1、1.3.2“杨辉三角杨辉三角 ”与与二项式系数的性质二项式系数的性质一般地，对于 n N*有二项定理 :复习回顾二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过 杨辉三角 观察 n为特殊值时，二项式系数有什么特点？1 “ 杨辉三角 ” 的来历及规律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 观察二项式系数表，寻求其规律：不难发现 ,表中每行两端都是 1，而且除 1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 .事实上，设表中任一不
2、为 1的数为 Cn+1r， 那么它肩上的两个数分别为 Cnr-1及Cnr，知道 Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是 组合数的性质 2.(1)对称性 : 与首末两端 “ 等距离 ” 的两个二项式系数相等 (a+b)n展开式的二项式系数依次是 : (3)增减性与最大值 . (2)递推性 :除 1以外的每一个数都 等于它肩上两个数的和 .(4)各二项式系数的和 . 当当 n为偶数时，中间一项取得最大项；为偶数时，中间一项取得最大项；当当 n为奇数时，中间两项同时取得最大值为奇数时，中间两项同时取得最大值 。可运用函数的观点，结合 “ 杨辉三角 ” 和函数图象，研究二项式系数的性质 (a+b)
3、n展开式的二项式系数是 可看成是以 r为自变量的函数f(r),其定义域是 0,1,2, n,当n=6时，其图象是右图中的 7个孤立点 . .-1084621620f(r).3 6 9 r二项式系数的性质二项式系数的性质2二项式系数的性质 （ 1）对称性 与首末两端 “ 等距离 ”的两个二项式系数相等这一性质可直接由公式得到图象的对称轴 ：二项式系数的性质二项式系数的性质（ 2）增减性与最大值 当 n为偶数时 ，中间一项的二项式系数 取得最大值；当 n为奇数时 ，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。（ 3）各二项式系数的和 二项式系数的性质二项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于 ：同时由于 ，上式还可以写成：二项定理 :启示：在二项式定理中，对 a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法 赋值法 。继续思考 : 试证明在 (a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 .即证：证明：在展开式 中令 a=1， b= 1得启示：在二项式定理中，对 a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法 赋值法 。
