1、1绵阳市开元中学高 2014 级高三一轮复习解三角形知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤 学生姓名： 一、知识点归纳（注重细节，熟记考点）1正弦定理及其变形2(sinisinabcRABC为 三 角 形 外 接 圆 半 径 ）变式： ,sin,2siAbBcRC（ ） (边 化 角 公 式 ）2iia（ ） 角 化 边 公 式 ）3:s:sic（ ） inin(4),bbBCc2正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.3余弦定理及其推论2222cosabAaBcC2222coscosbcaABabcC4余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角
2、； （2）已知三边.注解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5常用的三角形面积公式（1） ；高底 21ABCS（2） （两边夹一角） ；1=sinsisin24abcabcBARBC为 外 接 圆 半 径6三角形中常用结论（1） ,(cb即 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ）（2） sini(ABCa在 中 ， 即 大 边 对 大 角 ， 大 角 对 大 边 ）（3）在 中， ，所以 ； ；ssinABCcoscosABC ； tantanABCsicos,2ABCsin2ABC
3、7实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 （如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图）如： 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向； “东北方向”表示北偏东（或东偏北） .45（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角 为坡角）二、题型示例（注重基础，熟记方法）考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用1在 中，若A
4、60，B45，BC3 ，则 AC ( )CV2A4 B2 C D3 3 3322在 中， ，则 等于( )abcAA60 B45 C120 D150考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3设 的内角 所对的边分别为 , 若 , 则 的形CV,AabcoscsinCBaABCV状为( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定4若ABC 的三个内角满足 ，则ABC( )7:53sin:siBA2A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5在 中，若 ，则ABC 是( )ABcos Acos B baA等腰三角形 B等边三角形
5、 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形考点三：利用正余弦定理求三角形的面积6在 中， , , ，则 面积为( )C3A130ABA B C 或 D 或 32423427已知 的三边长 ，则 的面积为( )3,56abcA B C D14211515考点四：利用正余弦定理求角8在锐角中 C,角 A所对的边长分别为 ,ab.若 2sin3,BbA则 角 等 于 ( )A 12 B 6 C 4 D 9在ABC 中，若 a18，b24，A45，则此三角形有 ( )A无解 B两解 C一解 D解的个数不确定10在 C,内角 ,所对的边长分别为 ,.abc1sinosinco,2BCAb且 a,则( )A
6、 6 B 3 C 23 D 56 考点五：正余弦定理实际应用问题11如图：A，B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 ，B 点545北偏西 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 且与 B 点相距 海里的 C 点的救援60 60203船立即前往营救，其航行速度为每小时 30 海里，该救援船到达 D 点需要多长时间？解 由题意知 AB5(3 )海里，3DBA 9060 30，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得 ，DBsinDAB ABsinADBDB ABsinDABsinADB 5(3 r(3)sin 4
7、5sin 105 10 (海里)5(3 r(3)sin 45sin 45cos 60 cos 45sin 60 53(r(3) 1)3 12 3又DBCDBA ABC 30(9060)60，BC 20 (海里)，3在DBC 中，由余弦定理， 得 CD2BD 2BC 22BDBC cos DBC3001 200210 20 900，3 312CD30(海里)，需要的时间 t 1(小时)故救援船到达 D 点需要 1 小时3030三、高考真题赏析1 （2016 年山东）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知tant2(tant).cosAB（）证明：a+b=2 c; （ ）求
8、cosC 的最小值.【解析】()由 得cosAtanB+t=tan)+2(，icosAicsBinC所以 ，由正弦定理，得 ii2 cba2=+（） 由 baba22)(s 213132)(ba所以 的最小值为 Ccos12 （2016 年四川）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 .oscsinABCb（I）证明： ；sinsiA3（II）若 ，求 .2265bcabctanB【解析】 （I）证明：由正弦定理 可知siisinbcAC原式可以化解为co1n 和 为三角形内角 , ABi0B则，两边同时乘以 ，可得siscosincsinABA由和角公式可知， coni
9、AC原式得证。（II）由题 ,根据余弦定理可知，2265bcab223cos5bac 为为三角形内角， ，A0,sin0则 ，即234sin1co3i4A由（I）可知 ，coss1iinBCcos1inta4B ta4B3 （2016 年全国 I） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos(cos).CaB+bA（I）求 C；（II）若 的面积为 ，求 的周长7,c32【解析】(1) 由正弦定理得： 2cosincsincosinCABAC2cosiniCAB ，0、 、 ， ，sinsin2cos1Ccs2 0C， 3 由余弦定理得： 即 22coscab2172ab 2
10、37ab 13sin42SCab 6ab1875ab 周长为AB 5abc4(2015 高考新课标 2)中， 是 上的 点， 平分 ， 面积是 面积的 2 倍ABCDADBCADC() 求 ； ()若 ， ，求 和 的长 sin125 （2015 高考四川，理 19） 如图，A，B，C ，D 为平面四边 形 ABCD 的四个内角.（1）证明： 1costan;2i（2）若 求 的值.80,6,3,4,5,ACAtanttant22BCDA BCD46 （2013 级绵阳一诊，19）已知如图，在 中，RtABC， ，点 D、E 是斜边 AB 上两点0A6B(I)当点 是线段 靠近 的一个三等分点
11、时，求 的值；AD(II)当点 在线段 上运动时，且 ，设 ，试、 30E用 表示 的面积 ，并求 的取值范围CS解：（1）在 RtABC 中，AC=ABcos60= ， .21621AB ，DA 2()CAD2|cosC、=9+23cos120=6.（2）在ACD 中，ADC=180- A-DCA= 120-，由正弦定理可得 ，即 .ADCsini )120sin(3)120sin(3在AEC 中，ACE=+30，AEC=180-60-(+30)=90-，由正弦定理可得： ，即 ， AECsini cos23)90sin(3 ， co2)10i(2343021CEDSCE cs)10in(67令 f()=sin(120-)cos，0 60， f()=(sin120cos-cos120sin)cos cosin21cos32i)sin1co23(14，)60sin由 060，知 602+60180， 0sin(2+60)1 ， f() ，4321 ， )2(f34 (47DCES127
