时 ，故 从第 项开始为等差数列，命题成 nc1ncncm立3）若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为正数的一次函数0adabd故必存在 ，使得当 时， ，*Nss 0abd则当 时， （ ， ） ，n 0iinabind *Ni1in 因此，当 时， 此时 ，s ncbcn11baabdd令 ， ， ，0adA1adB1bdC下面证明 对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时， nCMmn ncM若 ，则取 （ 表示不大于 的最大整数） ，当 时，0CmAxxm，此时命题成立1n BcAB BA若 ，则取 ，当 时，0CCAnmn McABmBCBCM 此时命题也成立因此，对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时， nmnc综合以上三种情况，命题得证
