1、1函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合 A、 B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到集合 B的映射，记作 f：AB。注意点：（1）对映射定义的理解。 （2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是 （ ）A、 B、 2163(),()fxgx1,0(),()xxfgC、 D、f（x）=x
2、，vu, 2f2、 给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函0|20|yNxM数关系的有 （ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个x x x x1 2 111 22211112222y y yy3O OOO二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）指数函数的底数必须大于零且不等于 1；1.函数 的定义域为234yx2 求函数定义域的两个难点问题（1） ()x已 知 f的 定 义 域 是 -2,5求 f(x+3)的 定 义 域 。（2） (21)x已 知 f 的 定 义 域 是
3、 -1,求 f()的 定 义 域2例 2 设 ，则 的定义域为_12()fx()xf变式练习： ，求 的定义域。24)(xf )(xf三、函数的值域1 求函数值域的方法直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 R 的分式；x分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图） ；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对勾函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值
4、域。主要是含绝对值函数1 （直接法） 213yx2 2()4f3 （换元法） 1xy4. （ 法） 432xy5. 1y2x6. (分离常数法) 1xy 31(24)xy37. (单调性) 3(1,)2yx8. ， (结合分子/分母有理化的数学方法)1yx1yx9(图象法) 23(1)yx10(对勾函数) 82(4)yx11. (几何意义) 1yx四函数的奇偶性1定义: 设 y=f(x)，xA，如果对于任意 A，都有 ，则称 y=f(x)为偶函数。x()fxf如果对于任意 A，都有 ，则称 y=f(x)为奇函数。()2.性质：y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于 轴对称, y=f(x)
5、是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,y若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0 奇 奇 =奇 偶 偶 =偶 奇 奇 =偶 偶 偶 =偶 奇 偶 =奇 两 函 数 的 定 义 域 D1 ， D2， D1 D2 要 关 于 原 点 对 称 3 奇 偶 性 的 判 断 看 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 看 f(x)与 f(-x)的 关 系1 已知函数 是定义在 上的偶函数. 当 时， ，则当)(xf ),()0,(x4)(xf时， .,0(x42 已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbfa（）求 的值；,ab（）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
6、t22()()0ftftkk3 已知 在（1，1）上有定义，且满足)(xf ),1()()1, xyfxfyx有证明： 在（1，1）上为奇函数；4 若奇函数 满足 ， ，则 _)(Rxf1)2(f )2()2(fxf)5(f五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设 是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则 在 M 上是减函数；若xgfy xgfyf(x)与 g(x)的单调性相同，则 在 M 上是增函数。xgfy1 判断函数 的单调性。)()(3Rxf52 函数 的单调增区间是_2(6)1xy3(高考真题)已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是 （ (31)4,)x
7、afx(,)a）（A） （B） （C） （D）(0,1)(0,)31,)631,)6六二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴 ，顶点坐标abx2)4,2(2abc2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程 的根为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的 的取值。)0(2acbxa 0yx一元二次不等式 的解集(a0)二次函数 情况 一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a0) =b 2-4ac ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)0 21xx或 21x=0 0x图象与解1) y=ax(00 时，y1,x
8、=0,y=1 X1,x0 时，0y1,x=0,y=12. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：2、 研究指数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制3、 指数函数中的绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。1、 （1） 的定义域为_；1253xyx（2） 的值域为_；31x（3） 的递增区间为 ，值域为2() _2、 （1） ，则04xxx3、要使函数 在 上
9、恒成立。求 的取值范围。ayx4211,0ya十函数的图象变换（1） 1、平移变换： （左+ 右- ，上+ 下- ）即 kxfyxfy hkkhh )()(,0;,0,;, 上 移下 移 左 移右 移 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变） )()( )()( )()( 1 xfyxfy xfyfxy ff xyxxyxyx 轴 下 方 图 上 翻轴 上 方 图 ， 将保 留 边 部 分 的 对 称 图轴 右 边 不 变 ， 左 边 为 右原 点轴轴1f(x)的图象过点(0,1)，则 f(4-x)的图象过点（ ）A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4)82作出下列函数的简图：（1）y= ； （2）y=|2 x-1|；234x（3）y=2 |x|； 十函数的其他性质1函数的单调性通常也可以以下列形式表达：单调递增12()0fxf单调递减12()ffx2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：奇函数()0fx偶函数3抽象函数的模型：（1） ()()fxyfykx（2） a
