1、-218-第十八章 动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。1 变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。1.1 变分法的基本概念1.1.1 泛函设 为一函数集合,若对于每一个函数 有一个实数 与之对应,则称S Stx)(J是对应在 上的泛函,记作 。 称为 的容许函数集。J)(
2、tJJ通俗地说,泛函就是“函数的函数” 。例如对于 平面上过定点 和 的每一条光滑曲线 ,绕xy,1yA),(2yB)(xy轴旋转得一旋转体,旋转体的侧面积是曲线 的泛函 。由微积分知识不x x)(难写出dJx)()(2)(12(1)容许函数集可表示为)( ,)(,)(| 2121 yxyxCyxS (2)最简单的一类泛函表为21),()(tdtFJ(3)被积函数 包含自变量 ,未知函数 及导数 。 (1)式是最简泛函。Ftx1.1.2 泛函的极值泛函 在 取得极小值是指,对于任意一个与 接近的)(txJS0 )(0tx,都有 。所谓接近,可以用距离 来度St)( )(0tJ ,d量,而距离定
3、义为 |)(|,)(|max)(, 00021 txttdt 泛函的极大值可以类似地定义。 称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.3 泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样,泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量,函数 在 的增量记为)(tx0t)(tx-219-也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作)()(00txJtxJ如果 可以表为J ,rtL其中 为 的线性项,而 是 的高阶项,则 称为泛函在 的变分,记作LxrL)(0tx。用变动的 代替 ,就有 。)(0t)(t)(0tx)(txJ泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 的导数:0tttJ(4)这是因为当变分存在
4、时,增量),(),()()( xtrxtLtxtx 根据 和 的性质有Lr,0)(lim)(li00 xtrt所以 )(li)(0xJJxJ,),(,li0 LrL 1.1.4 极值与变分利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:若 在 达到极值(极大或极小) ,则)(txJ0t0)(txJ(5)这是因为对任意给定的 , 是变量 的函数,该函数在 处达到极0值。根据函数极值的必要条件知 0)(0xJ于是由(4)式直接得到(5)式。1.1.5. 变分法的基本引理引理 , , ,有,)(21xC,)(21C0)(21x,210d则 。, ,0)( x1.2 无约束条件的泛函极值求泛函ft
5、 dtxtFJ0)(,-220-(6)的极值,一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线 ,使给定的二阶连续可微)(tx函数 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线(或轨线) ,记为 。F )(*tx1.2.1 端点固定的情况设容许曲线 满足边界条件)(tx, 0xffxt)((7)且二次可微。首先计算(6)式的变分:0)(txtJ ft dttxtF0 0)(, ft xx0 )()((8)对上式右端第二项做分布积分,并利用 ,有(0ftt,ff txtx dFdF00 ),),(再代回到(8)式,并利用泛函取极值的必要条件,有ftxxttJ0因为 的任意性,及 ,所以由基本引理得到著
6、名的欧拉方程x)(f0xxFdt(9)它是这类最简泛函取极值的必要条件。(9)式又可记作0xFxtx(10)通常这是 的二阶微分方程,其通解的两个任意常数由(7)式中的两个端点条件)(t确定。1.2.2 最简泛函的几种特殊情形(i) 不依赖于 ,即x),(xt这时 ,欧拉方程为 ,这个方程以隐函数形式给出 ,但它0xF 0F)(tx一般不满足边界条件,因此,变分问题无解。 (ii) 不依赖 ,即 ),(t欧拉方程为-221-0),(xtFd将上式积分一次,便得首次积分 ,由此可求出 ,积分后得到1,c ),(1ctx可能的极值曲线族 dtx1,(iii) 只依赖于 ,即F)(F这时 ,欧拉方程
7、为0,0xxtx由此可设 或 ,如果 ,则得到含有两个参数的直线族 。x 21ctx另外若 有一个或几个实根时,则除了上面的直线族外,又得到含有一个参数x的直线族 ,它包含于上面含有两个参数的直线族 中,于是,cckt 21tc在 情况下,极值曲线必然是直线族。)(F(iv) 只依赖于 和 ,即x),(xF这时有 ,故欧拉方程为0xt 0xx此方程具有首次积分为 1cF事实上,注意到 不依赖于 ,于是有t。0)()( xxxxxx FdtdtFdt 例 1 (最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提
8、法是这样的:设 和 是铅AB直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 和 的平面曲线中,求一曲线,当AB质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 滑行至 时,使所需时间最短。解 将 点取为坐标原点, 轴水平向右, 轴垂直向下, 点为 。Axy),(2yx根据能量守恒定律,质点在曲线 上任一点处的速度 满足( 为弧长))(ydtsmgdts21将 代入上式得xyds)(2xgyt2于是质点滑行时间应表为 的泛函)(dJx2021端点条件为-222-2)(,0)(yxy最速降线满足欧拉方程,因为F1,不含自变量 ,所以方程(10)可写作x0yy等价于 )(yFdx作一次积分得12c令 则方程化为
9、,2ctgy)os(2sin1112 y又因 dcctgdydx )s1(2oi1积分之,得 21)sin(x由边界条件 ,可知 ,故得0)(y02c).cos1(2iy这是摆线(圆滚线)的参数方程,其中常数 可利用另一边界条件 来确定。1c2(yx)例 2 最小旋转面问题 dxyxxyJ )(1)()(212,| 21yCS解 因 不包含 ,故有首次积分 2F12 cyyy-223-化简得 21yc令 ,代入上式, shty chttsc121由于 dttdx1积分之,得 2c消去 ,就得到 。t1xhy这是悬链线方程。1.2.3 最简泛函的推广最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。(
10、)含多个函数的泛函使泛函 21),()(,xdxzyFzxyJ取极值且满足固定边界条件 .(, 2121 的极值曲线 必满足欧拉方程组)(xz0zzyyFdx(ii)含高阶导数的泛函使泛函21)“,()(xdxyyJ取极值且满足固定边界条件, 1x212 )(, y,)(的极值曲线 必满足微分方程)(y0“2 yFdxF(iii ) 含多元函数的泛函设 ,使泛函Dcyxz),(),(2yxdzJ),(取极值且在区域 的边界线 上取已知值的极值函数 必满足方程l ),(yxz0yxzzzFF上式称为奥式方程。-224-1.2.4 端点变动的情况(横截条件)设容许曲线 在 固定,在另一端点 时不固
11、定,是沿着给定的曲线)(tx0ft上变动。于是端点条件表示为)(tx)(0tx这里 是变动的,不妨用参数形式表示为tffdt寻找端点变动情况的必要条件,可仿照前面端点固定情况进行推导,即有0),(00 dtxxtFJfftt fttxtxxdfff 0)((11)再对(11)式做如下分析:(i)对每一个固定的 , 都满足欧拉方程,即(11)式右端的第一项积分ft)(为零;(ii)为考察(11)式的第二、第三项,建立 与 之间的关系,因为fdtftx)()()( fffff txdtx 对 求导并令 得0ftff即ffft dtxxf )((12)把(12)代入(11)并利用 的任意性,得fd0
12、)(ftxF(13)(13)式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件,称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况:(i)当 是垂直横轴的直线时, 固定, 自由,并称 为自由)(txft)(ftx)(ftx端点。此时(11)式中 及 的任意性,便得自由端点的横截条件0fdftx0ftF(14)(ii)当 是平行横轴的直线时, 自由, 固定,并称 为平动)(txf)(ftx)(ftx端点。此时 , (13)式的横截条件变为00ftx-225-(15)注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.3 有约束条件的泛函极值在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形
13、式是对动态系统)(,)(tuxtf(16)寻求最优性能指标(目标函数)ftff dttxFttuJ0)(,)(,)((17)其中 是控制策略, 是轨线, 固定, 及 自由, ,)(tutxtftf nRtx)((不受限,充满 空间) , 连续可微。mRmRf,下面推导取得目标函数极值的最优控制策略 和最优轨线 的必要条件。)(*tu*t采用拉格朗日乘子法,化条件极值为无条件极值,即考虑ft Tff dtxutfxFxtuxJ0 ),()(,),(1 (18)的无条件极值,首先定义(16)式和(17)式的哈密顿(Hamilton)函数为),(),(),( tfuttHT(19)将其代入(18)式
14、,得到泛函ft Tff dtxuHxtuxJ0 ),()(,),(1 (20)下面先对其求变分)()(,(1 ffff txtdtJ 0)()(,0 dtxuxHTdtff ffff tTftTftTftTf uxtHd,)()()()Tuxtf )(0 )(),()( fff txTfttTf tFd fff tTtfTt uTx dtxxdH00 )()( 注意到 , ,因而)(fttf ffft ttf )(fff txTfttTfdJ ),(1 -226- ft uTTxT dtHxH0 )()() 再令 ,由 的任意性,便得1J,utdff(i) 必满足正则方程:*,x 状态方程 )
15、,(t 协态方程 。x(ii)哈密顿函数 作为 的函数,也必满足,*utH0并由此方程求得 。*u(iii )求 时,必利用边界条件,x , (用于确定 )0)(t*x , (用于确定 ))(ftxf , (确定 )ff ttuH,ft1.4 最大(小)值原理如果受控系统,),(xtf0(xt其控制策略 的全体构成有界集 ,求 ,使性能指标)(tuUtu)ftff dFtJ0,达到最大(小)值。最大(小)值原理:如果 , 和 都是连续可微的,),(xt)(,fftx),(uxt那么最优控制策略 和相应的最优轨线 由下列的必要条件决定:)(*tu*(i)最优轨线 ,协态向量 由下列的必要条件决定
16、:xt, ,,tfdUu)(.xHt(ii)哈密顿函数),(),(),( * uxtfuxtFuT作为 的函数,最优策略 必须使)(tu,ma,txtUu或使(最小值原理),(in),( *xtHtH(iii )满足相应的边界条件 若两端点固定,则正则方程的边界条件为, 。0)(xfft)(-227- 若始端固定,终端 也固定,而 自由,则正则方程的边界条件为ft)(ftx, 。0)(x,)()(tf 若始端固定,终端 都自由,则正则方程的边界条件为,ft, ,0 ),)(fftxtf。0(,(),( ftfff xtuxtHf2 生产设备的最大经济效益某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方
17、面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大,因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小;另一方面生产设备总是要进行日常保养,花费一定的保养费,保养可以减缓设备的磨损程度,提高设备的转卖价。那么,怎样确定最优保养费和设备转卖时间,才能使这台设备的经济效益最大。2.1 问题分析与假设(i)设备的转卖价是时间 的函数,记为 。 的大小与设备的磨损程度和t)(tx保养费的多少密切相关。记初始转卖价 。0(ii)设备随其运行时间的推移,磨损程度越来越大。 时刻设备的磨损程度可以t用 时刻转卖价的损失值来刻画,常称其为磨损函数或废弃函数,记为 。t )(tm(iii )保养设备可以减缓设备的磨损速度,提
18、高转卖价。如果 是单位时间的u保养费, 是 时刻的保养效益系数(每用一元保养费所增加的转卖价) ,那么单位)(tg时间的保养效益为 。另外,保养费不能过大(如单位时间保养费超过单位时)(tu间产值时,保养失去了意义) ,只能在有界函数集中选取,记有界函数集为 ,则W。Wtu)((iv)设单位时间的产值与转卖价的比值记为 ,则 表示在 时刻单位时间p)(txt的产值,即 时刻的生产率。t(v)转卖价 及单位时间的保养费 都是时间 的连续可微函数。为了统一)(tx)(tu标准,采用它们的贴现值。对于贴现值的计算,例如转卖价 的贴现值计算,如果)(t它的贴现因子为 (经过单位时间的单位费用贴现) ,那么由1)()(txtd解得)(11(tet令 ,便得 时刻单位费用的贴现(称贴现系数)为 ,所以设备在 时刻转卖01t tet价 的贴现为 。仿此计算, 的贴现为 ,单位时间产值的贴现)(xtx)tu)(为 。tep(vi)欲确定的转卖时间 和转卖价 都是自由的。ft)(fx2.2 模型构造