1、2.1.2 数列的递推公式1了解数列的递推公式2能根据给出的递推公式求数列的前几项递推公式前一项 an 1 (或前几项 )如果已知数列 an的第 1 项 (或前几项 )，且任何一项 an 与它的 _间的关系可 以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式练习： 已知数列 an的第 1项是 2，递推公式为 an 1 1an 1，则 a2 _， a3 _. 1121数列的递推公式是 n 的函数的关系式吗？答案： 数列的递推公式不是 n 的函数的关系式2通项公式与递推公式有何异 同？答案： 相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项不同：通项公式是 n 的函数的关系式，可直接求出
2、任一项；而递推公式可根据第一项 (或前 n 项 )的值，通过一次 (或多次 )赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项 an.题型 1 已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式例 1： 已知下列 数列的递推公式，写出此数列的前 4 项，并推测数列的通项公式(1)数列 an满足 an 1 2an 1， n N*，且 a1 1；(2)在数列 an中， a1 1， an an 1 1n(n 1)(n2)数列的递推公式是由递推关系式 ( 递推 )和首项或前几项 (基础 )两个因素所确定的，即便递 推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归纳的前提【 变式与拓展 】1根据递推公
3、式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公式：(1)a1 0， an 1 an (2n 1)(n N*)；(2)a1 1， an 1 2anan 2(n N*)解： (1)a1 0， a2 a1 1 1， a3 a2 3 4，a4 a3 5 9， a5 a4 7 16.由 a1 02， a2 12， a3 22， a4 32， a5 42，可归纳出 an (n 1)2.题型 2 已知递推公式，用累加法求通项公式例 2： 已知在 数列 an中， a1 5， an an 1 3(n2)，求数列 an的通项公式思维突破： 先对 an an 1 3 从 2 到 n 进行取值，得到n 1 个式子，再把这
4、 n 1 个式子相加，消去中间项自主解答： 由递推关系 an an 1 3(n2)，得a2 a1 3，a3 a2 3，若数列有形如 an 1 an f(n)的递推公式，且可求 f(1) f(2) f(n)，可用累加法求通项公式an 1 an 2 3，an an 1 3.将以上 (n 1)个式子左右两边同时相加，得a2 a3 an 1 an a1 3 a2 3 a3 3 an 1 3，消去 a2 a3 an 1，并整理，得 an a1 3(n 1) a1 5， an 3n 2.【 变式与拓展 】2已知在数列 an中， a1 1， an an 1 cos(n 1)(n2)，求 an.解： 由递推关系， an an 1 cos(n 1)(n 2)，得a2 a1 cos， a3 a2 cos2， ， an 1 an 2 cos(n2)， an an 1 cos(n 1)，将以上 (n 1)个式子左右两边同时相加，得a2 a3 an 1 an a1 cos a2 cos2 an 2 cos(n 2) an 1cos(n 1)，
