二阶变系数线性微分方程的一些解法(共19页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上第九节 二阶变系数线性微分方程的一些解法常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法9.1 降阶法在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。考虑二阶线性齐次方程 p(x) q(x)y0 (9.1)设已知其一个非零特解y，作变量替换，令 yuy1 (9.2)其中uu(x)为未知函数，求导数有 y1u求二阶导数有y12u代入(9.1)式得 y1（2p(x)y1）(p(x) q(x)y1)u0 (9.3)这是一个关于u的二阶线性齐次方程，各项系数是x的已知函数，因为y1是(9.1)的解，所以其中 p(x) q(x)y10故(9.3)式化为 y1(2p(x)y1