1、圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 1页圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题目练习】1如图所示，在半径为 R 的圆形区域内充满磁感应强度为 B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板从圆形磁场最高点 P 垂直磁场射入大量的带
2、正电，电荷量为 q，质量为 m，速度为 v 的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ）A只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在 MN 上B对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D只要速度满足 ，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在 MN 上qBRvm2如图所示，长方形abed的长ad=0.6m ，宽ab=0.3m，O 、 e分别是ad 、 bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O 为圆心O d为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强
3、度B=0.25T。一群不计重力、质量m=310 -7kg、电荷量q=+210 -3C的带正电粒子以速度v=510 2m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ）A从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边 B从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D从ad边射人的粒子，出射点全部通过 b点3如图所示，在坐标系 xOy 内有一半径为 a 的圆形区域，圆心坐标为 O1（a，0） ，圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线 y=a 的上方和直线 x=2a 的左侧区域内，有一沿 x 轴负方向的匀强电场，场强大小为 E，一质量为 m、电
4、荷量为+q（q0）的粒子以速度 v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿 x 轴方向时，粒子恰好从 O1 点正上方的 A点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度 B 的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与 y 轴正方向的夹角；圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 2页（3）若将电场方向变为沿 y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度 v 从 O 点垂直于磁场方向、并与 x 轴正方向夹角 =300 射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间 t。4如图所示的直角坐标系中，从直线 x=2l0 到 y 轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中 x 轴上方的电场方向沿
5、 y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿 y 轴正方向。在电场左边界从 A（2l 0， l0）点到C（2l 0，0）点区域内，连续分布着电量为+q、质量为 m 的粒子。从某时刻起，A 点到 C点间的粒子依次连续以相同速度 v0 沿 x 轴正方向射入电场。从 A 点射入的粒子恰好从 y 轴上的 （0，l 0）点沿沿 x 轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。（1）求从 AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间 t 和匀强电场的电场强度 E 的大小。（2）求在 A、C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿 x 轴正方向运动？（3）为便于收集沿 x 轴正方向射出电场的所有
6、粒子，若以直线 x=2l0 上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场，使得沿 x 轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过 x=2l0 与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度 B 是多大？5如图所示，在 xoy 坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为 r=0.1m 的圆形磁场区域，磁感应强度 B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与 x 轴、y 轴相切，切点分别为 A、C；第四象限中，由 y 轴、抛物线 FG（ ，单位：m）和直210.5y线 DH（ ，单位：m ）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度 E=2.5
7、N/C0.425yx的匀强电场；以及直线 DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场 B2=0.5T。现有大量质量m=110-6 kg（重力不计） ，电量大小为 q=210-4 C，速率均为 20m/s 的带负电的粒子从 A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与 y 轴夹角在 0 至 1800 之间。（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；（2）试证明这些粒子经过 x 轴时速度方向均与 x 轴垂直；圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 3页（3）通过计算说明这些粒子会经过 y 轴上的同一点，并求出该点坐标。6如图所示，真空中一平面直角坐标系 xOy 内，存在着两个边长为 L 的正方形匀强电场区域、和两个直
8、径为 L 的圆形磁场区域、。电场的场强大小均为 E，区域的场强方向沿 x 轴正方向，其下边界在 x 轴上，右边界刚好与区域的边界相切；区域的场强方向沿 y 轴正方向，其上边界在 x 轴上，左边界刚好与刚好与区域的边界相切。磁场的磁感应强度大小均为 ，区域的圆心坐标为（0， ） 、磁场方向垂直于 xOy 平2mEqL2L面向外；区域的圆心坐标为（0， ） 、磁场方向垂直于 xOy 平面向里。两个质量均为m、电荷量均为 q 的带正电粒子 M、N，在外力约束下静止在坐标为（ ， ） 、 （32L， ）的两点。在 x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，32L4板面垂直于 xOy 平面。
9、将粒子 M、N 由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求：（1）粒子离开电场时的速度大小。（2）粒子 M 击中感光板的位置坐标。（3）粒子 N 在磁场中运动的时间。7如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心 O1 在 x 轴上，OO 1 距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为 B1。虚线 MN 平行 x 轴且与半圆相切于 P 点。在 MN 上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为 E，方向沿 x 轴负向，磁场磁感应强度大小为 B2。B 1，B 2方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O 射入第 I 象限，其中沿 x 轴正方向进入磁
10、场的粒子经过 P 点射入 MN 后，恰好在正交的圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 4页电磁场中做直线运动，粒子质量为 m，电荷量为 q（粒子重力不计） 。求：（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。（2）若撤去磁场 B2，则经过 P 点射入电场的粒子从 y 轴出电场时的坐标。（3）试证明：题中所有从原点 O 进入第 I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。8如图甲所示，真空中有一个半径 r=0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小 B=2.0103T，方向垂直于纸面向里，在 x=r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度 L=0.5m 的匀强电场区域,电场强度 E=1.51
11、03N/C，在 x=2m 处有一垂直 x 方向的足够长的荧光屏，从 O 点处向不同方向发射出速率相同的比荷 带负电的粒子，91.0/qCkgm粒子的运动轨迹在纸面内。一个速度方向沿 y 轴正方向射入磁场的粒子 M，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：（1）粒子 M 进入电场时的速度。（2）速度方向与 y 轴正方向成 30（如图中所示）射入磁场的粒子 N，最后打到荧光屏上 ,画出粒子 N 的运动轨迹并求该发光点的位置坐标。9如图甲所示,质量 m=8.01025kg，电荷量 q=1.61015C 的带正电粒子从坐标原点 O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在与 x 方向夹
12、角大于等于 30的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为 v0=2.0107m/s。现在某一区域内加一垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小 B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与 y 轴平行的荧光屏 MN 上,并且当把荧光屏 MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(=3.14)求：（1）粒子从 y 轴穿过的范围。（2）荧光屏上光斑的长度。（3）打到荧光屏 MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示） 。圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 5页参考答案1当 vB 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为 、mvRqB的
13、匀速圆周运动；只要速度满足 时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁2mTq qBRvm场磁场的半径相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在 MN 上，选项 D 正确。2由 知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从 Oa 入0.3vRB射的粒子，出射点一定在 b 点；从 Od 入射的粒子，经过四分之一圆周后到达 be，由于边界无磁场，将沿 be 做匀速直线运动到达 b 点；选项 D 正确。3解析：（1）当粒子速度沿 x 轴方向入射，从 A 点射出磁场时，几何关系知：r=a；由 知：2vqBmrvmqra（2）从 A 点进入电场后作类平抛运动；沿水平方向做匀加速直线运动： 2xEv沿竖
14、直方向做匀速直线运动：v y=v0；粒子离开第一象限时速度与 y 轴的夹角：20tanxyEqavm（3）粒子从磁场中的 P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO 1PO2 构成菱形，故粒子从 P 点的出射方向与 OO1 平行，即与 y 轴平行；轨迹如图所示；粒子从 O 到 P 所对应的圆心角为 1=600，粒子从 O 到 P 用时： 。163Tatv由几何知识可知，粒子由 P 点到 x 轴的距离 ；1sin2Sa粒子在电场中做匀变速运动的时间： ；2mvtEq粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间： ；3()(23)aSatvv粒子由 P 点第 2 次进入磁场，从 Q 点射出， O1
15、QO3 构成菱形；由几何知识可知 Q 点圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 6页在 x 轴上，即为（2a，0）点；粒子由 P 到 Q 所对应的圆心角 2=1200，粒子从 P 到 Q 用时：；43Ttv粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间： 。1234(3)2amvttvEq4解析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有 0ltv从 A 点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知 201()qlm解得20028mlvEqt（2）设距 C 点为 处入射的粒子通过电场后也沿 x 轴正方向，第一次达 x 轴用时 ，有y t水平方向 0xvt竖直方向 21()Em欲使粒子从电场
16、射出时的速度方向沿 x 轴正方向，有 （n 02lnx=1，2，3，）解得： 2021()qlynvn即在 A、C 间入射的粒子通过电场后沿 x 轴正方向的 y 坐标为 （n 021ln=1，2，3，）（3）当 n=1 时，粒子射出的坐标为 10yl当 n=2 时，粒子射出的坐标为 24当 n3 时，沿 x 轴正方向射出的粒子分布在 y1 到 y2 之间（如图） y1 到 y2 之间的距离为 ；12054Lyl则磁场的最小半径为 0528LlR若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图） ，轨迹圆与磁场圆相交，四边形 PO1QO2 为棱形，由 得：200mvqBR0
17、5vql5解析：（1）由 知：211.mRB（2）考察从 A 点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从 K 点离开磁场，O 1 和 O2 分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此 O1AO2K 为菱形，离开磁场时速度垂直于 O2K，即垂直于 x 轴，得证。（3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x，y 1）,离开电AO xyv0EECAx=2l 0Cx=2l0O1O2PQ圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 7页场时的坐标为（x，y 2）,离开电场时速度为 v2；在电场中运动过程，动能定理： 21()Eqymv其中 ， 解得 v2=100x210.5yx20.45x在 B
18、2 磁场区域做圆周运动的半径为 R2，有 解得 R2=x22qB因为粒子在 B2 磁场区域圆周运动的半径刚好为 x 坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在 y轴上；又因 v2 的方向与 DH 成 45，且直线 HD 与 y 轴的夹角为 450，则所有粒子在此磁场中恰好经过四分之一圆周后刚好到达 H 处，H 点坐标为（ 0，0.425） 。6解析：（1）粒子在区域中运动，由动能定理得 解得21EqLmv02EqLvm（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 ，又有 ，解得200vqBrBq0mvLrqB因 M 运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故 M 在磁场中运动四分之一个周期后经过原点进入磁场，
19、再运动四分之一个周期后平行于 x 轴正方向离开磁场，进入电场后做类平抛运动。假设 M 射出电场后再打在 x 轴的感光板上，则M 在电场中运动的的时间 （1 分）0Ltv沿电场方向的位移（2 分）2201()4Eqyatmv假设成立，运动轨迹如图所示。沿电场方向的速度 2yLat速度的偏向角 01tnv设射出电场后沿 x 轴方向的位移 x1，有 24tanLM 击中感光板的横坐标 ，位置坐标为（2L，0） （1 分）2L（3）N 做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得 N 将从 b 点进入磁场，从原点 O 离开磁场进入磁场 ，然后从 d 点离开磁场，沿水平方向进入电场。轨迹如图。圆形有界磁
20、场中“磁聚焦” 第 8页在磁场中，由几何关系34cos2L则 =300，圆弧对应的圆心角 =1800300=1500粒子在磁场中运动的周期 02LmTvqE粒子在磁场中运动的时间 1536t由对称关系得粒子在磁场、中运动时间相等；故粒子在磁场中运动的时间 12mLtqE7解析：（1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有 02qvB解得 02EvB粒子在磁场 B1 中匀速圆周运动，有2001vqBmR解得 012mvERq由题意知粒子在磁场 B1 中圆周运动半径与该磁场半径相同，即 12mEqB（2）撤去磁场 B2,，在电场中粒子做类平抛运动，有水平方向匀加速 2EqRtm竖直方向匀速 0221yv
21、tBB从 y 轴出电场的坐标为 0212()EyRvtq（3）证明：设从 O 点入射的任一粒子进入 B1 磁场时，速度方向与 x 轴成 角，粒子出 B1磁场与半圆磁场边界交于 Q 点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形 OO1O2Q 四条边等长是平行四边形，所以半径 O2Q 与 OO1 平行。所以从 Q 点出磁场速度与 O2Q 垂直，即与 x 轴垂直，所以垂直进入 MN 边界。进入正交电磁场 E、B 2 中都有 故做直0qv线运动。8解析：（1）由沿 y 轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知粒子 M 在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径 R=r=0.5m。圆形有界磁场中
22、“磁聚焦” 第 9页粒子 M 在磁场中匀速圆周运动有：2vqBmR解得 610/qBRvsm（2）由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子 N 在磁场中转过 120角后从 P 点垂直电场线进入电场，运动轨迹如图所示。在电场中运动的加速度大小 12.50/Eqams穿出电场的竖直速度 7.yLvt速度的偏转角 tan0.5在磁场中从 P 点穿出时距 O 点的竖直距离 1.50.7yrm在电场中运动沿电场方向的距离 22()185EqLatv射出电场后匀速直线运动，在竖直方向上 3tan.yxr最好达到荧光屏上的竖直坐标 12()0.7y故发光点的位置坐标（2m， 0.1875m）9解析：粒子在磁
23、场中匀速圆周运动，有 解得vqBmR0.1mvqB当把荧光屏 MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子是沿水平方向从磁场中出射，则所加的磁场为圆形，同时圆形磁场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等，即 R=0.1m；且圆形磁场的圆心在 y 轴上 O 点正上方，如图所示的 O1 点。（1）初速度沿 y 轴正方向的粒子直接从原点穿过 y 轴；初速度与 x 轴正方向成 300 的粒子，在磁场中转过 1500 后沿水平方向射出，设该粒子圆周运动的圆心为 O2，则OO 2B=1500；设此粒子从 y 轴上的 A 点穿过 y 轴，由几何关系知OAO 2=300，则有 。02cos3OR
24、粒子从 y 轴穿过的范围为 。（2）初速度沿 y 轴方向入射的粒子经四分之一圆周后速度水平，如图所示，打在光屏上的P 点，有 ；PR初速度与 x 轴正方向成 300 入射的粒子，在磁场中转过 1500 后沿水平方向射出，如图所示，打在光屏上的 Q 点，有 ；03s62QyRinR荧光屏上光斑的长度 32Pl m圆形有界磁场中“磁聚焦” 第 10页（3）粒子在磁场中运动的周期 8210mTsqB打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间 81510246tTs打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间 80Rtsv打到最高点和最低点的粒子运动的时差间 89121()7.164tt s（4）所加磁场的最小范围如图所示，其中从 B 到 C 的边界无磁场分布。
