1、2015-2017 解析几何全国卷高考真题1、 （ 2015 年 1 卷 5 题）已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C0,xy21xy12,F上的两个焦点，若 ，则 的取值范围是（ ）12F0（A） （- ， ） （B） （- ， ）336（C） （ ， ） （D） （ ， ）223【答案】A【解析】由题知 ， ，所以 = 12(3,0)(,)F201xy12MF= ，解得 ，故00(3,)(,)xyxy2200303y选 A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.2、 （ 2015 年 1 卷 14 题）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半
2、轴2164xy上，则该圆的标准方程为 .【答案】 235()4xy【解析】设圆心为（ ，0） ，则半径为 ，则 ，解得 ，故圆的aa22(4)a3a方程为 .2()xy考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程3、 （ 2015 年 1 卷 20 题）在直角坐标系 中，曲线 C：y= 与直线 （ 0）xoy24xykxa交与 M,N 两点，（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由.【答案】 （） 或 （）存在0axy0axy【解析】试题分析：（）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出 M,N.（）先作出
3、判定，再利用设而不求思想即将 代入曲线 C 的方程整理成关于 的一元二次方程，设出 M,N 的ykxax坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用 表示出来，利用直线aPM，PN 的斜率为 0,即可求出 关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.,b试题解析：（）由题设可得 ， ，或 ， .(2,)Ma(2,)N(2,)M(2,)Na ，故 在 = 处的到数值为 ，C 在 处的切线方程为12yx24yxa,a，即 .()aa0ya故 在 =- 处的到数值为- ，C 在 处的切线方程为24xy(2,)a，即 .()aa0xya故所求切线方程为 或 .（）存在符合题意的点，
4、证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点， ， ，直线 PM，PN 的斜率分别为 .1(,)Mxy2(,)Ny12,k将 代入 C 得方程整理得 .ykxa240ka .12124, = = .1212ybkx1212()kxbx()kba当 时，有 =0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，ak故OPM=OPN，所以 符合题意. (0,)Pa考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力4、 （ 2015 年 2 卷 7 题）过三点 ， ， 的圆交 y 轴于 M，N 两点，则(1,3)A(4,2)B(1,7)C（ ）|MNA2 B8 C4 D1066【解析】
5、由已知得 ， ，所以 ，所以321Ak27341CBk1ABCk，即 为直角三角形，其外接圆圆心为 ，半径为 ，所以外接圆方C(,)5程为 ，令 ，得 ，所以 ，故选 C22(1)()5xy0x26y46MN考点：圆的方程5、 （ 2015 年 2 卷 11 题） 已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为（ ）A B C D32【解析】设双曲线方程为 ，如图所示， ，21(0,)xyabAB，过点 作 轴，垂足为 ，在 中， ，012MNNRtMNa，故点 的坐标为 ，代入双曲线方程得 ，即3Na(2,3)Ma22
6、bc，所以 ，故选 D2c2e考点：双曲线的标准方程和简单几何性质6、 （ 2015 年 2 卷 20 题） （本题满分 12 分）已知椭圆 ,直线 不过22:9(0)Cxyml原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 OlCABM（）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；M（）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？l(,)3mOPOAB若能，求此时 的斜率，若不能，说明理由【解析】 （）设直线 ， ， ， :lykxb(0,)1(,)xy2(,)(,)Mxy将 代入 得 ，故ykxb2292290kbm，12M于是直线 的斜率 ，即 所以29
7、MbykxOM9MOykxk9OMk直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值Ol（）四边形 能为平行四边形APB因为直线 过点 ，所以 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， l(,)3mlC0k3由（）得 的方程为 设点 的横坐标为 由 得M9yxkPPx229,yxm，即 将点 的坐标代入直线 的方程得2981Pkmx239Pmxk(,)3l，因此 四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线(3)b2()MOAPBAB段 互相平分，即 于是OPPx239km解得 ， 因为 ， ， ，所以当2(3)9mk147k2470,3iik12的斜率为l或 时，四边形 为平行四边形47OAPB考点：1、弦的中
8、点问题；2、直线和椭圆的位置关系7、 （ 2016 年 1 卷 5 题） （5）已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦点2213xymn间的距离为 4,则 n 的取值范围是（A） （B ） （C） （D）,3,30,0,【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是 2c 不是 c,这一点易出错.8、 （ 2016 年 1 卷 10 题）以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点,交 C 的准线于D、E 两点 .已知|AB|= ,|DE|= ,则 C 的焦点到准线的距离为425(A)2 (B)4 (C)
9、6 (D)8【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.9、 （ 2016 年 1 卷 20 题） （本小题满分 12 分）设圆 的圆心为 A,直线 l2150xy过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点, 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明 为定值,并写出点 E 的轨迹方程；EA（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点, 过 B 且与 l 垂直的直线
10、与圆 A 交于P,Q 两点, 求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .【答案】 （） （ ） （II）1342yx0)38,12试题解析：（）因为 , ,故 ,|ACDEB/ ADC所以 ,故 .|EB| AD又圆 的标准方程为 ,从而 ,所以 .A16)(2yx4| 4|EB由题设得 , , ,由椭圆定义可得点 的轨迹方程为：)01(|AB（ ）.342yx（）当 与 轴不垂直时,设 的方程为 , , .lxl )0(1kxy)(1yxM)(2N由 得 .134)(2yk 248)34(22kxk则 , .821kx34121k所以 .)(| 2212xMN过点 且与 垂直的直线 ： , 到
11、的距离为 ,所以)0,1(Blm)1(xkyAm12k.故四边形 的面积34)12(4| 2kPQMPNQ.34|212MNS可得当 与 轴不垂直时,四边形 面积的取值范围为 .lxMPNQ)38,12当 与 轴垂直时,其方程为 , , ,四边形 的面积为 12.1x3|MPNQ综上, 四边形 面积的取值范围为 .PN)8,2考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线, 解决这类问题要重视方程思想、函数
12、思想及化归思想的应用.10、 （ 2016 年 2 卷 4 题）圆 的圆心到直线 的距离为28130xy10axy1，则 a=（A） （B） （C） （D）23343【解析】A圆 2810xy化为标准方程为： 214xy，故圆心为 4， 241ad，解得 3a，故选 A11、 （ 2016 年 2 卷 11 题）已知 ， 是双曲线 E： 的左，右焦点，点 M 在 E1F221xyab上， 与 轴垂直，sin ,则 E 的离心率为1MFx3M(A) （ B） （ C） （D ）222【解析】A离心率12FeM，由正弦定理得1212sin31FMeF12、 （ 2016 年 2 卷 20 题） （
13、本小题满分 12 分）已知椭圆 E: 的焦点在 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 的直线交213xytx (0)kE 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA NA.（I）当 ， 时，求 AMN 的面积；4tAMN（II）当 时，求 k 的取值范围.2【解析】 当 4t时，椭圆 E 的方程为2143xy，A 点坐标为 20，则直线 AM 的方程为 ykx联立 2143xyk并整理得， 222341610kxk解得 2x或286k，则222813434AMk因为 AMN，所以2 221134kkk因为 ， 0k，所以222114343k，整理得 2140kk，240k无实根，所以 所以 AM
14、N的面积为2211349A直线 AM 的方程为 ykxt，联立 213xtykt并整理得， 22330tkxtktt解得 xt或2tkt，所以22 2236113tttAMkkk所以263tNk因为 2AMN所以222661133ttkk，整理得，236kt因为椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以 t，即23k，整理得2310k解得 32k13、 （ 2016 年 3 卷 11 题）已知 为坐标原点， 是椭圆 ： 的左OFC21(0)xyab焦点， 分别为 的左，右顶点. 为 上一点，且 轴.过点 的直线 与线段,ABCPPAl交于点 ，与 轴交于点 .若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ）P
15、FMyEBME（A） （B） （C） （D）131234【答案】A考点：椭圆方程与几何性质【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得 的值，进而求得,ac的值；（2）建立 的齐次等式，求得 或转化为关于 的等式求解；(3)通过特殊值e,abcbae或特殊位置，求出 e14、 （ 2016 年 3 卷 16 题）已知直线 ： 与圆 交于l30mxy21xy两点，过 分别做 的垂线与 轴交于 两点，若 ，则,AB,l,CD3AB_.|CD【答案】4考点：直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化
16、为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决15、 （ 2016 年 3 卷 20 题）已知抛物线 ： 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线C2yxFx分别交 于 两点，交 的准线于 两点12,lC,ABPQ（I）若 在线段 上， 是 的中点，证明 ；FRAR（II）若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程 .PQFB【答案】 （）见解析；（） 21yx试题解析：由题设 .设 ，则 ，且)0,21(Fbylal:,:21 0a.),1(),(),(),(),02( RQPbBaA记过 两点的直线为 ，则 的方程为 . .3 分,l 02abyx（）由于 在线段 上，故 .FA01ab记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 ，AR1kQ2k 2211kbaba
